学習目標：

1. 数学論理学とは何か、そしてその主な応用について理解する。
2. 論理と真理の理論の違いを理解する。
3. なぜ論理において形式言語が使用されるのか、そしてそれがどのようにして正確かつ厳密に議論や推論を表現・分析できるようにするのかを理解する。
4. 自然言語と形式言語の違いを理解する。

数学論理学とは？

数学論理学は、数学的推論や議論の基本原理を研究する論理学の一分野です。推論の妥当性を分析・評価するために使用され、数学定理の証明を行うための形式的手法の開発にも役立ちます。また、数学論理学は情報科学や科学哲学などの他の分野にも応用され、形式言語や自動推論システムの開発の基盤としても用いられています。

論理学は真理の理論ではない

常に強調しておくべき重要な点は、論理学は真理に関する理論ではないということです。つまり、論理学は「真」や「偽」の定義を探る議論そのものを扱うものではありません。その代わりに、ある表現があらかじめ真理値を持つと仮定して、それらがどのように相互に関係し合い、あるいは互いに推論可能かを研究します。

論理には適切な言語が必要

論理的推論を行う前に、それを実行するための適切な言語を持っている必要があります。この言語は「形式言語」と呼ばれ、妥当な推論を行うために必要な特徴を備えています。つまり、それは他の真なる表現から新たな真なる表現を導き出すための仕組みを提供する言語です。

なぜ論理には形式言語が必要なのか？

論理学には形式言語が必要です。なぜなら、それは議論や推論を明確かつ正確に表現するために特別に設計された言語だからです。形式言語を使用することで、議論や推論の内容を厳密かつ正確に表現でき、その妥当性や一貫性を分析・評価することが可能になります。

形式言語は、概念やそれらの関係を表現するために厳格かつ体系的な規則と慣習に基づいています。形式言語を使用することで、論理的概念や議論をより正確かつ厳密に表現でき、曖昧さや推論の誤りを避けることができます。この種の言語が作られる目的の一つは、通常の言語で生じる不正確さやパラドックスを回避することにあります。通常の言語の柔軟性と表現の豊かさを犠牲にし、その代わりに形式言語の正確さを得るのです。

自然言語と形式言語

自然言語とは、人間が口頭または書面で意思疎通するために使用する言語のことです。自然言語の例としては、スペイン語、英語、フランス語、中国語、アラビア語などがあります。

自然言語は、明確かつ正確にアイデア、思考、感情を表現するための一連の規則と慣習に基づく複雑なコミュニケーションシステムです。これらの言語は、意味を伝達し情報を共有するために使われる記号（文字、単語、文など）から構成されています。

明確かつ正確に議論や推論を表現するように特別に設計された形式言語とは異なり、自然言語はより柔軟で適応性があり、さまざまな状況や文脈におけるコミュニケーションに使用されます。

数学論理学においては、自然言語よりも形式言語の使用が好まれます。主な理由は、自然言語の柔軟性と表現の豊かさは表現力の面で最大の強みである一方で、正確さの面では最大の弱点にもなるからです。その豊かな表現力と厳密さの欠如が、多くのパラドックスを生み出してしまい、論理の場ではそれを避けることが望ましいのです。そのため、自然言語の持つあらゆる表現力を犠牲にしてでも、形式言語の正確さを得る選択がなされます。

言語のパラドックス

言語のパラドックスとは、言語の内部にある矛盾から生じる論理的問題です。これらのパラドックスは、真であると仮定すると矛盾や不条理な結論に至るような命題であることが多いです。

私たちが日常的に使用する自然言語は、アイデアや思考、感情を伝達するための強力なツールですが、いくつかの単語や表現の曖昧さによって、誤解を招いたり解釈が難しくなったりすることもあります。たとえば、ある単語が複数の意味を持っている場合、話者がどの意味を意図しているのかを判断するのが難しいことがあります。また、文脈によっては同じ文でも矛盾するような解釈が生じることもあります。

言語のパラドックスは形式言語によって回避される

形式言語が自然言語より優れている点の一つは、正確さと曖昧さの排除によって言語のパラドックスを避けることができることです。形式言語を使用することで、誤解や矛盾を避けるために従うべき規則や慣習を明示的に定義することが可能になります。たとえば、数学論理学では「命題論理の言語」と呼ばれる形式言語を使用して、命題や命題に基づく推論を明確かつ正確に表現します。この言語は、いくつかの言語的パラドックスを回避するための規則と慣習を定めており、厳密かつ体系的に論理的証明や推論を行うために使用されます。

命題論理の言語に加えて、より複雑な状況に対応するために設計された他の言語も存在し、同じ目的を追求しています。それには、一階述語論理や二階述語論理の言語などが含まれます。

言語のパラドックスの5つの例

1. 「嘘ではない」というパラドックス：「言われることすべては嘘である」と言われるときに現れます。もしすべてが嘘なら、「すべては嘘である」というその主張も嘘になり、したがって偽です。しかしその主張が嘘でないならば、何かが真実であることになり、結局その主張は偽です。つまり、それが真であるなら偽であり、偽であるなら真である、という矛盾になります。
2. 嘘つきのパラドックス：「私は嘘をついている」という主張から生じる論理的矛盾です。もしその主張が真であれば、彼は嘘をついていることになるので、主張は偽となります。もし主張が偽であれば、彼は嘘をついていないことになるので、主張は真になります。したがって、先ほどと同様に、それが真なら偽、偽なら真という矛盾が生じます。
3. 自己言及的な性質のパラドックス：自己言及的な表現から生じる矛盾で、たとえば「20語未満で書くことができない最小の数」という表現に見られます。この表現自体が20語未満で書かれているため、それ自体がパラドックスとなっています。
4. 床屋のパラドックス：次のように提示されます：「ある村に、村の男性で自分で髭を剃らない人全員の髭を剃る床屋がいます。では、その床屋は自分の髭を剃るのでしょうか？」 一見問題がないように見えますが、この主張には矛盾があります。床屋自身も男性であるため、もし彼が自分の髭を剃るなら、自分で剃っているので床屋として剃る対象にはなりません。しかし、もし彼が自分の髭を剃らないなら、自分で剃っていない男性として床屋が剃るべき対象になります。このように堂々巡りになります。
5. 空集合の存在に関するパラドックス：これは「空集合（つまり、要素を持たない集合）は存在する」という主張に基づきます。しかし、空集合を構成する要素が存在しないということから、存在するものが存在しないものによって構成されているという矛盾が生じます。

数学論理学（記号論理学）

数学論理学は、記号論理学とも呼ばれ、記号や数学的記法を用いて議論や表現を表現・分析する論理学の一分野です。この形式の論理学は、思考や推論が数学的にモデル化され、分析され、研究されうるプロセスであるという考えに基づいています。そして、記号や数学的記法は、これらのプロセスを一貫性と正確性をもって表現・操作するために有用であるとされます。

数学論理学の学習は、まずその構成要素を表現するために使用される言語の見直しから始まります。このとき、最も一般的に扱われるのが命題論理と、一階および二階述語論理です。これらのそれぞれにおいて、無数の結果や数学定理を厳密に証明するための数学的推論の技法が展開されます。

記号論理学の学習は、数学における基本的な柱の一つを成しています。

数学の4つの基本的な柱

数学論理学は、数学の基礎における重要な一部です。これらの基礎は、次の4つの柱から成り立っています：

1. 証明論：数学的・科学的議論をどのように提示・評価できるかを研究する分野です。この理論は、証明が厳密で論理的であり、形式的原理に基づくべきであるという考えに基づいています。証明論には、帰納法による証明や演繹的証明など、さまざまなタイプの証明に関する研究が含まれ、これらの手法を数学的・科学的問題の解決にどう活用するかが探究されます。これはまさに、数学論理学の学習で行うことです。
2. 集合論：要素や対象の集まりである集合について研究する数学の一分野です。この理論には、集合の定義・分類方法、およびそれらに対してどのような操作が可能かに関する研究が含まれます。集合論は現代数学の基礎を成すものであり、多くの数学的概念や基本原理の発展と応用に用いられています。
3. 計算理論：以下の基本的な分野から構成されます：
   1. 計算複雑性理論：計算機科学の一分野であり、問題やアルゴリズムの複雑性を研究します。この理論では、さまざまな問題やアルゴリズムの複雑性をどのように測定・比較するか、また、これらの問題を解決するためにより効率的なアルゴリズムをどのように開発・利用するかが探究されます。
   2. 計算可能性理論：計算機科学の一部であり、コンピュータによって解決または評価可能な問題や関数、および不可能なものを研究します。この理論には、計算可能な問題や関数の定義・分類方法、およびそれらをどのように開発・利用できるかに関する研究が含まれます。
4. モデル理論：論理学および数学において、形式的理論（形式言語で書かれた命題で、ある数学的構造に関する主張を行うもの）とそのモデル（それらの構造を満たすもの）との関係を研究する分野です。これらの数学的構造には、群、体、グラフなどが含まれます。モデル理論は、純粋に形式的な表現に意味的な解釈を与えることを可能にし、また、主張の完全性、一貫性、独立性に関する問題を研究する手段を提供します。

これらの柱のそれぞれを深く学ぶことは、他の柱のどれかに触れずに行うことは極めて困難です。これらの柱の研究は通常、相互に絡み合っています。「数学論理学とは何か？」という問いに向き合うとき、私たちはたいていこれら4つの柱を横断するような学際的な学びを通じてその答えに辿り着くことになるのです。