理想気体の状態方程式
要約:
本講義では、ボイル＝マリオットの法則、シャルルの法則、ゲー＝リュサックの法則から導かれる理想気体の状態方程式を取り上げる。さらに、相互作用を持たない粒子や弾性衝突といった理想化に基づく気体分子運動論を基盤としていることを示す。また、相対論的あるいは量子的な気体といった極限条件における限界についても言及し、熱力学におけるその重要性や多様な物理系への応用を強調する。
学習目標:
本講義を修了した学生は次のことができるようになる
- 理解する 理想気体の状態方程式と、それがボイル＝マリオット、シャルル、ゲー＝リュサックの法則からどのように導かれるか。
- 把握する 理想気体における圧力、体積、温度の基本的関係。
目次:
理想気体の経験的定式化
理想気体の状態方程式に関する考察
理想気体モデルの限界
理想気体の経験的定式化
気体に関する実験は、ある関係を示している。すなわち、体積 V に閉じ込められた気体の圧力 P と温度 T の間には関係が存在する。例えば、温度が一定のままの場合、次のことが観察される。
P \propto \dfrac{1}{V}
この結果はボイル＝マリオットの法則として知られている。一方、圧力を一定に保つと、次の関係が成り立つ。
V \propto T
ここで T はケルビンで測定された温度である。これはシャルルの法則として知られている。さらに、体積を固定した場合、次の関係が確認される。
P \propto T
この最後の関係はゲー＝リュサックの法則と呼ばれる。これら三つの法則は一つの式にまとめることができ、次のようになる。
PV \propto T
もし気体が N 個の粒子から構成されていると考えると、得られる方程式は次の通りである。
\boxed{PV = Nk_B T}
ここで k_B = 1.3807 \cdot 10^{-23} \, [J \cdot K^{-1}] はボルツマン定数である。この式は有名な方程式 PV = nRT と関連しており、記憶術的に「Pancho Villa Nunca Reprobó Termodinámica」として知られている。ここで R = 8.314472 \, [J/(mol \cdot K)] は理想気体の普遍定数であり、n はモル数を表す。
理想気体の状態方程式に関する考察
この法則は当初、経験的な観点から提示されたが、気体分子運動論を用いて第一原理から導くことも可能である。この理論において、気体は互いに、また容器の壁と衝突する微小な粒子の集合としてモデル化される。ここから「理想」という用語が由来しており、いくつかの仮定に基づいている。
- 粒子間には遠隔的な引力や斥力（電磁気力など）は存在しない。
- 粒子は点状で、大きさは無視でき、形は球体であると仮定される。
- 粒子同士、または粒子と容器の壁との衝突は完全に弾性的である。
これらの理想化は現実には厳密には成り立たないが、計算を単純化し、広範な条件において気体の挙動を記述する有用な結果を与える。
さらに、理想気体の状態方程式は古典熱力学研究の基盤を構成している。その重要性は、天体物理学から大気物理学に至るまで、また熱力学の発展を促したエンジン解析にまで及ぶ。このため、理想気体の状態方程式は基本的なものであり、記憶すべき方程式である。
なお、熱力学は気体以外の系、例えば弦、泡、磁石といった系にも適用されることを指摘しておく必要がある。
理想気体モデルの限界
理想気体の状態方程式には限界があることを認識する必要がある。すべての条件において、すべての気体を適切に記述できるわけではない。例えば、気体粒子が相対論的（光速に近い速度で運動する）である場合や、量子効果が重要となる場合、このモデルは有効性を失う。また、非常に低温や高密度の条件下では、粒子間の相互作用が顕著になり、液体や固体に見られるような振る舞いを示すため、このモデルは適用できない。
このような状況では、量子気体モデルやより複雑な状態方程式といった、より高度なモデルに依拠する必要がある。