बेयस का प्रमेय और संयुक्त संभावना
सारांश
इस कक्षा में, संभावना के दो मौलिक अवधारणाओं को समझाया गया: सशर्त संभावना और संयुक्त संभावना। P(A|B) और P(B|A) के बीच अंतर पर जोर दिया गया। संयुक्त संभावना प्रमेय बताता है कि किसी घटना A की संभावना को सशर्त संभावनाओं P(A|B_i) और घटनाओं B_i की संभावनाओं के गुणा के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसके बाद, बेयस का प्रमेय प्रस्तुत किया गया, जो सशर्त संभावना P(B_k|A) की गणना करने की अनुमति देता है, इसका उपयोग सशर्त संभावना P(A|B_k), संभावना P(B_k), और सशर्त संभावनाओं P(A|B_i) के गुणा के योग का उपयोग करते हुए किया जाता है। इन अवधारणाओं को विभिन्न संदर्भों में सशर्त संभावना को समझने और लागू करने के लिए महत्वपूर्ण हैं, और बेयस का प्रमेय नई जानकारी के आधार पर संभावनाओं को अपडेट करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है।
सीखने के उद्देश्य:
इस कक्षा के अंत में, छात्र सक्षम होंगे:
- समझना सशर्त संभावना की अवधारणा और P(A|B) और P(B|A) के बीच अंतर।
- गणना किसी घटना की संभावना का उपयोग करके संयुक्त संभावनाओं का उपयोग करना।
- प्रदर्शन बेयस का नियम।
विषय सूची
संयुक्त संभावना और सशर्त संभावना
बेयस का प्रमेय
पिछली कक्षा में, हमने सशर्त संभावना की अवधारणा की समीक्षा की और यह भी स्पष्ट किया कि P(A|B) को P(B|A) के साथ कभी भ्रमित नहीं करना चाहिए। यद्यपि दैनिक भाषा में शर्तीयता भ्रमित कर सकती है, गणित में ये दो बहुत ही अलग चीजें हैं जो संबंधित हैं। इस संबंध को बेयस का प्रमेय द्वारा वर्णित किया गया है, जो अपनी सूत्रीकरण के लिए संयुक्त संभावना की धारणा पर आधारित है।
संयुक्त संभावना और सशर्त संभावना
प्रमेय: यदि A एक घटना है और B_1, B_2, \cdots, B_n एक असतत घटनाओं का समूह बनाते हैं जैसे कि \displaystyle \bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega, तो यह सत्य है:
\boxed{P(A) = \displaystyle \sum_{i=1}^n P(A|B_i) P(B_i)}
इस प्रकार A की संभावना को व्यक्त करना हम A की संयुक्त संभावना कहते हैं।
प्रमाण:
| (1) | A एक घटना है | ; मान्यता |
| (2) | \displaystyle \bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega | ; मान्यता |
| (3) | B_1, \cdots, B_n सभी असतत हैं | ; मान्यता |
| (4) | (A\cap B_i)\cap(A\cap B_j) = \varnothing, जहाँ i\neq j और i,j\in \{1,2,3,\cdots n\} | ; से (1,2,3) |
| (5) | \displaystyle \bigcup_{i=1}^n \left(A \cap B_i \right) = A | ; से (1,2,3) |
| (6) | \displaystyle P(A) = P\left( \bigcup_{i=1}^n \left(A \cap B_i \right) \right) = \sum_{i=1}^n P\left( A \cap B_i \right) | ; से (4,5) |
| (7) | P(A|B_i) = \dfrac{P(A\cap B_i)}{P(B_i)} | ; सशर्त संभावना की परिभाषा |
| P(A\cap B_i) = P(A|B_i) P(B_i) | ||
| (8) | \boxed{\displaystyle P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i) P(B_i)} | ; से (6,7) |
बेयस का प्रमेय
उसी संदर्भ में जैसा कि पिछले प्रमेय में, निम्नलिखित प्रमेय सही है:
प्रमेय:
P(B_k|A) = \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{\displaystyle\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)} = \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(A)}
प्रमाण: यदि A कोई भी घटना है और B_1, B_2, \cdots, B_n असतत घटनाओं का एक समूह है, जैसे कि \displaystyle \bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega, तो पिछले संयुक्त संभावना प्रमेय के अनुसार, हमारे पास है:
P(A) = \displaystyle \sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)
अब, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि P(X\cap Y) = P(X|Y)P(Y), यदि हम Y=A और X=B_k, प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम पहुँचेंगे
P(A) = \dfrac{P(B_k \cap A)}{P(B_k|A)}
दूसरी ओर, हमारे पास है
P(A|B_k) = \dfrac{P(A\cap B_k)}{P(B_k)}
जहाँ से यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि
P(B_k \cap A) = P(A|B_k)P(B_k)
अब, यदि हम हरे हिस्से को नीले हिस्से में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम प्राप्त करेंगे
P(A) = \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(B_k|A)}
जो कहने के बराबर है
\boxed{P(B_k|A) = \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(A)}= \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{\displaystyle \sum_{i=1}^n P(A|B_i) P(B_i)} }
यही हम साबित करना चाहते थे।