अब समय है कि हम प्रस्तावित तर्क में अक्सर उपयोग की जाने वाली एक और संपत्ति की समीक्षा करें, हम बात कर रहे हैं डेमोर्गन के नियमों के प्रमाणों की, जो संयोजन और वियोग के वितरण के नियमों के हैं। इन नियमों का उपयोग सेट सिद्धांत के संदर्भ में सामान्य है और, विस्तार में, पूरी गणित: संभावनाओं के सिद्धांत से, टोपोलॉजी और यहां तक कि इलेक्ट्रॉनिक्स और प्रोग्रामिंग में भी उपस्थिति है। जैसा कि हमारी आदत है, हम इन नियमों के प्रमाणों को उन कटौती तकनीकों से विश्लेषित करेंगे जिन्हें हमने अब तक प्राप्त किया है।

डेमोर्गन के नियम

डेमोर्गन के नियम समतुल्यताओं का एक समूह है जो संयोजन और वियोग के साथ नकारात्मकता के वितरण को औपचारिक रूप से प्रस्तुत करता है। औपचारिक रूप से इन्हें निम्नलिखित समतुल्यताओं के माध्यम से व्यक्त किया जाता है:

\neg(\alpha \wedge \beta) \dashv \vdash (\neg\alpha \vee \neg \beta)

\neg(\alpha \vee \beta) \dashv \vdash (\neg\alpha \wedge \neg \beta)

इन प्रमाणित समतुल्यताओं को हमने अब तक किए गए प्रमाणों की तरह नहीं किया जा सकता है, क्योंकि हम संयोजनों और वियोगों के साथ नकारात्मकता की परिभाषाओं और कुछ खेलों का उपयोग कर सकते हैं, जो नकारात्मकता की दोहरी समतुल्यता और प्रतिस्थापन के साथ हैं। संयोजन की परिभाषा से, यह अनुसरण करता है कि:

(A \wedge B):= \neg(\neg A \vee \neg B)

इस अभिव्यक्ति के दोनों ओर एक नकारात्मकता लागू करते हुए, हमें मिलता है

\neg(A \wedge B):= \neg\neg(\neg A \vee \neg B)

फिर, दोहरी नकारात्मकता की समतुल्यता से, हमें मिलता है

\neg(A \wedge B)\dashv \vdash (\neg A \vee \neg B)

अंत में, प्रतिस्थापित करते हुए A=\alpha और B=\beta, हमें डेमोर्गन की पहली समतुल्यता मिलती है

\boxed{\neg(\alpha \wedge \beta) \dashv \vdash (\neg\alpha \vee \neg \beta)}

दूसरी प्राप्त करने के लिए, हम अभिव्यक्ति के साथ खेल सकते हैं जो हमने प्रतिस्थापन करने से पहले की थी, दोनों पक्षों में फिर से एक नकारात्मकता जोड़कर, हमें मिलता है

\neg\neg(A \wedge B)\dashv \vdash \neg(\neg A \vee \neg B)

फिर, दोहरी नकारात्मकता से, हमें मिलता है

\neg(\neg A \vee \neg B) \dashv \vdash (A \wedge B)

अगर इस अंतिम अभिव्यक्ति में हम प्रतिस्थापित करते हैं A=\neg\alpha और B=\neg\beta, तो हमें मिलेगा

\neg(\neg \neg\alpha \vee \neg \neg\beta) \dashv \vdash (\neg\alpha \wedge \neg\beta)

जो कि दोहरी नकारात्मकता की समतुल्यता के कारण, डेमोर्गन की दूसरी समतुल्यता की ओर ले जाएगी

\boxed{\neg( \alpha \vee \beta) \dashv \vdash (\neg\alpha \wedge \neg\beta)}

इसके अतिरिक्त, बिल्कुल समान तरीके से, हम कुछ और रूप प्राप्त कर सकते हैं, जो केवल उन रूपों के बदलाव हैं जिन्हें हमने अभी समीक्षा की है

\neg(\neg\alpha \wedge \beta) \dashv \vdash (\alpha \vee \neg \beta)

\neg(\neg\alpha \vee \beta) \dashv \vdash (\alpha \wedge \neg \beta)

\neg(\alpha \wedge \neg\beta) \dashv \vdash (\neg\alpha \vee \beta)

\neg(\alpha \vee \neg\beta) \dashv \vdash (\neg\alpha \wedge \beta)

संयोजन और वियोग के बीच वितरण के नियम

जैसा कि नाम से स्पष्ट है, ये नियम हमें एक अभिव्यक्ति के भीतर सेट और वियोगों को वितरित करने की अनुमति देते हैं। इन नियमों को निम्नलिखित दो समतुल्यताओं में संक्षेपित किया जा सकता है:

जैसा कि हम अब तक देख चुके हैं, यद्यपि यह एक ज्ञात परिणाम है, इसका प्रमाण तुच्छ नहीं है। जबकि, इस प्रमाण को पूरा करने के लिए दोनों दिशाओं में तर्क करना आवश्यक है, इस अवसर पर मैं केवल एक ही दिशा में प्रमाण दूंगा, दूसरा दिशा में प्रमाण पाठक के लिए एक अभ्यास के रूप में छोड़ दिया जाएगा।

∧ – वितरण

यह प्रमाणित करने के लिए कि \{(\alpha \wedge(\beta \vee\gamma))\}\vdash((\alpha \wedge \beta)\vee(\alpha \wedge \gamma)) होता है, निम्नलिखित तर्क है।

इसके साथ यह प्रमाणित होता है कि \{(\alpha \wedge(\beta \vee\gamma))\}\vdash((\alpha \wedge\beta)\vee(\alpha\wedge\gamma)). अब आपका काम है कि आप इसे आजमाएं और यह प्रमाणित करें कि \{((\alpha\wedge\beta)\vee(\alpha\wedge\gamma))\}\vdash (\alpha\wedge(\beta \vee\gamma)).

∨ – वितरण

प्रमाण \{(\alpha \vee(\beta \wedge\gamma))\}\vdash((\alpha \vee\beta)\wedge(\alpha \vee\gamma)) निम्नलिखित तर्क से प्राप्त होता है:

यह आधा प्रमाण है, अब केवल इसे वापसी में करना बाकी है, लेकिन यह पाठक के लिए एक अभ्यास के रूप में छोड़ दिया गया है :3

अंतिम विचार

इन प्रमाणों के साथ जो हमने डेमोर्गन के संयोजन और वियोग के वितरण नियमों के प्रमाणों की समीक्षा की है, हम अपने प्रस्तावित तर्क की कटौती तकनीकों के अध्ययन को समाप्त कर सकते हैं और कैसे ये प्रमाण तार्किक नियमों के प्रमाणों में बदलते हैं, या कम से कम सबसे महत्वपूर्ण प्रमाण।

इन तकनीकों पर अपने ज्ञान को मजबूत करने के लिए सभी प्रस्तावित प्रमाणों को पूरा करना महत्वपूर्ण है। इसे थोड़ा कम जटिल बनाने के लिए, प्रमाणों की तुलना करना बहुत सुविधाजनक है, क्योंकि यह संभव है कि जो रणनीति एक प्रमाण में काम करती है वह कुछ बदलावों के साथ दूसरे को प्राप्त करने के लिए भी काम करेगी।

अंतिम बात जो उल्लेखनीय है, वह है मैंने इन प्रमाणों को विकसित करने के लिए चुने गए क्रम। आपको ध्यान देना चाहिए कि प्रत्येक प्रमाण ने कुछ पूर्व प्रमाणों के परिणामों का उपयोग किया। मैंने इस क्रम को इसलिए चुना क्योंकि व्यक्तिगत रूप से मुझे यह तरीका आसान लगा। एक अच्छा अभ्यास यह है कि “क्या मैं इस पद्धति का पालन करते हुए इन प्रमाणों को एक अलग क्रम में तैयार कर सकता हूँ?”। मैं आपको दृढ़ता से सलाह देता हूँ कि आप इन प्रमाणों को एक अलग क्रम में प्राप्त करने का प्रयास करें और प्रत्येक प्रमाण का उपयोग करके अगले प्राप्त करें क्योंकि, भले ही आप ऐसा न कर पाएं, प्रयास से उत्पन्न अभ्यास आपको प्रमाणों और प्रस्तावित तर्क में उपयोग की गई विधियों की बेहतर समझ देगा।