दीर्घवृत्त और वृत की समीकरण

सारांश:
इस कक्षा में दीर्घवृत्त की समीकरण को उसकी ज्यामितीय परिभाषा से प्राप्त करने की प्रक्रिया समझाई गई है, जो यह बताती है कि दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु से दो स्थिर केंद्रों तक की दूरी का योग स्थिर होता है। एक विस्तृत बीजगणितीय विकास के माध्यम से, दीर्घवृत्त की सामान्य समीकरण और उसकी कैनोनिकल (मानक) रूप को प्राप्त किया जाता है, और दीर्घवृत्त और वृत के बीच संबंध का भी पता चलता है, यह दिखाते हुए कि वृत तब दीर्घवृत्त का विशेष मामला होता है जब दोनों अर्ध-अक्ष समान होते हैं।

सीखने के उद्देश्य:
इस कक्षा के अंत में, छात्र सक्षम होंगे:

दीर्घवृत्त की समीकरण को उसकी ज्यामितीय परिभाषा से प्राप्त करें।
दीर्घवृत्त समीकरण के सामान्य और कैनोनिकल रूप को पहचानें।

सामग्री सूची
ज्यामितीय सूत्र
दीर्घवृत्त की समीकरण की प्राप्ति
दीर्घवृत्त की सामान्य समीकरण
दीर्घवृत्त की कैनोनिकल समीकरण
वृत की समीकरण में परिवर्तन

ज्यामितीय सूत्र

दीर्घवृत्त की समीकरण प्राप्त करने के लिए, हमें उसी तरह से सोचने की ज़रूरत है जैसे परवलय के साथ किया गया है। एक दीर्घवृत्त वह बिंदुओं का सेट है जिनकी दो स्थिर केंद्रों (फोकस) से दूरी का योग हमेशा समान रहता है।

अर्थात्, यह पूरा होगा:

$d(f_1,p) + d(f_2,p) = स्थिर$

दीर्घवृत्त की समीकरण की प्राप्ति

ज्यामितीय परिभाषा के आधार पर हम एक बीजगणितीय समीकरण प्राप्त कर सकते हैं जो इसे वर्णित करता है। ऐसा करने के लिए, हम कुछ सरल मान्यताओं का उपयोग करेंगे। हम मानते हैं कि केंद्र $f_1 =(-c,0)$ और $f_2 =(c,0)$ पर स्थित हैं, और इस प्रकार कोई भी बिंदु $p=(x,y)$ यदि दीर्घवृत्त का हिस्सा है, तो यह समीकरण पूरा होगा:

$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$

जहाँ $a\in\mathbb{R}$ एक स्थिर मान है। यहाँ से, हम निम्नलिखित तर्क विकसित कर सकते हैं:

(1)	$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$	; दीर्घवृत्त की ज्यामितीय परिभाषा
	$\sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x+c)^2 + y^2}$
(2)	$(x-c)^2 + \cancel{y^2} = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + \cancel{y^2}$	; (1) का वर्ग
	$(x-c)^2 = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2$
	$\cancel{x^2} -2xc + \cancel{c^2} = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \cancel{x^2} +2xc + \cancel{c^2}$
	$-2xc = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} +2xc$
	$4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 4a^2 +4xc = 4(a^2 + xc)$
	$a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = a^2 + xc$
(3)	$a^2 [(x+c)^2 + y^2] = (a^2 + xc)^2$	; (2) का वर्ग
	$a^2 [x^2 + 2xc + c2 + y^2] = a^4 +2a^2xc + x^2c^2$
	$a^2 x^2 + \cancel{2xca^2} + a^2 c2 + a^2 y^2 = a^4 + \cancel{2a^2xc} + x^2c^2$
	$a^2 x^2 + a^2 c2 + a^2 y^2 = a^4 + x^2c^2$
	$x^2 (a^2 - c^2) + a^2 y^2 = a^4 - a^2 c^2 =a^2(a^2-c^2)$
	$\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{ y^2}{a^2-c^2} = 1$
(4)	$0\lt a^2 - c^2 =: b^2$	; $b^2$ का मान सकारात्मक है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।
(5)	${\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{ y^2}{b^2} = 1}$	; (3) और (4) से
	$\boxed{\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1}$

यह दीर्घवृत्त की “समीकरण” है।

दीर्घवृत्त की सामान्य समीकरण

जो समीकरण हमने अभी प्राप्त किया है उसे हम अनुवाद रूपांतर द्वारा उसकी सामान्य रूप में ला सकते हैं, जहाँ हम प्रतिस्थापन करते हैं $x\longmapsto (x-h)$ और $y\longmapsto (y-k).$ इससे हमें दीर्घवृत्त की सामान्य समीकरण प्राप्त होती है:

$\boxed{\left(\dfrac{x-h}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b}\right)^2 = 1}$

यह $(h,k)$ पर केंद्रित एक दीर्घवृत्त है।

दीर्घवृत्त की कैनोनिकल समीकरण

इस पर बीजगणितीय विकास करते हुए, हम दीर्घवृत्त की कैनोनिकल समीकरण पर पहुंचते हैं:

(1)	$\left(\dfrac{x-h}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b}\right)^2 = 1$	; दीर्घवृत्त की सामान्य समीकरण
	$b^2 (x-h)^2 + a^2(y-k)^2 = a^2 b^2$	; $a^2b^2$ से गुणा करें
	$b^2 [x^2-2xh+h^2] + a^2[y^2-2yk + k^2] = a^2 b^2$	; वर्गों का विस्तार करें
	$b^2 x^2-2hb^2 x + h^2b^2 + a^2 y^2-2ka^2y + k^2a^2 = a^2 b^2$	; कोष्ठक का विस्तार करें
	$b^2 x^2- 2hb^2 x + a^2 y^2-2ka^2y +(h^2b^2 + k^2a^2 - a^2 b^2) = 0$	; स्थिरांशों को जोड़ें

इस अंतिम अभिव्यक्ति में, हम प्रतिस्थापन कर सकते हैं $A:=b^2,$ $B:=-2hb^2,$ $C:=a^2,$ $D:=-2ka^2$ और $E:=h^2b^2 + k^2a^2 - a^2 b^2.$ इस प्रकार, हम देख सकते हैं कि दीर्घवृत्त की समीकरण इस रूप में व्यक्त की जा सकती है:

$Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0$

यह वही है जिसे हम “दीर्घवृत्त की कैनोनिकल समीकरण” कहते हैं।

इन विकासों से, हम कैनोनिकल समीकरण की स्थिरांकों पर कुछ प्रतिबंध निकाल सकते हैं। सबसे महत्वपूर्ण यह है कि $A$ और $B$ का चिह्न समान होना चाहिए; अन्यथा, यह दीर्घवृत्त नहीं बल्कि एक परवलय होगा। कैनोनिकल रूप में और भी प्रतिबंध होते हैं, लेकिन उन्हें अब देखना प्रभावी नहीं है; हम इन्हें विस्तार से तब देखेंगे जब हम दीर्घवृत्त और परवलय की पहचान करेंगे।

वृत की समीकरण में परिवर्तन

जब हम दीर्घवृत्त की पहचान के बारे में बात करेंगे, तब हम देखेंगे कि दीर्घवृत्त की सामान्य समीकरण में स्थिरांके $a$ और $b$ क्रमशः अर्ध-अक्ष होते हैं। यदि हम दोनों अर्ध-अक्षों को समान कर दें, अर्थात् $a=b=r,$ तो दीर्घवृत्त एक वृत बन जाएगी, जिसका त्रिज्या $r$ होगा।

वृत की सामान्य समीकरण

इस प्रकार हमें वृत की सामान्य समीकरण प्राप्त होती है:

$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$

वृत की कैनोनिकल समीकरण

इसी तरह से, हम वृत की कैनोनिकल समीकरण प्राप्त करते हैं: