हमारे तार्किक अध्ययन में, हम एक महत्वपूर्ण मोड़ पर पहुँच गए हैं, क्योंकि यहाँ हम प्रस्तावनात्मक तर्क की औपचारिक निगमन प्रणालियों की समीक्षा शुरू करते हैं। यहाँ से हमने जो कुछ भी देखा है वह संचालन में आता है और तार्किकता की वास्तविक भावना प्रकट होती है, क्योंकि हम प्रदर्शनों के सार का अध्ययन करेंगे। इस बिंदु पर यह माना जाता है कि आपने पहले ही देख लिया है कि अभिव्यक्तियों को कैसे लिखा जाता है और आप प्रस्तावनात्मक तर्क के बारे में समझते हैं; और अगर आपको यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है, तो इससे पहले की कक्षाओं की समीक्षा करना उचित होगा।

यह करने के बाद, अब हम जांच करेंगे कि प्रस्तावनात्मक तर्क की अभिव्यक्तियाँ आपस में कैसे संबंधित होती हैं ताकि एक निष्कर्ष बनाया जा सके। इन संबंधों का निर्माण करने वाली प्रक्रिया औपचारिक निगमन प्रणाली है।

औपचारिक निगमन प्रणाली क्या है?

औपचारिक निगमन प्रणालियाँ, या निगमन गणना प्रणालियाँ, तीन मूलभूत घटकों से मिलकर बनी होती हैं:

1. एक औपचारिक भाषा।
2. एक अक्षमात्मक योजना।
3. मूलभूत अनुमान नियम।

हम पहले ही औपचारिक भाषाओं से संबंधित सभी चीजों की समीक्षा कर चुके हैं। अब हमें अक्षमात्मक योजनाओं और मूलभूत अनुमान नियमों को पेश करना होगा।

प्रस्तावनात्मक गणना की औपचारिक निगमन प्रणाली का निर्माण करने के लिए हम Łukasiewicz के अक्षमाओं से शुरुआत करेंगे, और मूलभूत अनुमान नियम के रूप में हम मोडस पोनेंस का उपयोग करेंगे।

प्रस्तावनात्मक तर्क के लिए Łukasiewicz के अक्षमाएं

यदि \alpha, \beta और \gamma प्रस्तावनात्मक गणना के अभिव्यक्तियाँ हैं, तो निम्नलिखित प्रस्तावनात्मक गणना के अक्षमाएं हैं:

मोडस पोनेंस: प्रस्तावनात्मक गणना का अनुमानी इंजन

यदि \alpha और \beta प्रस्तावनात्मक गणना के मान्य अभिव्यक्तियाँ हैं, तो मोडस पोनेंस के अनुसार \alpha और (\alpha \rightarrow \beta) से \beta का निष्कर्ष निकाला जाता है। तर्क के रूप में इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

यहाँ मोडस पोनेंस को कदमों (1) और (2) के बीच “MP(1,2)” के रूप में संक्षेप में दर्शाया गया है, और इसका सार निम्नलिखित नोटेशन के माध्यम से प्रस्तुत किया जाता है:

अतः \{\alpha, (\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash \beta

हम जल्द ही देखेंगे कि Łukasiewicz के अक्षमाओं और मोडस पोनेंस के उपयोग से प्रस्तावनात्मक गणना की सभी अनुमान तकनीकों का निर्माण किया जा सकता है, जो सामान्य तर्क के मूल नियमों का संक्षेपण करते हैं और शास्त्रीय तर्क के आधारभूत नींव के रूप में काम करते हैं।

तर्क, प्रमेय और प्रस्ताव

प्रस्तावनात्मक तर्क की औपचारिक निगमन प्रणालियों में तर्क (या निष्कर्ष) चलाए जाते हैं, और ये कोई भी अभिव्यक्ति का अनुक्रम होते हैं जहां प्रत्येक या तो एक प्रस्ताव होता है या एक अभिव्यक्ति जो प्रस्तावों से Łukasiewicz के अक्षमाओं और मोडस पोनेंस का उपयोग करके प्राप्त की जाती है। एक प्रमेय एक निष्कर्ष का परिणाम होता है जिसमें कोई प्रस्ताव नहीं होते। एक प्रस्ताव कोई भी अभिव्यक्ति हो सकती है जो न तो एक अक्षमा है और न ही उनसे निष्कर्षित होती है। सामान्यतः, जब हमारे पास \Gamma का एक समूह होता है और एक अभिव्यक्ति \alpha जो \Gamma के किसी तत्व, अक्षमाओं और मोडस पोनेंस का उपयोग करके प्राप्त की जाती है, तो हम लिखते हैं “\Gamma \vdash \alpha” और कहते हैं कि

\Gamma से \alpha निष्कर्षित होता है

यदि \Gamma एक खाली समूह है, तो “\emptyset\vdash \alpha” लिखने के बजाय हम लिखते हैं “ \vdash \alpha .” इसे पढ़ा जाता है “\alpha एक प्रमेय है।” इस तरह प्रमेयों को दर्शाने का तरीका अक्षमाओं के प्रतिनिधित्व के लिए भी विस्तारित किया जा सकता है, इस प्रकार कि, अगर \alpha, \beta और \gamma अभिव्यक्तियाँ हैं, तो Łukasiewicz के अक्षमाएं इस प्रकार लिखी जा सकती हैं:

इससे यह कहा जाता है कि अक्षमाएं स्वतः स्पष्ट कथन हैं, या प्रमेय वे अभिव्यक्तियाँ हैं जो शून्य से निष्कर्षित होती हैं, या अक्षमाएं और प्रमेय प्रस्तावनात्मक गणना के गुण हैं।

प्रस्तावनात्मक तर्क में एक प्रदर्शन कैसे किया जाता है?

इस बिंदु पर हम थ्योरी की चर्चा छोड़ प्रैक्टिस की ओर बढ़ेंगे। एक प्रदर्शन के संचालन पर बहुत कुछ कहा जा सकता है; लेकिन औपचारिक निगमन प्रणालियों और प्रस्तावनात्मक तर्क के बारे में कितनी भी उत्कृष्ट बातें कही जाएं, और सभी को समझा जाए, इसका यह अर्थ नहीं है कि ज़रूरी है कि आप एक प्रदर्शन संचालित करने की आवश्यक क्षमताओं का विकास कर रहे हों। इसलिए, प्रदर्शन करने के तरीके सिखाने के लिए हम एक सरल थ्योरम के प्रदर्शन की समीक्षा करेंगे।

थ्योरम

यदि \alpha प्रस्तावनात्मक तर्क का एक अभिव्यक्ति है, तो यह सत्य है कि

\vdash (\alpha\rightarrow \alpha)

प्रदर्शन

अतः \vdash (\alpha\rightarrow\alpha)

प्रदर्शन का समापन।

जैसा कि देखा जा सकता है, औपचारिक निगमन प्रणालियों और प्रस्तावनात्मक तर्क में प्रदर्शन तुच्छ नहीं होते हैं, लेकिन एक बार निर्मित होने के बाद उन्हें दोहराना आसान होता है।

अब, इन तकनीकों के साथ निष्कर्ष निकालने में सिर कूदने से पहले, हम पहले कुछ गुणों और परिभाषाओं का विकास करेंगे जो इस काम के लिए बेहद उपयोगी होंगे, क्योंकि यदि हम केवल इसी पर विचार करते हैं तो हमें भयानक समस्याओं का सामना करना पड़ सकता है।

परीक्षित समानता की अवधारणा

यदि \alpha और \beta कोई भी प्रस्तावनात्मक गणना के अभिव्यक्तियाँ हैं और साथ-साथ यह सत्य होता है कि \{\alpha\}\vdash \beta और \{\beta\} \vdash \alpha, तो कहा जाता है कि \alpha और \beta परीक्षित समान हैं और इसे लिखा जाएगा \alpha \dashv \vdash \beta। यह प्रतीकात्मक रूप से इस प्रकार सारांशित किया जाता है:

\left(\{\alpha\}\vdash\beta \wedge \{\beta\}\vdash\alpha \right) \Leftrightarrow \left(\alpha\dashv\vdash\beta\right)

इसे पढ़ा जाता है: \alpha से \beta निष्कर्षित होता है, और \beta से \alpha निष्कर्षित होता है यदि और केवल यदि \alpha और \beta परीक्षित समान हैं।

यह प्रस्तावनात्मक तर्क का एक मेटा-गुण है।

अनुमान (मेटा)प्रमेय

यदि \alpha और \beta प्रस्तावनात्मक गणना के अभिव्यक्तियाँ हैं, और \Gamma प्रस्तावों का एक समूह है; तो यह माना जाता है कि यदि \Gamma \cup \{\alpha\} से \beta निष्कर्षित होता है, तो \Gamma से (\alpha \rightarrow \beta) निष्कर्षित होता है। प्रतीकात्मक रूप से यह इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

\left(\Gamma \cup \{\alpha\}\vdash \beta \right) \Rightarrow \left( \Gamma\vdash(\alpha\rightarrow\beta)\right)

प्रदर्शन:

इसे सिद्ध करने के लिए, आवश्यक है कि \Gamma \cup \{\alpha\}\vdash \beta का एक निष्कर्ष निम्नलिखित रूप में हो:

अतः \Gamma\cup\{\alpha\} \vdash \beta

इसे संभव बनाने के लिए, आवश्यक है कि \gamma_1, \cdots \gamma_n,\overline{\gamma_1},\cdots,\overline{\gamma_m} में से कम से कम एक अभिव्यक्ति (\alpha\rightarrow \beta) के रूप में हो, लेकिन ये सभी पंक्तियाँ केवल \Gamma के तत्वों और Łukasiewicz के अक्षमाओं को शामिल करती हैं, इसलिए यह माना जाता है कि \Gamma\vdash (\alpha \rightarrow \beta)। इस प्रकार थ्योरम सिद्ध होता है।

प्रदर्शन का समापन।

अनुमान प्रमेय का प्रतिकूल

अनुमान प्रमेय की स्थितियों में, यह माना जाएगा कि

\left(\Gamma\vdash(\alpha \rightarrow \beta)\right) \Rightarrow \left( \Gamma \cup \{\alpha\}\vdash \beta \right)

प्रदर्शन:

यदि \Gamma\vdash (\alpha\rightarrow \beta) सत्य होता है, तो इस प्रकार का एक निष्कर्ष होगा

अब, यदि हम इस तर्क में \alpha को एक अतिरिक्त प्रस्ताव के रूप में जोड़ते हैं, तो हमारे पास निम्नलिखित पंक्तियां होंगी

अतः \Gamma \cup \{\alpha\} \vdash \beta

जिसका प्रदर्शन करना चाहिए था।

प्रदर्शन समाप्त।

अभिव्यक्तियों पर निष्कर्ष और निष्कर्षों पर निष्कर्ष

पहले की तरह \vdash (\alpha\rightarrow \alpha) परिणाम प्राप्त करने के लिए किए गए प्रदर्शन अभिव्यक्तियों के आधार पर निष्कर्ष के मामले हैं, क्योंकि प्रत्येक चरण में एक विशिष्ट अभिव्यक्ति होती है। इसी तरह अन्य निष्कर्षों के आधार पर निष्कर्ष निकालना संभव है, जहां प्रत्येक चरण अपने आप में एक निष्कर्ष होता है। व्यावहारिक रूप से, दोनों चीजें समान रूप से की जाती हैं, लेकिन दूसरी विधि हमें अनुमान प्रमेय और इसके प्रतिकूल का उपयोग करने की अनुमति देती है, जिससे तर्क करने की तकनीक में महान लचीलापन आता है। इसे देखने के लिए, चलिए फिर से प्रदर्शित करते हैं कि \vdash (\alpha \rightarrow \alpha), लेकिन इस बार अभिव्यक्तियों के बजाय निष्कर्षों का उपयोग करके। इसके लिए एक विकल्प निम्नलिखित है:

ध्यान दें कि यह तर्क पहले की गई विधि से छोटा नहीं है, लेकिन इसे करना कहीं अधिक आसान है, हमें केवल अनुमान प्रमेय, इसके प्रतिकूल और अक्षमात्मक योजना A1 का उपयोग करके प्रदर्शन बनाना पड़ता है।

प्रतीत होता है कि अभी की गई विकास प्रक्रिया में हमने केवल Łukasiewicz के एक अक्षमा का उपयोग किया है और अन्य अक्षमाओं और मोडस पोनेंस को भूल गए हैं। क्या इसका मतलब यह है कि इस तरह से तर्क करके हम अन्य अक्षमाओं और मोडस पोनेंस को भूल जाते हैं? उत्तर हाँ और नहीं है। एक ओर, हम कुछ अक्षमाओं और मोडस पोनेंस को भूल सकते हैं क्योंकि हम उनका प्रत्यक्ष रूप से उपयोग नहीं कर रहे हैं, हालांकि, यह याद रखना चाहिए कि अनुमान प्रमेय और इसके प्रतिकूल दोनों ही Łukasiewicz के अक्षमाओं और मोडस पोनेंस का परिणाम हैं, जो यह दर्शाता है कि, इनका उपयोग करते समय, जैसा कि हमने अभी देखे गए तर्क में किया है, हम वास्तव में उनका अप्रत्यक्ष रूप से उपयोग कर रहे हैं।

समरूपता का नियम

यदि \tau एक प्रमेय है, तो यह होगा कि, किसी भी अभिव्यक्ति \beta के लिए यह सत्य होगा कि

\{\beta\}\vdash\tau

यह वास्तव में एक बहुत ही आसानी से सिद्ध होने वाला नियम है, क्योंकि \tau एक प्रमेय होने के नाते यह सत्य होगा कि \vdash \tau। अर्थात्, एक ऐसी तर्क विधि होती है जो प्रस्तावों को जोड़े बिना \tau अभिव्यक्ति तक पहुँचती है, इसलिए प्रस्तावों (खाली) में एक अतिरिक्त अभिव्यक्ति जोड़ने से कोई अंतर नहीं पड़ता।

इसी तरह, अगला परिणाम इस प्रकार प्रस्तुत किया जा सकता है: यदि \Gamma के प्रस्ताव समूह से \gamma निष्कर्षित होता है, तो यह सत्य होगा कि

\Gamma\cup\{\alpha\}\vdash\gamma

जहां \alpha कोई भी अभिव्यक्ति है।

औपचारिक निगमन प्रणालियों और प्रस्तावनात्मक तर्क पर संक्षेप और विचार

जब हम प्रस्तावनात्मक तर्क की भाषा को एक अनुमान नियम और मूलभूत अभिव्यक्तियाँ प्रदान करते हैं: मोडस पोनेंस और Łukasiewicz के अक्षमाएं, हम जो करते हैं वह एक “औपचारिक निगमन मशीन” और “इसे गति में लाने के लिए ऊर्जा प्रदान करने वाला इंजन” बनाने के समान है। यहीं से प्राकृतिक रूप से सभी मूलभूत निगमन नियमों का उदय होना शुरू होता है जिनकी समीक्षा हम इसके बाद के अंकों में करेंगे।

एक और महत्वपूर्ण विस्तार। प्रस्तावनात्मक तर्क की अभिव्यक्तियाँ वास्तव में दो प्रतीकों वाली भाषा की मेटा-अभिव्यक्तियाँ हैं जिन्हें हमने पहले देखा था। याद रखें कि इन मेटा-अभिव्यक्तियों की खासियत यह है कि वे हमें अपने मेटा-चर को किसी भी भाषा की अभिव्यक्ति से बदलने की अनुमति देते हैं ताकि एक नई अभिव्यक्ति प्राप्त की जा सके जो उस संरचना को संतुष्ट करती हो। प्रस्तावनात्मक तर्क की भाषा को अक्षमात्मक योजनाओं और अनुमान नियमों से युक्त करके, हम प्रस्तावनात्मक तर्क की औपचारिक निगमन प्रणालियों का निर्माण करते हैं जो अभिव्यक्तियों को जोड़ने वाले निष्कर्षों को उत्पन्न करने की अनुमति देते हैं। परिणामस्वरूप हमारे पास एक ऐसी निगमन योजना होती है जो अनंत निष्कर्षों को समाहित कर सकती है: वे सभी जो हम मेटा-चरों को हम चाहें वैसी अभिव्यक्तियों से बदलकर प्राप्त कर सकते हैं। तर्क की शक्ति वास्तव में तब उजागर होती है जब हम यह समझते हैं कि शुरुआत में उपयोग की गई दो प्रतीकों वाली भाषा की अभिव्यक्तियों के अलावा, जब हम उनके स्थान पर हमारी सामान्य भाषा की अभिव्यक्तियों का उपयोग करते हैं तो क्या होता है, और परिणामस्वरूप हम विस्मय में डूब जाते हैं।