वायरस्ट्रास के चरम मान प्रमेय
क्यों अनुकूलन से संबंधित इतने अधिक समस्याओं में प्रायः यह मान लिया जाता है कि “अधिकतम अस्तित्व में है” या “न्यूनतम अवश्य मौजूद है” किसी निश्चित अंतराल में, जबकि वास्तव में ऐसा होने के लिए कोई अनिवार्यता नहीं है? वायरस्ट्रास प्रमेय वह कड़ी है जो इस पहेली में कमी थी: यह सुनिश्चित करता है कि एक बंद और परिबद्ध अंतराल पर परिभाषित एक सतत फलन न केवल परिबद्ध होता है, बल्कि अपने चरम मानों को वास्तव में ग्रहण भी करता है। इस लेख में हम इसके कथन की समीक्षा करते हैं, निरंतरता, संपीड्यता और सुप्रीमो के स्वयंसिद्ध पर आधारित एक कठोर प्रमाण को विस्तार से निर्मित करते हैं, तथा संक्षिप्त समुच्चयों पर सतत फलनों की आधुनिक व्याख्या पर टिप्पणी करते हैं। उद्देश्य यह है कि अंत में आप न केवल इस प्रमेय को एक वाक्य के रूप में याद रखें, बल्कि यह भी समझें कि यह सत्य क्यों है और यह विश्लेषण, अनुकूलन और अनुप्रयुक्त मॉडलों में बार बार क्यों प्रकट होता है।
अध्ययन के उद्देश्य
- वायरस्ट्रास प्रमेय के कथन को समझना।
प्रमेय की परिकल्पनाओं (सतत फलन एक बंद और परिबद्ध अंतराल [a,b] में) और इसकी मुख्य परिणतियों: परिबद्धता तथा अधिकतम और न्यूनतम मानों के अस्तित्व की सटीक पहचान करना। - संपीड्यता के संदर्भ में वायरस्ट्रास प्रमेय की व्याख्या करना।
आधुनिक भाषा में परिणाम को सूत्रबद्ध करना: सतत फलन संक्षिप्त समुच्चयों को ऐसे समुच्चयों में प्रतिचित्रित करते हैं जहाँ चरम मान उपलब्ध होते हैं, जिससे [a,b] के मामले को वास्तविक विश्लेषण के सामान्य ढाँचे से जोड़ा जा सके। - वायरस्ट्रास प्रमेय को अनुकूलन समस्याओं से संबंधित करना।
एक चर की अनुकूलन समस्याओं में, चाहे सैद्धांतिक हों या अनुप्रयुक्त, अधिकतम और न्यूनतम के अस्तित्व के लिए इस प्रमेय की मौलिक भूमिका को पहचानना।
विषय-सूची:
परिचय
वायरस्ट्रास प्रमेय का कथन
प्रमाण
चरण 1: [a,b] पर बिंदु-निरंतरता
चरण 2: निरंतरता से संबंधित खुला आवरण
चरण 3: [a,b] की संपीड्यता और सीमित उप-आवरण
चरण 4: एक ऐसा \delta निर्मित करना जो x_0 पर निर्भर न हो (समान निरंतरता)
चरण 5: समान निरंतरता से f की [a,b] पर परिबद्धता
चरण 6: अधिकतम और न्यूनतम मानों का अस्तित्व
संपीड्यता के संदर्भ में व्याख्या और निष्कर्ष
परिचय
वायरस्ट्रास के चरम मान प्रमेय उन परिणामों में से एक है जो यद्यपि सामान्यतः वास्तविक विश्लेषण की प्रारंभिक इकाइयों में प्रकट होता है, वास्तव में अनुप्रयुक्त गणित के एक बड़े भाग को मौन रूप से सहारा देता है। जब भी भौतिकी, अर्थशास्त्र या सांख्यिकी में हम किसी मात्रा को कुछ प्रतिबंधों के अधीन “अधिकतम” या “न्यूनतम” करने की बात करते हैं, तो मूल रूप से हम एक ऐसी अवधारणा का उपयोग कर रहे होते हैं जो इस प्रमेय की गारंटी के बहुत निकट है: कि एक बंद और परिबद्ध अंतराल पर परिभाषित सतत फलन सिर्फ परिबद्ध नहीं होता, बल्कि अपने चरम मानों को वास्तविक रूप से ग्रहण भी करता है।
सहज रूप से यह “स्पष्ट” लग सकता है कि यदि हम एक सतत वक्र को खंड [a,b] पर चित्रित करें, तो अवश्य ही कोई सबसे ऊँचा और कोई सबसे नीचा बिंदु होगा। हालांकि, परिकल्पनाओं में छोटे परिवर्तन ही इस अंतर्ज्ञान को पूर्णतः विफल करने के लिए पर्याप्त हैं: यदि हम अंतराल को खोल दें, यदि फलन सतत न रहे या यदि परिभाषा-क्षेत्र परिबद्ध न हो, तो अधिकतम और न्यूनतम सरलता से गायब हो सकते हैं। वायरस्ट्रास प्रमेय इस अंतर्ज्ञान में व्यवस्थितता लाता है और हमें सटीक रूप से बताता है कि कब हम इस पर भरोसा कर सकते हैं और क्यों।
सैद्धांतिक दृष्टिकोण से यह प्रमेय संपीड्यता की अवधारणा से गंभीर प्रथम परिचय है: आधुनिक भाषा में यह कहता है कि सतत फलन संक्षिप्त समुच्चयों को संक्षिप्त समुच्चयों में प्रतिचित्रित करते हैं। व्यावहारिक दृष्टिकोण से, इसका अर्थ यह है कि एक आयाम में कई अनुकूलन समस्याओं के समाधान वास्तव में मौजूद होते हैं, और यह बाद के परिणामों जैसे मध्यमान प्रमेय तथा अंततः कलन के मूल प्रमेय को शांति से समझने के लिए एक महत्वपूर्ण कड़ी बन जाता है।
इस खंड में हम वायरस्ट्रास प्रमेय का कथन प्रस्तुत करेंगे और उसकी विस्तृत प्रमाण-विकास करेंगे, जिसमें [a,b] पर निरंतरता तथा सुप्रीमो के स्वयंसिद्ध की अवधारणाएँ आधार होंगी। उद्देश्य यह है कि यह पाठ आपके लिए एक ठोस संदर्भ के रूप में उपयोगी हो: चाहे स्वयं प्रमेय का अध्ययन करना हो, या अन्य प्रमेयों को सिद्ध करते समय अथवा विशिष्ट समस्याओं में अधिकतम और न्यूनतम के अस्तित्व को कठोर रूप से उचित ठहराते समय इसकी ओर लौटना हो।
वायरस्ट्रास प्रमेय का कथन
प्रत्येक फलन f परिभाषित तथा [a,b], पर सतत होता है, वह परिबद्ध होता है और उसके न्यूनतम तथा अधिकतम मान m और M होते हैं, ऐसे कि यदि x\in[a,b], तब f(x)\in[m,M]। |
प्रमाण
सिद्ध करें कि यदि f:[a,b]\to\mathbb{R} अंतराल [a,b] पर सतत है, तो f परिबद्ध है और [a,b] में एक अधिकतम तथा एक न्यूनतम मान ग्रहण करती है। हम प्रमाण को दो मुख्य भागों में विभाजित करेंगे:
- पहले, हम दिखाएँगे कि f की [a,b] पर निरंतरता से यह निष्कर्ष निकलता है कि f समान रूप से सतत है, और इससे हम सिद्ध करेंगे कि यह परिबद्ध है।
- इसके बाद, सुप्रीमो के स्वयंसिद्ध का उपयोग करते हुए हम सिद्ध करेंगे कि f अपने अधिकतम और न्यूनतम मानों को अंतराल में ग्रहण करती है।
चरण 1: [a,b] पर बिंदु-निरंतरता
परिकल्पना के अनुसार, f प्रत्येक बिंदु x_0\in[a,b] पर सतत है। \epsilon और \delta की शर्तों में निरंतरता की परिभाषा के अनुसार इसका अर्थ है:
\displaystyle (\forall x_0\in[a,b])(\forall \epsilon\gt 0)(\exists \delta(x_0)\gt 0) \big(|x-x_0|\lt\delta(x_0)\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\lt\epsilon\big).
इस बिंदु पर, संख्या \delta(x_0) बिंदु x_0 पर निर्भर कर सकती है। हमारा तत्काल उद्देश्य इन \delta(x_0) से एक ऐसी एकल संख्या \delta का निर्माण करना है जो x_0 पर निर्भर न हो और पूरे अंतराल के सभी बिंदुओं के लिए काम करे।
चरण 2: निरंतरता से संबंधित खुला आवरण
कोई भी \epsilon\gt 0 नियत करें। प्रत्येक x_0\in[a,b] के लिए, f की निरंतरता हमें एक संख्या \delta(x_0)\gt 0 चुनने देती है, ऐसी कि
\displaystyle |x-x_0|\lt\delta(x_0)\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\lt\frac{\epsilon}{2}.
इन मानों से हम प्रत्येक x_0\in[a,b] के लिए एक खुला अंतराल परिभाषित करते हैं:
\displaystyle I_{x_0}=\left(x_0-\frac{\delta(x_0)}{2},\,x_0+\frac{\delta(x_0)}{2}\right).
प्रत्येक I_{x_0} \mathbb{R} में एक खुला समुच्चय है और आगे, यह परिवार
\displaystyle \{I_{x_0}\}_{x_0\in[a,b]}
खुला आवरण बनाता है [a,b] का। वास्तव में, कोई भी बिंदु y\in[a,b] लें। बस x_0=y चुनें; निर्माण से स्पष्ट है कि y\in I_y। इस प्रकार, अंतराल का हर बिंदु कम से कम एक खुले समुच्चय I_{x_0} में सम्मिलित है।
यह खुले समुच्चयों का परिवार सामान्यतः अनन्त होता है (क्योंकि प्रत्येक x_0\in[a,b] के लिए एक समुच्चय है)। यहीं पर [a,b] की संपीड्यता महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।
चरण 3: [a,b] की संपीड्यता और सीमित उप-आवरण
हाइन–बोरल प्रमेय से ज्ञात है कि \mathbb{R} का कोई उपसमुच्चय तभी और केवल तभी संक्षिप्त (compact) होता है जब वह बंद और परिबद्ध हो। अंतराल [a,b] बंद और परिबद्ध है, अतः यह संक्षिप्त है। संपीड्यता की परिभाषा के अनुसार इसका अर्थ है:
किसी भी खुला आवरण के लिए [a,b] (चाहे उसमें अनन्त समुच्चय हों) एक सीमित उप-आवरण निकाला जा सकता है।
इस गुण को खुले आवरण \{I_{x_0}\}_{x_0\in[a,b]} पर लागू करने से यह निष्कर्ष निकलता है कि ऐसे बिंदु x_1,\dots,x_N\in[a,b] मौजूद हैं जिनके लिए संबंधित अंतराल
\displaystyle I_{x_1},\, I_{x_2},\,\dots,\,I_{x_N}
यह पूरे अंतराल को अब भी आवृत्त करते हैं:
\displaystyle [a,b]\subset I_{x_1}\cup I_{x_2}\cup\cdots\cup I_{x_N}.
इस प्रकार हमने खुले अंतरालों के एक अनन्त परिवार से केवल सीमित संख्या वाले उप-आवरण में परिवर्तन किया है, बिना [a,b] को आवृत्त करने का गुण खोए।
चरण 4: एक ऐसा \delta निर्मित करना जो x_0 पर निर्भर न हो (समान निरंतरता)
सीमित उप-आवरण से हम निम्न संख्या परिभाषित करते हैं:
\displaystyle \delta=\min\left\{\frac{\delta(x_1)}{2},\frac{\delta(x_2)}{2},\dots,\frac{\delta(x_N)}{2}\right\}.
चूँकि यह धनात्मक संख्याओं के एक सीमित समूह का न्यूनतम है, इसलिए \delta\gt 0 होता है। हम देखेंगे कि यह \delta सभी बिंदुओं x_0\in[a,b] के लिए काम करता है, अर्थात यह x_0 की पसंद पर निर्भर नहीं है।
अब लें:
- कोई भी बिंदु x_0\in[a,b], और
- कोई बिंदु x\in[a,b] ऐसा कि |x-x_0|\lt\delta।
क्योंकि अंतराल I_{x_1},\dots,I_{x_N} [a,b] को आवृत्त करते हैं, इसलिए बिंदु x_0 कम से कम उनमें से किसी एक में अवश्य होगा, मान लें I_{x_j}, जहाँ j\in\{1,\dots,N\}। I_{x_j} की परिभाषा के अनुसार, इसका अर्थ है:
\displaystyle |x_0-x_j|\lt\frac{\delta(x_j)}{2}.
इसके अतिरिक्त, \delta की परिभाषा से हमें प्राप्त होता है कि \delta\le\frac{\delta(x_j)}{2}, अतः |x-x_0|\lt\delta से निष्कर्ष निकलता है:
\displaystyle |x-x_0|\lt\frac{\delta(x_j)}{2}.
त्रिभुज असमानता लागू करने पर:
\displaystyle |x-x_j|\le |x-x_0|+|x_0-x_j| \lt \frac{\delta(x_j)}{2}+\frac{\delta(x_j)}{2} =\delta(x_j).
\delta(x_j) की पसंद (यानी f की x_j पर निरंतरता जब \epsilon/2 दिया गया हो) के कारण, असमानताएँ |x_0-x_j|\lt\delta(x_j) और |x-x_j|\lt\delta(x_j) यह सुनिश्चित करती हैं:
\displaystyle |f(x_0)-f(x_j)|\lt\frac{\epsilon}{2} \quad\text{y}\quad |f(x)-f(x_j)|\lt\frac{\epsilon}{2}.
फिर से त्रिभुज असमानता का उपयोग करते हुए हमें प्राप्त होता है:
\displaystyle |f(x)-f(x_0)| \le |f(x)-f(x_j)| + |f(x_j)-f(x_0)| \lt \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} =\epsilon.
चूँकि x_0 और x दोनों मनमाने थे, हमने सिद्ध कर दिया है कि प्रारंभ में चुने गए \epsilon के लिए एक \delta\gt 0 मौजूद है, जो x_0 पर निर्भर नहीं करता, और जिसके लिए
\displaystyle (\forall x_0\in[a,b])(\forall x\in[a,b]) \big(|x-x_0|\lt\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\lt\epsilon\big).
यदि हम x_0 का नाम बदलकर y कर दें, तो इसे इस प्रकार लिखा जाता है:
\displaystyle (\forall \epsilon\gt 0)(\exists \delta\gt 0)(\forall x,y\in[a,b]) \big(|x-y|\lt\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|\lt\epsilon\big),
जो ठीक वही परिभाषा है जो f की समान निरंतरता को [a,b] पर व्यक्त करती है। आगे हम केवल इस परिणाम को विशेष caso \epsilon=1 में उपयोग करेंगे।
चरण 5: समान निरंतरता से [a,b] पर f की परिबद्धता
अब समान निरंतरता को \epsilon=1 के साथ लागू करें। तब एक संख्या \delta_1\gt 0 मौजूद है, ऐसी कि सभी x,y\in[a,b] के लिए
\displaystyle |x-y|\lt\delta_1\Rightarrow |f(x)-f(y)|\lt 1.
अब अंतराल [a,b] को सीमित संख्या में उप-अंतरालों में विभाजित करें, जिनकी लंबाई \delta_1 से छोटी हो। अर्थात, एक पूर्णांक n तथा बिंदु
\displaystyle a = x_0 \lt x_1 \lt \cdots \lt x_n = b
इस प्रकार चुनें कि प्रत्येक k=0,1,\dots,n-1 के लिए
\displaystyle x_{k+1}-x_k\lt\delta_1.
अब सीमित समुच्चय
\displaystyle \{f(x_0),f(x_1),\dots,f(x_{n-1})\}.
पर विचार करें। चूँकि यह वास्तविक संख्याओं का एक सीमित समुच्चय है, हम बिना समस्या निम्न परिभाषित कर सकते हैं:
\displaystyle C = \max\{|f(x_k)| \;|\; k=0,1,\dots,n-1\}.
हम दिखाएँगे कि C+1 पूरे अंतराल [a,b] पर f के लिए मान−परिमाण की एक ऊपरी सीमा है। कोई भी बिंदु x\in[a,b] लें। तब ऐसा एक सूचकांक k मौजूद है जिसके लिए x\in[x_k,x_{k+1}]। विशेष रूप से:
\displaystyle |x-x_k|\le x_{k+1}-x_k\lt\delta_1.
समान निरंतरता (con \epsilon=1) के द्वारा, |x-x_k|\lt\delta_1 से प्राप्त होता है:
\displaystyle |f(x)-f(x_k)|\lt 1.
त्रिभुज असमानता प्रयोग करते हुए:
\displaystyle |f(x)|\le |f(x)-f(x_k)| + |f(x_k)| \lt 1 + |f(x_k)| \le 1 + C.
चूँकि x\in[a,b] मनमाना था, इससे निष्कर्ष निकलता है:
\displaystyle |f(x)|\le C+1 \quad \text{para todo } x\in[a,b],
अर्थात्, फलन f [a,b] पर परिबद्ध है।
चरण 6: अधिकतम और न्यूनतम मानों का अस्तित्व
अब उस समुच्चय को परिभाषित करें जो अंतराल में फलन के सभी मानों को एकत्रित करता है:
\displaystyle H=\{f(x)\;|\;x\in[a,b]\}\subset\mathbb{R}.
हम पहले से जानते हैं कि H रिक्त नहीं है (क्योंकि [a,b] रिक्त नहीं है) और यह परिबद्ध है। अतः सुप्रीमो के स्वयंसिद्ध द्वारा वास्तविक संख्याएँ
\displaystyle M=\sup H,\qquad m=\inf H.
सुसंगत रूप से परिभाषित हैं। अब सिद्ध करते हैं कि M वास्तव में फलन का मान है, अर्थात ऐसा x_1\in[a,b] मौजूद है जिसके लिए f(x_1)=M। हम विरोधाभास द्वारा सिद्धि अपनाएँगे।
मान लें कि f(x) कभी भी मान M नहीं लेता। अर्थात्:
\displaystyle (\forall x\in[a,b])\big(f(x)\lt M\big).
इस परिकल्पना के तहत, फलन
\displaystyle g(x)=\frac{1}{M-f(x)}
सुस्पष्ट रूप से सभी x\in[a,b] के लिए परिभाषित है और धनात्मक है, क्योंकि परिकल्पना से M-f(x)\gt 0 मिलता है। साथ ही, f सतत है और M स्थिर है, अतः g भी सतत है। पहली भाग में सिद्ध किए गए परिणाम के अनुसार, कोई भी सतत फलन [a,b] पर परिबद्ध होता है। अतः कोई N\gt 0 मौजूद है, ऐसा कि:
\displaystyle (\forall x\in[a,b])\big(g(x)\le N\big).
विशेष रूप से, प्रत्येक x\in[a,b] के लिए यह सत्य है कि
\displaystyle \frac{1}{M-f(x)} = g(x)\le N,
जो समतुल्य है:
\displaystyle M-f(x)\ge \frac{1}{N} \quad\Rightarrow\quad f(x)\le M-\frac{1}{N}.
इसका अर्थ है कि [a,b] में फलन f(x) के सभी मान अधिक से अधिक M-\frac{1}{N} हैं। विशेष रूप से, H के सुप्रीमो के बारे में हमें मिलता है:
\displaystyle \sup H\le M-\frac{1}{N}\lt M,
जो M की परिभाषा (एक सुप्रीमो के रूप में) के साथ विरोधाभास में है। अतः हमारी प्रारम्भिक परिकल्पना गलत थी, और अवश्य ही कोई बिंदु x_1\in[a,b] मौजूद है जिसके लिए
\displaystyle f(x_1)=M.
पूरी तरह समान तर्क, जब m=\inf H पर लागू किया जाता है (उदाहरण के लिए, फलन h(x)=-f(x) पर विचार करके), यह दिखाता है कि कोई बिंदु x_2\in[a,b] मौजूद है जिसके लिए
\displaystyle f(x_2)=m.
संपीड्यता के संदर्भ में व्याख्या और निष्कर्ष
हमने सिद्ध किया है कि हर सतत फलन f:[a,b]\to\mathbb{R} परिबद्ध होता है और [a,b] में अपने अधिकतम तथा न्यूनतम मान ग्रहण करता है। आधुनिक विश्लेषण की भाषा में इसका अर्थ है कि \mathbb{R} में बंद और परिबद्ध अंतराल, जैसे [a,b], संक्षिप्त (compact) समुच्चय होते हैं, और सतत फलन संक्षिप्त समुच्चयों को संक्षिप्त समुच्चयों में प्रतिचित्रित करते हैं।
विशेष रूप से, यदि I संक्षिप्त (compacto) है और f उस पर सतत है, तो छवि f(I) \mathbb{R} का एक संक्षिप्त उपसमुच्चय होती है। यह सुनिश्चित करता है कि f(I) परिबद्ध है और उसमें वास्तव में अधिकतम तथा न्यूनतम मान प्राप्त होते हैं, जो ठीक उसी कथन का सार है जिसे वायरस्ट्रास के प्रमेय में व्यक्त किया गया है।