楕円および円の方程式

要約：
本講義では、楕円の幾何学的定義に基づく方程式の導出方法について解説します。楕円の定義とは、「楕円上の任意の点から二つの固定された焦点までの距離の和が常に一定である」というものです。詳細な代数的展開を通じて、楕円の一般式および標準形を導出し、また、楕円と円との関係についても示します。特に、半径が等しい場合には円が楕円の特殊な場合となることが示されます。

学習目標：
本講義の終了時に学生は以下のことができるようになります。

導出する：楕円の幾何学的定義からその方程式を導出することができる。
認識する：楕円の方程式の一般形および標準形を理解し識別することができる。

目次：
幾何学的定式化
 楕円の方程式の導出
 楕円の一般式
 楕円の標準形
 円の方程式への帰着

幾何学的定式化

楕円を表す方程式を導出するには、放物線の場合と同様に、それが意味する幾何学的概念について考察する必要があります。楕円とは、平面上の全ての点の集合であり、その各点から二つの固定された点（焦点）までの距離の和が常に一定であるような点の集まりです。

つまり、次の式が常に成り立ちます：

$d(f_1,p) + d(f_2,p) = 定数$

楕円の方程式の導出

楕円の幾何学的定義に基づいて、それを表す代数的な式を導くことができます。これを簡単に行うために、いくつかの簡略化を行います。一般性を失うことなく、焦点の位置を $f_1 =(-c,0)$ および $f_2 =(c,0)$ と仮定します。このとき、任意の点 $p=(x,y)$ が楕円上にあるとすれば、次の条件が成り立ちます：

$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$

ここで、 $a\in\mathbb{R}$ は一定の定数です。これに基づいて次のような論理展開を行うことができます。

(1)	$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$	；楕円の幾何学的定義
	$\sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x+c)^2 + y^2}$
(2)	$(x-c)^2 + \cancel{y^2} = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + \cancel{y^2}$	；(1) を二乗する
	$(x-c)^2 = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2$
	$\cancel{x^2} -2xc + \cancel{c^2} = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \cancel{x^2} +2xc + \cancel{c^2}$
	$-2xc = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} +2xc$
	$4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 4a^2 +4xc = 4(a^2 + xc)$
	$a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = a^2 + xc$
(3)	$a^2 [(x+c)^2 + y^2] = (a^2 + xc)^2$	；(2) を二乗する
	$a^2 [x^2 + 2xc + c2 + y^2] = a^4 +2a^2xc + x^2c^2$
	$a^2 x^2 + \cancel{2xca^2} + a^2 c2 + a^2 y^2 = a^4 + \cancel{2a^2xc} + x^2c^2$
	$a^2 x^2 + a^2 c2 + a^2 y^2 = a^4 + x^2c^2$
	$x^2 (a^2 - c^2) + a^2 y^2 = a^4 - a^2 c^2 =a^2(a^2-c^2)$
	$\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{ y^2}{a^2-c^2} = 1$
(4)	$0\lt a^2 - c^2 =: b^2$	； $b^2$ で表される数は正であり、これは図から明らかである。
(5)	${\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{ y^2}{b^2} = 1}$	；(3) および (4) より
	$\boxed{\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1}$

この最終形こそが「楕円の方程式」と呼ばれるものです。

楕円の一般式

先ほど導出した方程式は、平行移動の変換によって一般形に書き換えることができます。具体的には、 $x\longmapsto (x-h)$ および $y\longmapsto (y-k)$ の置換を行います。これにより、楕円の一般形の方程式は次のようになります。

$\boxed{\left(\dfrac{x-h}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b}\right)^2 = 1}$

この式は、中心が $(h,k)$ にある楕円を表しています。

楕円の標準形

この方程式に代数的な操作を加えることで、楕円の標準形の方程式に到達します：

(1)	$\left(\dfrac{x-h}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b}\right)^2 = 1$	；楕円の一般式
	$b^2 (x-h)^2 + a^2(y-k)^2 = a^2 b^2$	；全体を $a^2b^2$ で掛ける
	$b^2 [x^2-2xh+h^2] + a^2[y^2-2yk + k^2] = a^2 b^2$	；二乗を展開する
	$b^2 x^2-2hb^2 x + h^2b^2 + a^2 y^2-2ka^2y + k^2a^2 = a^2 b^2$	；かっこを展開する
	$b^2 x^2- 2hb^2 x + a^2 y^2-2ka^2y +(h^2b^2 + k^2a^2 - a^2 b^2) = 0$	；定数項をまとめる

この最終式において、次のように置換することができます： $A:=b^2,$ $B:=-2hb^2,$ $C:=a^2,$ $D:=-2ka^2,$ および $E:=h^2b^2 + k^2a^2 - a^2 b^2.$ これにより、楕円は次の形の方程式で記述されることになります：

$Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0$

これが、いわゆる「楕円の標準形」と呼ばれる方程式です。

この展開から、標準形における定数に対するいくつかの制約条件を読み取ることができます。最も重要なのは、 $A$ と $C$ が同符号でなければならないという点です。そうでない場合、楕円ではなく双曲線を表すことになります。標準形の定数に関する制約は他にも存在しますが、それについては楕円や双曲線の特徴づけを学ぶ際に詳しく扱います。

円の方程式への帰着

楕円の特徴づけについて学ぶ際に確認することの一つは、方程式中の定数 $a$ および $b$ がそれぞれ楕円の長軸および短軸に対応しているという点です。もしこの二つの軸の長さが等しい、すなわち $a = b = r$ とすれば、その楕円は半径 $r$ の円になります。

円の一般式

このようにして、円の一般的な方程式は次のように得られます：

$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$

円の標準形

同様にして、円の標準形の方程式は次のように表されます：