स्टर्लिंग का सूत्र

स्टर्लिंग का सूत्र बड़े संख्याओं के फैक्टोरियल की गणना को सरल बनाने के लिए एक आवश्यक उपकरण है, जो एक तेज और व्यावहारिक अनुमान प्रदान करता है।

यह परिणाम विशेष रूप से थर्मोडायनामिक्स, संभाव्यता, और एसिम्प्टोटिक विश्लेषण जैसे क्षेत्रों में उपयोगी है, जहां अत्यधिक बड़े संख्याओं के साथ काम करना आम है। इसके विकास को समझने से न केवल इसके अनुप्रयोग को सरल बनाया जा सकता है, बल्कि जटिल समस्याओं को हल करने में इसकी प्रासंगिकता को भी सराहा जा सकता है।

अध्ययन के उद्देश्य:
इस कक्षा के अंत तक छात्र निम्नलिखित करने में सक्षम होगा:

1. समझना फैक्टोरियल की परिभाषा से स्टर्लिंग सूत्र का निष्कर्षण, गामा फ़ंक्शन के माध्यम से।
2. लागू करना स्टर्लिंग सूत्र का उपयोग बहुत बड़ी संख्याओं के फैक्टोरियल के अनुमान के लिए।
3. गणना करना लॉगरिदमिक अनुमानों को साधारण लॉगरिदम और घातांक टूल्स का उपयोग करके।

विषय सूची:
स्टर्लिंग सूत्र का प्रदर्शन
फैक्टोरियल का लॉगरिदमिक अनुमान
उदाहरण: एक बहुत बड़ी संख्या के फैक्टोरियल का अनुमान

स्टर्लिंग सूत्र का प्रदर्शन

स्टर्लिंग सूत्र का विकास गामा फ़ंक्शन का उपयोग करके फैक्टोरियल की परिभाषा से शुरू होता है, जो इस प्रकार है:

n! =\Gamma(n+1) = \displaystyle \int_0^\infty t^n e^{-t} \, dt

इस अभिव्यक्ति का उपयोग करके, हम एक चर परिवर्तन करते हैं: t = nx. इसका मतलब है कि x \in [0, \infty[ और dt = n dx. इस परिवर्तन के साथ, समाकलन निम्न प्रकार से बदल जाता है:

n! = \Gamma(n+1) = \displaystyle \int_0^\infty (nx)^n e^{-nx} n \, dx = n^{n+1} \int_0^\infty x^n e^{-nx} dx

इसके बाद, हम दूसरा चर परिवर्तन करते हैं: x = 1 + \dfrac{s}{\sqrt{n}}. इसका मतलब है:

\begin{array}{rl} & s = (x-1)\sqrt{n}, \quad s \in [-\sqrt{n}, \infty[ \\ \\ & dx = \dfrac{ds}{\sqrt{n}} \end{array}

इस परिवर्तन के साथ, समाकलन निम्न रूप लेता है:

\begin{array}{rl} n! = \Gamma(n+1) &= \displaystyle n^{n+1} \int_{-\sqrt{n}}^\infty \left( 1 + \dfrac{s}{\sqrt{n}} \right)^n e^{-n\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right)} \dfrac{ds}{\sqrt{n}} \\ \\ &= \displaystyle \dfrac{n^{n+1}}{\sqrt{n}} \int_{-\sqrt{n}}^\infty e^{n\ln\left( 1 + \dfrac{s}{\sqrt{n}} \right)} e^{-n - s\sqrt{n}} ds \\ \\ &= \displaystyle n^n e^{-n} \sqrt{n} \int_{-\sqrt{n}}^\infty e^{n\ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right) - s\sqrt{n}} ds \end{array}

अब हम प्राकृतिक लॉगरिदम के लिए टेलर श्रृंखला का विस्तार करते हैं:

\ln(1+x) = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k+1}x^k}{k}

इस विस्तार को \ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right) पर लागू करते हुए, हम घातांक को निम्न प्रकार से विस्तारित करते हैं:

\begin{array}{rl} n\ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right) - s\sqrt{n} & = \displaystyle n \left[\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k+1}\left(\dfrac{s}{\sqrt{n}} \right)^k}{k} \right] - s\sqrt{n} \\ \\ & = n \left[ \dfrac{s}{\sqrt{n}} - \dfrac{s^2}{2n} + \dfrac{s^3}{3n\sqrt{n}} - \dfrac{s^4}{4n^2} + \dfrac{s^5}{5n^2\sqrt{n}} \cdots \right] - s\sqrt{n} \\ \\ & = s\sqrt{n} - \dfrac{s^2}{2} + \dfrac{s^3}{3\sqrt{n}} - \dfrac{s^4}{4n} + \dfrac{s^5}{5n\sqrt{n}} \cdots - s\sqrt{n} \\ \\ & = - \dfrac{s^2}{2} + \dfrac{s^3}{3\sqrt{n}} - \dfrac{s^4}{4n} + \dfrac{s^5}{5n\sqrt{n}} \cdots \\ \\ & = - \dfrac{s^2}{2} + \displaystyle \sum_{k=3}^\infty \dfrac{(-1)^{k+1}s^k}{k\sqrt{n^{k-2}}} \end{array}

इस प्रकार, हम पूर्ण अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिख सकते हैं:

n! = \Gamma(n+1) = \displaystyle n^n e^{-n} \sqrt{n} \int_{-\sqrt{n}}^\infty e^{- \dfrac{s^2}{2} + \displaystyle \sum_{k=3}^\infty \dfrac{(-1)^{k+1}s^k}{k\sqrt{n^{k-2}}}} ds

यह परिणाम बहुत बड़ी संख्याओं के फैक्टोरियल की गणना के लिए मौलिक है। जैसे-जैसे n बढ़ता है, घातांक में श्रृंखला के पद शून्य की ओर बढ़ते हैं, केवल प्रमुख पद को छोड़कर। यह समाकलन को सरल बनाता है, जिसे एक गॉसियन समाकलन के रूप में हल किया जा सकता है:

n! = \Gamma(n+1) \approx \displaystyle n^n e^{-n} \sqrt{n} \int_{-\infty}^\infty e^{- \frac{s^2}{2}} ds = n^n e^{-n} \sqrt{n} \sqrt{2\pi}

यह परिणाम स्टर्लिंग का सूत्र के नाम से जाना जाता है, जो बड़ी संख्याओं के फैक्टोरियल की गणना के लिए है:

\boxed{n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n}}

फैक्टोरियल का लॉगरिदमिक अनुमान

स्टर्लिंग सूत्र का एक सीधा परिणाम फैक्टोरियल का लॉगरिदमिक अनुमान है। स्टर्लिंग सूत्र का प्राकृतिक लॉगरिदम लेने पर हमें मिलता है:

\begin{array}{rcl} \ln(n!) \approx \ln\left( \sqrt{2n\pi}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n} \right) &=& \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln\left(\dfrac{n}{e}\right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n \\ \\ &\approx & n\ln(n) - n \end{array}

अंतिम चरण में, \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) पद को छोड़कर एक अतिरिक्त सरलीकरण किया गया है। यह पद n\ln(n) - n के मुकाबले नगण्य हो जाता है जब n बड़ी हो।

इस अनुमान की वैधता की जांच दोनों अभिव्यक्तियों के बीच सापेक्ष त्रुटि की गणना करके की जा सकती है:

\begin{array}{rcl} \text{प्रारंभिक अनुमान} & = & \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n \\ \\ \text{अंतिम अनुमान} & = & n\ln(n) - n \\ \\ \text{सापेक्ष त्रुटि} &=& \dfrac{\text{अंतिम अनुमान} - \text{प्रारंभिक अनुमान}}{\text{प्रारंभिक अनुमान}} \\ \\ &=& \dfrac{-\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi)}{\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n} \end{array}

जब n \to \infty, तब सीमा की गणना करते हैं:

\begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \text{सापेक्ष त्रुटि} & = \displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{-\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi)}{\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n} \\ \\ & = \displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{-\dfrac{1}{2n}}{\dfrac{1}{2n} + \ln(n) + 1 - 1} = 0 \end{array}

इसलिए, क्योंकि त्रुटि n के बड़े मानों के लिए शून्य की ओर बढ़ती है, हम निम्नलिखित लॉगरिदमिक अनुमान का आत्मविश्वास के साथ उपयोग कर सकते हैं:

\boxed{\ln(n!) \approx n\ln(n) - n}

उदाहरण: एक बहुत बड़ी संख्या के फैक्टोरियल का अनुमान

बहुत बड़ी संख्या जैसे 10,000! का फैक्टोरियल गणना करना पारंपरिक उपकरणों से लगभग असंभव है क्योंकि परिणाम का आकार बहुत बड़ा होता है। हालांकि, स्टर्लिंग सूत्र से प्राप्त लॉगरिदमिक अनुमान का उपयोग करके इसे प्रबंधनीय बनाया जा सकता है, भले ही साधारण कैलकुलेटर का उपयोग किया जाए।

फैक्टोरियल का लॉगरिदमिक सूत्र हमें बताता है:

\ln(10,000!) \approx 10,000 \ln(10,000) - 10,000

प्राकृतिक लॉगरिदम (\ln) को आधार-10 लॉगरिदम (\log) में बदलने के लिए, हम निम्नलिखित संबंध का उपयोग करते हैं:

\ln(10,000!) = \dfrac{\log(10,000!)}{\log(e)}

इससे पता चलता है:

\log(10,000!) \approx \log(e) \cdot (10,000 \ln(10,000) - 10,000)

अतः:

10,000! \approx 10^{\log(e) \cdot (10,000 \ln(10,000) - 10,000)} \approx 10^{35,657.06}

यहां हम ध्यान देते हैं कि घातांक में अभिव्यक्ति अधिकांश कैलकुलेटरों के लिए प्रबंधनीय है। इसलिए, भले ही हम संख्या को उसके विशाल आकार के कारण देख न सकें, हमें पता है कि इसमें लगभग 35,657 अंक होंगे। यह दृष्टिकोण एक असंभव लगने वाले गणना को संभव में परिवर्तित करता है।