संयोजन और विसंयोजन की शुरूआत और उन्मूलन

क्लासिकल लॉजिक की एक तकनीक संयोजकों और विसंयोजकों की शुरूआत और उन्मूलन है। हालांकि ये तकनीकें अधिक या कम सहज रूप से लागू होती हैं, लेकिन उनका युक्तिसंगतिकरण पूरी तरह से सरल नहीं है, लेकिन उन्हें हम पहले के कक्षाओं में प्रमाणित किए गए प्रस्तावनात्मक लॉजिक के नियमों से प्राप्त कर सकते हैं। औपचारिक रूप से, संयोजकों और विसंयोजकों की शुरूआत और उन्मूलन की तकनीकें इस प्रकार हैं:

और उनके प्रस्तावनात्मक लॉजिक से प्रमाण निम्नलिखित हैं:

∨-शुरूआत

∨-उन्मूलन

∧-शुरूआत

∧-उन्मूलन

विरोधाभास और तर्कवाक्य की तकनीकें

तीसरे का बहिष्कार या तर्कवाक्य (tau)

क्लासिकल लॉजिक का एक और विशिष्ट गुण तीसरे का बहिष्कार (tertium non datur) की विशेषता है। यह निर्धारित करता है कि यदि दो कथन हैं, जिनमें से एक दूसरे का खंडन करता है, तो उनमें से एक सत्य होना चाहिए; या दूसरे शब्दों में, दो कथनों का संयोजन जिसमें एक दूसरे का खंडन करता है, अनिवार्य रूप से तर्कवाक्य बनाता है। औपचारिक रूप से, इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

\vdash (\neg\alpha \vee\alpha)

और इसका प्रमाण आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।

तीसरे का बहिष्कार सिद्धांत की एक और विधि है विरोधाभास का नियम, जो यह निर्धारित करता है कि एक कथन एक ही समय में सत्य और असत्य नहीं हो सकता और औपचारिक रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

\vdash \neg(\neg\alpha \wedge \alpha)

इस गुण को प्रमाण की आवश्यकता नहीं है, न केवल इसलिए कि यह स्वयंसिद्ध है, बल्कि इसलिए कि यह सीधे तीसरे का बहिष्कार सिद्धांत पर संयोग के परिभाषा को लागू करने से प्राप्त होती है।

विरोधाभास का नियम या विस्फोट सिद्धांत

क्लासिकल लॉजिक का एक और जाना-माना गुण विस्फोट सिद्धांत है, जिसे आमतौर पर “विरोधाभासी प्रस्थान से कुछ भी निष्कर्ष निकाला जा सकता है” वाक्यांश द्वारा व्यक्त किया जाता है। इसकी प्रस्तुति आमतौर पर निम्नलिखित दो तरीकों में से किसी एक के माध्यम से होती है:

\{(\neg\alpha \wedge \alpha)\}\vdash \beta

\{\alpha, \neg\alpha\}\vdash \beta

इस नियम का प्रमाण सरल है:

∨-उन्मूलन3

तार्किक नियमानुसार (modus ponens) को दो अलग-अलग तरीकों से लिखा जा सकता है. हमें पहले से ही ज्ञात एक तरीका है\{\alpha,(\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash \beta. दूसरा तरीका थोड़ा कम परिचित है:

\{\alpha\}\vdash\beta \; \wedge \; \vdash \alpha \; \Longrightarrow \; \vdash \beta

इस दूसरे तरीके पर ध्यान केंद्रित करते हुए, हम इस नियम का एक विस्तार देख सकते हैं जिसे हम ∨-उन्मूलन3 कहते हैं, क्योंकि यह एक विसंयोजन से प्राप्त सरलीकरण के समान है। यह हमें बताता है कि यदि\gamma को\alpha और\beta से (दोनों से एक साथ) और यदि\alpha और\beta के बीच का विसंयोजन एक सिद्धांत है, तो\gamma एक सिद्धांत है। इसे औपचारिक रूप से इस प्रकार लिखा जाता है:

\{\alpha\}\vdash\gamma\; \wedge \; \{\beta\}\vdash\gamma \; \wedge \; \vdash (\alpha \vee \beta) \Longrightarrow \vdash \gamma

इस क्लासिकल लॉजिक तकनीक का प्रमाण इस प्रकार है:

मामलों द्वारा परीक्षण (cas)

क्लासिकल लॉजिक की एक और तकनीक मामलों द्वारा परीक्षण है। यदि एक अभिव्यक्ति\beta को दूसरी अभिव्यक्ति\alpha और उसके निषेध दोनों से निष्कर्ष निकाला जा सकता है, तो अभिव्यक्ति\beta अनिवार्य रूप से एक सिद्धांत है। इसे औपचारिक रूप से इस प्रकार लिखा जाता है: \alpha \vdash \beta \; \wedge \; \neg\alpha \vdash \beta \Longrightarrow \vdash \beta. इसका प्रमाण इस प्रकार है:

\begin{array}{rll} (1) & \alpha \vdash \beta &; प्रस्तावना\\ (2) & \neg \alpha \vdash \beta &; प्रस्तावना \\ (3) & \vdash \alpha \vee \neg\alpha &; TAU \\ (4) & \vdash \beta &; \vee-उन्मूलन3(1,2,3) \end{array}

अभिशाप तक उन्मूलन (absurdo)

क्लासिकल लॉजिक की सबसे अधिक प्रयुक्त तकनीकों में से एक, विशेष रूप से गणित में, अभिशाप तक उन्मूलन है। इसका अर्थ है कि यदि एक अभिव्यक्ति\alpha से एक विरोधाभास (एक कथन और उसका निषेध) निष्कर्ष निकाला जाता है, तो\alpha का निषेध एक तर्कवाक्य है। औपचारिक रूप से इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: \{\alpha\}\vdash \beta \; \wedge \; \{\alpha\}\vdash \neg\beta \Longrightarrow \vdash \neg\alpha. इसका प्रमाण इस प्रकार है: