連言と選言の導入および除去

古典論理の技法の一つ は、接続詞（連言および選言）の導入と除去に関するものです。これらの技法はある程度直感的に実行されますが、その正当化は必ずしも自明ではありません。しかし、以前の講義で証明した命題論理の規則に基づいて導出することが可能です。形式的には、接続詞と選言の導入および除去に関する技法は次の通りです：

これらの命題論理に基づく証明は以下の通りです：

∨-導入

∨-除去

∧-導入

∧-除去

矛盾とトートロジーの技法

排中律またはトートロジーの規則（tau）

古典論理におけるもう一つの顕著な特徴 は、排中律（tertium non datur）の性質です。これは、ある主張とその否定が与えられたとき、いずれか一方は必ず真でなければならない、という原理です。別の言い方をすれば、一方が他方を否定する2つの命題の選言は必然的にトートロジーになります。形式的には、次のように表されます：

\vdash (\neg\alpha \vee\alpha)

この証明は比較的簡単に得られます。

排中律を別の形で述べると、それは矛盾律となります。矛盾律は、ある命題が同時に真であり偽であることはできないとする原理であり、次のように形式的に表されます：

\vdash \neg(\neg\alpha \wedge \alpha)

この性質は証明を必要としません。なぜなら、それ自体が自明という意味ではなく、排中律における連言の定義から直接導かれるからです。

矛盾の規則または爆発原理

古典論理におけるもう一つの既知の性質 は、爆発原理です。これは通常「矛盾した前提からは任意の結論が導ける」といった形で表現されます。次のいずれかの形式で提示されることが一般的です：

\{(\neg\alpha \wedge \alpha)\}\vdash \beta

\{\alpha, \neg\alpha\}\vdash \beta

この規則の証明は簡単です：

∨-除去3

モーダス・ポネンス（modus ponens）は 二通りの異なる形で記述できます。よく知られている形式は \{\alpha,(\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash \beta ですが、もう一つの形式はやや馴染みが薄いかもしれません：

\{\alpha\}\vdash\beta \; \wedge \; \vdash \alpha \; \Longrightarrow \; \vdash \beta

この2つ目の形式に注目すると、そこから発展的に導かれる規則として ∨-除去3 があります。これは、ある命題 \gamma が \alpha と \beta のそれぞれから導出され、さらにそれらの選言 (\alpha \vee \beta) が定理である場合に、\gamma もまた定理である、という考え方です。これは次のように形式的に表されます：

\{\alpha\}\vdash\gamma\; \wedge \; \{\beta\}\vdash\gamma \; \wedge \; \vdash (\alpha \vee \beta) \Longrightarrow \vdash \gamma

この古典論理の技法に関する証明は以下の通りです：

事例による証明（cas）

古典論理のもう一つの技法 に「事例による証明」があります。ある式 \beta が、ある式 \alpha とその否定の両方から導かれる場合、\beta は必然的に定理であるとされます。これは形式的に次のように表されます：\alpha \vdash \beta \; \wedge \; \neg\alpha \vdash \beta \Longrightarrow \vdash \beta。その証明は次の通りです：

\begin{array}{rll} (1) & \alpha \vdash \beta &; 前提\\ (2) & \neg \alpha \vdash \beta &; 前提 \\ (3) & \vdash \alpha \vee \neg\alpha &; TAU（排中律） \\ (4) & \vdash \beta &; ∨-除去3 (1,2,3) \end{array}

背理法（absurdo）

古典論理において最も広く使われる技法の一つが「背理法」です。特に数学の証明において頻繁に登場します。この技法は、ある命題 \alpha から矛盾（命題とその否定の両立）が導かれる場合、その命題 \alpha の否定がトートロジー（常に真）である、というものです。形式的には次のように表されます：\{\alpha\}\vdash \beta \; \wedge \; \{\alpha\}\vdash \neg\beta \Longrightarrow \vdash \neg\alpha。その証明は以下の通りです：