等速直線加速度運動とは何か？

等速直線加速度運動、略して MRUA は、すでに暗黙のうちに学習してきた運動の一種です。それは経路方程式からどのようにモデル化されるかを確認するときに理解できます。しかし、簡潔に説明すると、MRUA は大きさと方向が一定の加速度を伴い、直線上、すなわち一次元で展開される運動です。

経路方程式からみた等速直線加速度運動

MRUA の導出は、これまでの授業で積分によって経路方程式を導いた作業を直接踏襲したものです。MRUA は一定加速度かつ一次元の運動であるため、単一の座標軸で推論するだけで十分です。軸 \hat{x} について考えると、次のようになります:

\begin{array}{rcl} a_x(t) & =& a_{0x} \\ \\ v_x(t) & =& \int a_{0x}dt = a_{0x}t + v_{0x} \\ \\ x(t) & =& \displaystyle \int v_{x}(t)dt = \frac{1}{2}a_{0x}t^2 + v_{0x}t + x_0 \end{array}

ここで a_{0x}, v_{0x} および x_0 はすべて定数であり、後者二つは積分定数です。これにより、軸 \hat{x} の方向における等速直線加速度運動の完全なモデルが得られます。他の任意の軸に対する推論も全く同様です。

MRUA と自由落下の場合

MRUA の最も代表的な事例の一つ は自由落下です。これは鉛直方向に展開され、重力加速度によって生じる等速直線加速度運動です。その経路方程式によるモデルは次のとおりです:

\begin{array}{rcl} a_y(t) & =& -g \\ \\ v_y(t) & =& -gt + v_{0y} \\ \\ y(t) & =& \displaystyle - \frac{1}{2}gt^2 + v_{0y}t+ y_0 \end{array}

ここで重力加速度は g=9,81[m/s^2] です。自由落下で典型的なのは、初期状態が静止 (v_{0y}=0) であり、初期高さが y_0=h である場合で、このとき方程式は次のように簡略化されます。

\begin{array}{rcl} a_y(t) & =& -g \\ \\ v_y(t) & =& -gt \\ \\ y(t) & =& \displaystyle - \frac{1}{2}gt^2 + h \end{array}

どの方程式の組を持っていても、これにより「適切な問い」を立てることで情報を抽出することが可能になります。

もし物体が高さ h から静止状態で落下を開始した場合

落下にどれくらい時間がかかるか？

この問いを方程式に投げかけると、「物体が地面に到達するのは高さがゼロのとき」であると答えてくれます。つまり y(t)=0. です。この条件のもとでは、次の方程式 \displaystyle \frac{1}{2}gt^2 + h = 0. から時間を解く必要があります。これにより二つの可能な結果が得られます:

\displaystyle t=\pm\sqrt{\frac{2h}{g}}

負の時間は過去を表し、正の時間は未来を表します。落下は未来に起こるため、落下時間は次のように定義できます。

\displaystyle t_{caida}=+\sqrt{\frac{2h}{g}}

地面に到達するときの速度は？

この問いには、落下時間を速度の方程式に代入するだけで答えることができます。そうすると、落下速度は次のように得られます:

\displaystyle v_{caida} = v_y(t_{caida})=-g\sqrt{\frac{2h}{g}}=-\sqrt{\frac{2g^2h}{g}} = -\sqrt{2gh}

等速直線運動に関連する演習

1. ある物体が原点を通過し、初速度 v_0=10[km/h] を持ち、加速度が a_0=\displaystyle \frac{20[km/h]}{5[s]}. である。次の時刻における物体の位置と速度を求めよ。a) t=5[s], b) t=10[s], c) t=15[s], d) t=1[min]. [解答]
2. ある人が高さ 20[m] から鋼の球と石を同時に静止状態から落とす。両方の物体は大きさが同じだが、重さが異なる。落下にかかる時間と、地面に衝突する瞬間の速度を求めよ。これらの物体の一方が他方より速く落ちたり、より大きな速度で到達することはあり得るか。 [解答]
3. ある人が井戸の底に硬貨を投げ入れる。その硬貨が底に到達した音が 10[s] 後に聞こえた。井戸の深さを求めよ。 [解答]
4. ある人が唾を垂直に空へ吐き、1.2[s] 後に顔に戻ってきた。a) 唾をどの速度で吐いたか。b) 唾はどの高さに到達したか。 [解答]