すでに推論の構造と簡単な例について学びました。ここではその知識を用いて、命題論理における4つの推論技法を使って推論を行ってみましょう。これにより、これらの技法が実際に機能することを確認するだけでなく、これまで初歩的だった命題論理の計算に豊かさを与える手続きが導入されます。

命題論理の式 \alpha, \beta, \gamma に対して、以下の推論技法を基礎から導くことが可能です：

仮定規則（Pre）

最も基本的な推論規則は仮定規則です。これは、定理 \vdash(\alpha\rightarrow\alpha) に対して推論定理の逆を直接適用することで導出されます。もしこの説明が難しく聞こえたとしても、必要な情報はすべてこちらにあります。

\{\alpha\}\vdash \alpha

この規則を単調性規則と組み合わせることで、推論内に都合のよい式を加えることが可能になります。

仮言三段論法（SH）

仮言三段論法、すなわち含意の推移律は、モーダスポネンスの発展形ともいえる規則です。その形式は以下のとおりです：

\{(\alpha\rightarrow\beta), (\beta\rightarrow\gamma)\}\vdash (\alpha\rightarrow\gamma)

この推論規則にはいくつかの導出方法が存在しますが、ここではそのうちの2通りを紹介します。

式を前提として推論する場合、次のような推論の構築は容易です：

したがって \{\alpha,(\alpha\rightarrow\beta),(\beta\rightarrow\gamma)\}\vdash\gamma

最後に、この式に推論定理を適用すれば、次のようになります：

\{(\alpha\rightarrow\beta),(\beta\rightarrow\gamma)\}\vdash(\alpha\rightarrow \gamma)

この規則を証明するもう一つの方法は、推論の形式自体を基にして構築することであり、仮定規則と単調性を用いて構成することができます。以下のように、推論を用いた証明を見てみましょう：

ここで注意すべき点は、両方の証明が実質的に同一であるということです。ただし、それぞれ異なるスタイルで展開されています。実際の場面では、自分にとって使いやすいスタイルを選んで使い分けることができます。

二重否定の同値性（DN）

二重否定の同値性は、ある主張に対する二重否定が元の主張と同値であるという直感的な概念を再現するものです。これを記号的に表すと、以下のようになります：

\alpha\dashv\vdash\neg\neg\alpha

それでは、この同値性の証明を見てみましょう：

したがって\{\neg\neg \alpha \} \vdash \alpha

逆方向の証明を行うには、今行った証明を単純な置換によって再利用することができます。すると次のようになります：

\{\neg\neg \neg \alpha \} \vdash \neg \alpha

これに基づいて、逆方向の証明を構築することができます：

したがって \{\alpha \} \vdash \neg\neg \alpha

最終的に、これら2つの証明から次の関係が導かれます： \alpha \dashv\vdash \neg\neg \alpha

含意の対偶による同値性（CpI）

これは次の同値関係に対応します：

(\alpha \rightarrow \beta) \dashv\vdash (\neg\beta \rightarrow \neg\alpha)

(\neg\alpha\rightarrow\beta)\dashv\vdash (\neg\beta\rightarrow\alpha)

(\alpha\rightarrow\neg\beta) \dashv\vdash (\beta\rightarrow\neg\alpha)

最初の関係の証明は以下のように行われます：

一方の方向は、第3公理から直接導かれます。

したがって \{(\neg\beta\rightarrow \neg\alpha)\}\vdash (\alpha \rightarrow \beta)

逆方向の証明は、次の推論から得られます：

したがって \{(\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )

したがって、前の2つの推論から次のことが成り立ちます：

(\alpha \rightarrow \beta) \dashv\vdash (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )

2つ目の同値関係を証明するためには、次の2つの推論を行うことができます：

したがって \{(\neg\alpha \rightarrow \beta)\} \vdash(\neg\beta \rightarrow \alpha)

ここで、逆方向の証明を行う必要があります。次の推論によって行うことができます：

したがって \{(\neg\beta\rightarrow\alpha)\}\vdash (\neg\alpha \rightarrow \beta)

最後に、これら2つの推論から次の同値性が導かれます： (\neg\beta\rightarrow\alpha) \dashv \vdash (\neg\alpha \rightarrow \beta) 。これが示したかったことです。

最後の同値性は練習問題として残しておきます。証明するには、これまでに示した2つの証明を参考にしてください。これは推論技術を習得する最も効果的な方法です。