समान रूप से त्वरित सीधी रेखा गति क्या है?

समान रूप से त्वरित सीधी रेखा गति, संक्षेप में MRUA, एक प्रकार की गति है जिसे हमने पहले से ही अप्रत्यक्ष रूप से अध्ययन किया है। जब हम पथ समीकरणों से इसे मॉडल करने के तरीके की समीक्षा करेंगे, तो आप इसे देखेंगे। लेकिन अगर हम एक त्वरित विवरण चाहते हैं, तो MRUA एक प्रकार की गति है जिसमें त्वरण स्थिर होता है, आकार और दिशा दोनों में, और यह एक सीधी रेखा पर विकसित होती है; अर्थात, एक आयाम में।

पथ समीकरणों से समान रूप से त्वरित सीधी रेखा गति

MRUA की व्युत्पत्ति पहले की कक्षाओं में समाकलन द्वारा प्राप्त पथ समीकरणों से सीधे होती है। चूंकि MRUA एक ऐसी गति है जिसमें स्थिर और एक-आयामी त्वरण होता है, हमें केवल एकल निर्देशांक अक्ष पर व्युत्पत्तियाँ करनी होती हैं; यदि हम \hat{x} अक्ष पर तर्क करते हैं, तो हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है:

\begin{array}{rcl} a_x(t) & =& a_{0x} \\ \\ v_x(t) & =& \int a_{0x}dt = a_{0x}t + v_{0x} \\ \\ x(t) & =& \displaystyle \int v_{x}(t)dt = \frac{1}{2}a_{0x}t^2 + v_{0x}t + x_0 \end{array}

यहाँ, a_{0x}, v_{0x} और x_0 सभी स्थिरांक हैं, और अंतिम दो समाकलन स्थिरांक हैं। और इसके साथ, हमारे पास \hat{x} अक्ष की दिशा में समान रूप से त्वरित सीधी रेखा गति का एक पूर्ण मॉडल है। किसी अन्य अक्ष के लिए तर्क पूरी तरह से समान होता है।

MRUA और मुक्त पतन का मामला

MRUA के सबसे प्रतिनिधि मामलों में से एक मुक्त पतन है। यह एक समान रूप से त्वरित सीधी रेखा गति है जो ऊर्ध्वाधर रूप से विकसित होती है और जो गुरुत्वाकर्षण त्वरण द्वारा उत्पन्न होती है। इसका मॉडल पथ समीकरणों के माध्यम से निम्नलिखित है:

\begin{array}{rcl} a_y(t) & =& -g \\ \\ v_y(t) & =& -gt + v_{0y} \\ \\ y(t) & =& \displaystyle - \frac{1}{2}gt^2 + v_{0y}t+ y_0 \end{array}

यहाँ गुरुत्वाकर्षण त्वरण है g=9.81[m/s^2]। मुक्त पतन में सामान्य रूप से यह स्थिरावस्था से प्रारंभ होता है (v_{0y}=0) और प्रारंभिक ऊंचाई y_0=h के साथ, जिससे समीकरण निम्नलिखित रूप में सरल हो जाते हैं

\begin{array}{rcl} a_y(t) & =& -g \\ \\ v_y(t) & =& -gt \\ \\ y(t) & =& \displaystyle - \frac{1}{2}gt^2 + h \end{array}

कोई भी समीकरण सेट हो, इसके साथ आप समीकरणों से जानकारी निकाल सकते हैं, “सही प्रश्न पूछकर”।

अगर कोई वस्तु ऊंचाई h से स्थिरावस्था से शुरू होती है

वह गिरने में कितना समय लेती है?

अगर हम इसे समीकरणों से पूछें, तो वे हमें बताएंगे कि “वस्तु जमीन पर तब पहुँचती है जब ऊंचाई शून्य होती है”, अर्थात y(t)=0. अगर ऐसी स्थिति होती है, तो हमें समय निकालना होगा समीकरण में \displaystyle \frac{1}{2}gt^2 + h = 0. इससे दो संभावित परिणाम मिलते हैं:

\displaystyle t=\pm\sqrt{\frac{2h}{g}}

ऋणात्मक समय अतीत की ओर देखता है, और धनात्मक भविष्य की ओर। चूंकि गिरावट भविष्य में होती है, हम गिरावट के समय को परिभाषित कर सकते हैं

\displaystyle t_{गिरावट}=+\sqrt{\frac{2h}{g}}

वह किस गति से जमीन पर पहुंचता है?

इस प्रश्न का उत्तर हम सरलता से गिरावट के समय को गति समीकरण में डालकर दे सकते हैं। यदि हम ऐसा करते हैं, तो हमें गिरावट की गति मिलती है:

\displaystyle v_{गिरावट} = v_y(t_{गिरावट})=-g\sqrt{\frac{2h}{g}}=-\sqrt{\frac{2g^2h}{g}} = -\sqrt{2gh}

समान रूप से त्वरित सीधी रेखा गति से संबंधित अभ्यास

1. एक वस्तु प्रारंभिक वेग v_0=10[km/h] के साथ मूल बिंदु से गुजरती है और इसका त्वरण है a_0=\displaystyle \frac{20[km/h]}{5[s]}. वस्तु की स्थिति और वेग की गणना करें निम्न समय पर: a) t=5[s], b) t=10[s], c) t=15[s] और d) t=1[min]. [समाधान]
2. एक व्यक्ति 20[m] की ऊंचाई से एक स्टील की गेंद और एक पत्थर एक ही समय में स्थिरावस्था से गिराता है। दोनों वस्तुओं का आकार समान है, लेकिन वजन अलग है। उन्हें गिरने में कितना समय लगता है और वे जमीन से टकराने के समय किस गति से चलते हैं? क्या इनमें से एक वस्तु दूसरे की तुलना में तेजी से गिर सकती है या अधिक गति से पहुंच सकती है? [समाधान]
3. एक सिक्का कुएं के तल में फेंका जाता है। संकेत करने वाला शोर कि सिक्का तल तक पहुंच गया है, 10 [s] के बाद सुना जाता है। कुएं की गहराई क्या है? [समाधान]
4. एक व्यक्ति आकाश में सीधे थूकता है और 1.2[s] में वह उसके चेहरे पर वापस गिरता है। a) उसने किस गति से थूका? b) थूक ने किस ऊंचाई को प्राप्त किया? [समाधान]