आर बी में बीजगणित और प्रक्षेपण, {\mathbb{R}^3} में सदिश गुणनफल

सारांश:
यह श्रृंखला n आयामों वाले यूक्लिडीय स्थान पर श्रृंखला की प्रत्यक्ष निरंतरता है। यहाँ हम रैखिक बीजगणित की कुछ अवधारणाओं की समीक्षा करेंगे जो n-आयामी यूक्लिडीय स्थान को बेहतर समझने में मदद करती हैं, हम एक सदिश का दूसरे पर प्रक्षेपण की अवधारणाओं की समीक्षा करेंगे, पाइथागोरस प्रमेय को प्रदर्शित करेंगे और अंत में \mathbb{R}^3 में सदिश गुणनफल और 3-आयामी यूक्लिडीय स्थान के अन्य गुणनफलों के साथ इसके संबंध की समीक्षा करेंगे।

सूची
रेखीय स्वतंत्रता, लम्बवतता और प्रक्षेपण
पाइथागोरस का प्रमेय और उपस्थान पर प्रक्षेपण
\mathbb{R}^3 में अदिश और सदिश गुणनफल

रेखीय स्वतंत्रता, लम्बवत और प्रक्षेपण

रैखिक संयोजन और रेखीय स्वतंत्रता

एक गैर-शून्य सदिश \vec{z} को अन्य गैर-शून्य सदिशों \vec{x} और \vec{y} के संबंध में एक रैखिक संयोजन के रूप में निर्मित किया जा सकता है यदि वास्तविक संख्याओं का एक युग्म \alpha और \beta मौजूद है, जो दोनों एक साथ शून्य न हों, ऐसा कि:

\vec{z} = \alpha \vec{x} + \beta\vec{y}

अर्थात्, सदिश \vec{z} को सदिशों \vec{x} और \vec{y} के एक भारित योग के रूप में निर्मित किया जा सकता है।

समान रूप से, यह कहा जाता है कि सदिश \vec{x} और \vec{y} रेखीय रूप से स्वतंत्र होते हैं यदि

(\alpha \vec{x} + \beta\vec{y} = \vec{0} ) \longleftrightarrow (\alpha=0 \wedge \beta=0 )

सदिश \vec{x} और \vec{y} के बीच रैखिक स्वतंत्रता हमें बताती है कि \vec{y} को \vec{x} का (गैर-शून्य) अदिश गुणक के रूप में प्राप्त नहीं किया जा सकता और न ही इसके विपरीत।

जिस रैखिक स्वतंत्रता की अवधारणा की हमने अभी समीक्षा की है, उसे सदिशों के बड़े समूहों तक विस्तारित किया जा सकता है। गैर-शून्य सदिशों का समूह \{\vec{x}_1, \cdots, \vec{x}_n\} को रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है जब

\displaystyle \left[\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{x}_i \right) = \vec{0} \right] \longleftrightarrow \left[\bigwedge_{i=1}^n (\alpha_i = 0) \right]

दो सदिशों द्वारा निर्मित कोण और लम्बवतता

यदि हम कॉशी-श्वार्ज़ असमानता को याद करें, यह हमें बताती है कि (\forall \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n)(|\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\| \|\vec{y}\|). इसे ध्यान में रखते हुए, यह आसानी से सत्यापित किया जा सकता है कि किसी भी सदिश युग्म \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\} के लिए यह संबंध पूरा होता है:

\displaystyle -1 \leq \frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|}\leq 1

अब हम अंतर्ज्ञान कर सकते हैं कि सदिश \vec{x} और \vec{y} के बीच डॉट गुणनफल और उनके द्वारा बनाए गए कोण के बीच एक संबंध है, क्योंकि ये \mathbb{R}^2 के सममित समतल का निर्माण करते हैं। इसलिए, सामान्यता की हानि के बिना, हम उन्हें \mathbb{R}^2 के तत्वों के रूप में कल्पना कर सकते हैं जिनके कोण क्रमशः \hat{x} अक्ष के सापेक्ष \theta_x और \theta_y हैं, ताकि सदिश ध्रुवीय रूप में लिखे जा सकें:

\begin{array}{rl} \vec{x} &= \|\vec{x}\|(\cos(\theta_x) , \sin(\theta_x)) \\ \\ \vec{y} &= \|\vec{y}\|(\cos(\theta_y) , \sin(\theta_y)) \end{array}

इस प्रकार हम मान सकते हैं (सामान्यता की हानि के बिना, फिर से) कि \theta_x \lt \theta_y, और फिर डॉट गुणनफल \vec{x}\cdot\vec{y} की गणना कर सकते हैं। ऐसा करने पर हमें निम्नलिखित परिणाम मिलेगा:

\begin{array}{rl}\vec{x}\cdot \vec{y} &= \|\vec{x}\| \|\vec{y}\| (\cos(\theta_x)\cos(\theta_y) + \sin(\theta_x)\sin(\theta_y)) \\ \\ &= \|\vec{x}\| \|\vec{y}\| \cos(\theta_y-\theta_x) \end{array}

अब, बड़ा और छोटा कोणीय स्थान के बीच का अंतर लेते हुए हमें सदिशों के बीच बना कोण प्राप्त होता है, \angle(\vec{x},\vec{y})=\theta_y - \theta_x. और इसके साथ अब हम लिख सकते हैं:

\displaystyle \cos\left(\angle(\vec{x},\vec{y}) \right) = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|}

यहाँ हमें यह रेखांकित करना चाहिए कि \angle(\vec{x},\vec{y})\in [0, \pi]

इसके आधार पर हम कॉशी-श्वार्ज़ असमानता को कोणों की ज्यामिति से जोड़ सकते हैं, और इसके अलावा यह हमें लम्बवतता की एक कठोर धारणा प्राप्त करने की अनुमति देता है। दो सदिशों को लम्बवत कहा जाता है जब वे आपस में \pi/2 रेडियन का कोण बनाते हैं, उस अर्थ में जिसे पिछले अनुच्छेद में समझाया गया था। यह कहने के बराबर है कि \cos\left(\angle(\vec{x},\vec{y})\right) = 0, जो कि इस कहने के बराबर है कि \vec{x}\cdot\vec{y} = 0. इसी कारण यह कहा जाता है कि सदिश \vec{x} और \vec{y} की लम्बवतता की पुष्टि करना इस कहने के बराबर है कि \vec{x}\cdot\vec{y}=0.

यदि दो गैर-शून्य सदिश लम्बवत हैं, तो वे रेखीय रूप से स्वतंत्र हैं

यह सदिशों का एक कुछ हद तक सहज गुण है \mathbb{R}^n में जिसकी औपचारिक प्रमाणना इतनी प्रत्यक्ष नहीं है, और यह भी एक गुण है जो कभी-कभी थोड़ी भ्रम उत्पन्न कर सकता है: दो सदिशों की लम्बवतता उनके बीच रैखिक स्वतंत्रता का संकेत देती है, लेकिन दो सदिशों के बीच रैखिक स्वतंत्रता उनकी लम्बवतता का आवश्यक रूप से संकेत नहीं देती। इसे देखने के लिए एक साधारण प्रतिवाद पर्याप्त है:

यदि हम सदिश \vec{A}=(1,0) और \vec{B}=(1,1) लें, जो स्पष्ट रूप से लम्बवत नहीं हैं क्योंकि \vec{A}\cdot\vec{B}=1, तो हम देखेंगे कि यदि हम करें

\alpha\vec{A} + \beta\vec{B} = \vec{0}

तो यह प्राप्त होता है कि

\begin{array}{rl} \alpha + \beta &= 0 \\ \beta &= 0 \end{array}

और इसलिए: \alpha = 0 \wedge \beta=0. और इसके साथ यह निष्कर्ष निकलता है कि:

\alpha\vec{A} + \beta\vec{B} = \vec{0} \longleftrightarrow \alpha = 0 \wedge \beta=0

जो यह कहने के बराबर है कि \vec{A} और \vec{B} रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसके साथ यह बहुत स्पष्ट रूप से स्पष्ट हो जाता है कि यह सत्य नहीं है कि रैखिक स्वतंत्रता लम्बवतता का संकेत देती है। हालांकि, लम्बवतता वास्तव में रैखिक स्वतंत्रता का संकेत देती है और यही मैं नीचे औपचारिक रूप से प्रदर्शित करूंगा, और इसके लिए हम निम्नलिखित प्रमेयों के समूह पर विचार करें:

\mathcal{H}= \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\cdot\vec{y}=0, \alpha\vec{x}+\beta\vec{y} = \vec{0}\}

इसके आधार पर हम निम्नलिखित तर्क प्रस्तुत कर सकते हैं:

\begin{array}{rll} (1) &\mathcal{H}\vdash \vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\} &{;\;अनुमान}\\ \\ (2) &\mathcal{H}\vdash \vec{x}\cdot\vec{y}=0 &{\;अनुमान} \\ \\ (3) &\mathcal{H}\vdash \alpha\vec{x} + \beta\vec{y} = \vec{0} &{\;अनुमान} \\ \\ (4) &\mathcal{H}\vdash (\alpha\vec{x} + \beta\vec{y})\cdot\vec{x} = \alpha\|\vec{x}\|^2 + \beta(\vec{x}\cdot\vec{y}) &{;\; द्विखंडता} \\ \\ (5) &\mathcal{H}\vdash \alpha\|\vec{x}\|^2 = 0 & {;\; (2,3,4) से} \\ \\ (6) &\mathcal{H}\vdash \alpha = 0 & {;\; (1,5) से} \\ \\ (7) &\mathcal{H}\vdash (\alpha\vec{x} + \beta\vec{y})\cdot\vec{y} = \alpha(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \beta\|\vec{y}\|^2 & {;\;द्विखंडता} \\ \\ (8) &\mathcal{H}\vdash \beta\|\vec{y}\|^2 = 0 &{;\;(2,3,7) से} \\ \\ (9) &\mathcal{H}\vdash \beta = 0 &{;\;(1,8) से} \\ \\ (10) &\mathcal{H}\vdash \alpha= 0 \wedge \beta = 0 &{;\;\wedge-int(6,9)} \end{array}

इसके साथ हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\cdot\vec{y}=0, \alpha\vec{x}+\beta\vec{y} = \vec{0}\} \vdash \alpha= 0 \wedge \beta = 0

अंततः, इस अंतिम अभिव्यक्ति पर निष्कर्ष प्रमेय लागू करते हुए हमारे पास है:

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\cdot\vec{y}=0\} \vdash (\alpha\vec{x}+\beta\vec{y} = \vec{0}) \rightarrow (\alpha= 0 \wedge \beta = 0)

विपरीत दिशा में तीर प्राप्त करने वाला प्रमाण तुच्छ है।

अर्थात्: यदि \vec{x} और \vec{y} गैर-शून्य और लम्बवत सदिश हैं, तो वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

एक सदिश का दूसरे पर प्रक्षेपण

मान लीजिए कि हमारे पास दो गैर-शून्य सदिश हैं \vec{x} और \vec{y} जो आपस में एक कोण \angle(\vec{x},\vec{y}) बनाते हैं और हमसे पूछा जाता है “कितनी मात्रा में सदिश \vec{x} सदिश \vec{y} पर स्थित है?” या “जब सदिश \vec{x} को सदिश \vec{y} की दिशा पर प्रक्षेपित किया जाता है, तो उसकी छाया कितनी बड़ी होती है?” इस प्रश्न को हम त्रिकोणमिति के माध्यम से हल कर सकते हैं, और इसके साथ ही एक सदिश \vec{x} का दूसरे \vec{y} पर प्रक्षेपण Proy_{\vec{y}}(\vec{x}) को निम्नलिखित अभिव्यक्ति से परिभाषित कर सकते हैं:

Proy_{\vec{y}}(\vec{x}) = \| \vec{x}\| \cos(\angle(\vec{x},\vec{y})) \hat{y}

यदि हम इसे पहले के अनुच्छेदों में देखी गई बातों के साथ मिलाएँ तो हम लिख सकते हैं:

\displaystyle Proy_{\vec{y}}(\vec{x}) = {\| \vec{x}\|} \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{{\|\vec{x}\|} \|\vec{y}\|}\right)\color{red}{\hat{y}} = \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{y}\|} \right)\color{red}{\frac{\vec{y}}{\|\vec{y}\|}} = \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{y}\|^2}\right)\vec{y} = \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\vec{y}\cdot\vec{y}}\right)\vec{y}

क्योंकि, हमें याद रखना चाहिए

\displaystyle \cos(\angle(\vec{x},\vec{y})) = \frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{x}\| \|\vec{y}\|}

प्रक्षेपण महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे हमें सदिशों को उनकी प्रक्षेपणों के योग के रूप में किसी भी आधार के सापेक्ष व्यक्त करने की अनुमति देते हैं:

\vec{x} = \displaystyle \sum_{i=1}^n \alpha_i \hat{u}_i

जहाँ \{\vec{u}_i\}_{i=1,\cdots, n} \mathbb{R}^n के रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों का एक आधार है और गुणांक \alpha_i = (\vec{x}\cdot\vec{u}_i)/\|\vec{u}_i\| वास्तव में प्रत्येक आधार तत्व पर प्रक्षेपण हैं और आधार \{\hat{u}_i\}_{i=1,\cdots, n} के सापेक्ष \vec{x} के निर्देशांक बनाते हैं \mathbb{R}^n.

पाइथागोरस का प्रमेय और उपस्थान पर प्रक्षेपण

पाइथागोरस का प्रमेय एक ऐसा परिणाम है जिसे सभी जानते हैं और जिसके असंख्य प्रमाण मौजूद हैं। इस प्रमेय का एक संभावित प्रमाण ठीक उन्हीं विषयों से उभरता है जिन्हें हमने यूक्लिडीय स्थान के लिए विकसित किया है और अतिरिक्त लाभ यह है कि यह किसी भी संख्या की आयामों के लिए मान्य है।

पाइथागोरस का प्रमेय सिद्ध करना

यदि हमारे पास एक समकोण त्रिभुज है जिसके लम्ब a और b, और कर्ण c, हैं, तो पाइथागोरस का प्रमेय हमें बताता है कि a^2+b^2=c^2. इसे समझने के बाद हम प्रत्येक लम्ब को दो लम्बवत सदिशों \vec{x} और \vec{y} के माध्यम से प्रदर्शित कर सकते हैं और पाइथागोरस का प्रमेय निम्नलिखित तरीके से लिख सकते हैं:

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} \leftrightarrow (\|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2)

जहाँ अभिव्यक्ति \vec{x}\bot\vec{y} यह इंगित करती है कि दोनों सदिश लम्बवत हैं, अर्थात्: गैर-शून्य और ऐसे कि \vec{x}\cdot\vec{y}=0. इस प्रकार, दो सदिशों की लम्बवतता और उनके परिमाणों के वर्गों के योग के बीच द्वि-शर्तीय संबंध स्थापित होता है।

पाइथागोरस के प्रमेय को प्रदर्शित करने का यह सदिश रूप निम्नलिखित दो तर्कों के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है:

पहले आगे की दिशा:

\begin{array}{rll} (1) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} & {;\;अनुमान} \\ \\ (2) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \vec{x}\cdot\vec{y}= 0 & {;\;(1) से} \\ \\ (3) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = (\vec{x} + \vec{y})\cdot(\vec{x} + \vec{y}) = \|\vec{x}\|^2 + 2(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \|\vec{y}\|^2 & \\ &;\; यूक्लिडीय मानक और अदिश गुणनफल का गुण & \\ \\ (4) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2 & {;\;(2,3) से} \\ \\ (5) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} \rightarrow ( \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2) & {;\;TD(4)} \end{array}

और अब वापसी की दिशा:

\begin{array}{rll} (1) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2 & {;\;अनुमान} \\ \\ (2) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 +2(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \|\vec{y}\|^2 & \\ &;\; यूक्लिडीय मानक और अदिश गुणनफल का गुण &\\ \\ (3) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \vec{x}\cdot\vec{y}=0 & {;\;(1,2) से} \\ \\ (4) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} & {;\;(3) से} \\ \\ (5) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash (\|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2) \rightarrow \vec{x}\bot\vec{y} & {;\;TD(4)} \end{array}

और अंततः, दोनों तर्कों को मिलाकर हमारे पास वही है जिसे सिद्ध करना था:

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} \leftrightarrow (\|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2)

\mathbb{R}^n के एक उपस्थान पर किसी सदिश का प्रक्षेपण

मान लीजिए एक उपस्थान है H \mathbb{R}^n का, जो एकक सदिशों के आधार \{\hat{v}_1, \cdots, \hat{v}_k\} से बना है। यदि हम एक सदिश \vec{x}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\} लें, तो सदिश \vec{x} का H स्थान पर प्रक्षेपण निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया जाता है:

Proy_{H}(\vec{x}) = \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j

किसी समूह का आर्थोनॉर्मल होना यह बताता है कि उसके सभी अवयव आपस में लम्बवत हैं और प्रत्येक का मानक इकाई के बराबर है।

यह, यूँ कहें तो, उस छाया के समान है जिसे एक सदिश \mathbb{R}^n के उपस्थान H की प्रत्येक घटक पर प्रक्षेपित करता है।

\mathbb{R}^n के किसी बिंदु या सदिश और \mathbb{R}^n के किसी उपस्थान के बीच की दूरी

किसी सदिश का प्रक्षेपण लेते हुए \vec{x}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\} \mathbb{R}^n के एक उपस्थान H पर, हम निम्नलिखित रूप का एक सदिश बना सकते हैं

\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})

इस प्रकार निर्मित सदिश वह सदिश होगा जो उपस्थान H के एक बिंदु को निर्देशांक \vec{x} वाले बिंदु से जोड़ता है और उपस्थान H पर लम्बवत निकलता है। इसे सिद्ध करना कठिन नहीं है: यदि हम कोई भी सदिश \vec{z}\in H लें और डॉट गुणनफल (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z} की गणना करें, तो यह देखना पर्याप्त है कि इस क्रिया का परिणाम शून्य है। चलिए गणना करते हैं यह देखने के लिए कि क्या वास्तव में ऐसा है:

यदि \vec{z}\in H, तो यह इस रूप का होगा

\vec{z}=\displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j

जहाँ \{\hat{v}_j\}_{j=1}^k H का एक आर्थोनॉर्मल आधार है और \beta_j \in\mathbb{R} H में \vec{z} के गुणांक हैं। इसे ध्यान में रखते हुए, डॉट गुणनफल (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z} की गणना यह देगी:

\begin{array}{rl} (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z} &= \left(\vec{x} - \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \right) \cdot \displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= \vec{x} \cdot \displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j - \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \end{array}

लेकिन चूंकि \vec{x} \mathbb{R}^n का एक सदिश है जिसका H एक उपस्थान है, इसलिए n-k सदिशों का एक ऐसा समूह खोजना संभव है जो आपस में आर्थोनॉर्मल हों और साथ ही H के सभी सदिशों के प्रति आर्थोनॉर्मल हों, मान लीजिए \{\hat{v}_{k+1}, \cdots, \hat{v}_n\}, ताकि H के आधार के साथ वे \mathbb{R}^n के लिए एक आधार बनाएं और इस प्रकार लिखा जा सके

\vec{x} = \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j + \sum_{j=k+1}^n \alpha_j \hat{v}_j

इस प्रकार ऊपर का विकास निम्न रूप में आगे बढ़ता है:

\begin{array}{rl} (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z} &= \displaystyle \left( \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j + \sum_{j=k+1}^n \alpha_j \hat{v}_j\right) \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j - \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j + \underbrace{\color{red}{\sum_{j=k+1}^n \alpha_j \hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j}}_{(*)} - \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j - \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= 0 \end{array}

(*) शून्य योग क्योंकि \{v_j\}_{j=1}^n \mathbb{R}^n का एक आर्थोनॉर्मल आधार है।

इसके आधार पर हम यह सिद्ध कर सकते हैं कि उपस्थान H और सदिश \vec{x} के बीच की दूरी निम्न प्रकार से दी गई है:

\|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\|

प्रमाण

इस परिणाम को सिद्ध करने के लिए यह दिखाया जाएगा कि सभी \vec{z}\in H के लिए सदैव यह सत्य होगा कि \|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\| \leq \|\vec{x} - \vec{z}\|, इसके लिए हम पाइथागोरस का प्रमेय निम्न प्रकार से उपयोग करेंगे:

\begin{array}{rl} \|\vec{x} - \vec{z}\|^2 &= \| \left(\vec{x} -Proy_{H}(\vec{x}) \right) + \left(Proy_{H}(\vec{x}) - \vec{z}\right)\|^2 \\ \\ &= \| \vec{x} -Proy_{H}(\vec{x}) \|^2 + \|Proy_{H}(\vec{x}) - \vec{z}\|^2 \\ \\ \end{array}

यह अंतिम समानता इसलिए प्राप्त होती है क्योंकि सदिश \vec{x} -Proy_{H}(\vec{x}) और Proy_{H}(\vec{x}) - \vec{z} लम्बवत हैं। और इसलिए:

\|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\|^2 \leq \|\vec{x} - \vec{z}\|^2

जो वही है जिसे सिद्ध करना था।

अब इस परिणाम के साथ, हम कह सकते हैं कि \vec{x}\in\mathbb{R}^n के किसी बिंदु और \mathbb{R}^n के एक उपस्थान H के बीच की दूरी, जो आर्थोनॉर्मल सदिशों \{\hat{v}_1, \cdots, \hat{v}_k\} द्वारा उत्पन्न है, निम्न प्रकार से दी जाती है:

dist(\vec{x},H) =\left\|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\right\|= \left\|\vec{x} - \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j\right\|

\mathbb{R}^3 में अदिश और सदिश गुणनफल

अब हम अपना दृष्टिकोण थोड़ा बदलेंगे ताकि हम \mathbb{R}^3 के सदिशों पर ध्यान केंद्रित करें। यहाँ, उन क्रियाओं के अलावा जिन्हें हमने सामान्यतः \mathbb{R}^n के लिए पहले ही देखा है, सदिश गुणनफल भी संभव है जो दो सदिशों के गुणन से एक अन्य सदिश देता है। यह \mathbb{R}^3 (और संभवतः \mathbb{R}^7, जिसका मामला हम यहाँ नहीं देखेंगे) का एक विशिष्ट गुणन है। सामान्यतः \mathbb{R}^3 के आधार सदिशों को \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} या \hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k} अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है। इनमें से किसी एक का उपयोग व्यक्तिगत पसंद पर निर्भर करता है।

\begin{array}{rl} \hat{\imath} = \hat{x}&=(1,0,0)\\ \hat{\jmath} =\hat{y}&=(0,1,0)\\ \hat{k} =\hat{z}&=(0,0,1)\\ \end{array}

इस प्रकार, यदि हमारे पास (a,b,c) के रूप का एक सदिश है, तो इसे बीजगणितीय रूप में निम्नलिखित तरीके से लिखा जा सकता है:

(a,b,c) = a\hat{x} + b\hat{y} + c\hat{z}

\mathbb{R}^3 में सदिश गुणनफल

मान लें \vec{x}=(x_1,x_2,x_3) और \vec{y}=(y_1,y_2,y_3) \mathbb{R}^3 के सदिश हैं। \vec{x} का \vec{y} के साथ सदिश गुणनफल \vec{x}\times\vec{y} निम्न प्रकार से परिभाषित होता है:

\begin{array}{rl} \vec{x}\times\vec{y} &= \left|\begin{array}{ccc} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \end{array}\right| \\ \\ &=\hat{x}x_2y_3 + \hat{y}x_3y_1 + \hat{z} x_1y_2 - \left( \hat{z} x_2 y_1 + \hat{y} x_1 y_3 + \hat{x}x_3y_2\right) \\ \\ &=\hat{x}(x_2y_3 - x_3y_2) + \hat{y}(x_3y_1 - x_1y_3) + \hat{z}(x_1y_2 - x_2y_1) \end{array}

लाग्रांज की पहचान

\mathbb{R}^3 के सदिशों के मामले में हम तीन प्रकार के “गुणन” पहचान सकते हैं: अदिश \vec{x}\cdot\vec{y}, सदिश \vec{x}\times\vec{y}, और मानकों का \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|. ये तीनों गुणन आपस में लाग्रांज की पहचान के माध्यम से जुड़े हुए हैं

\|\vec{x}\times\vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2- (\vec{x}\cdot\vec{y})^2

लाग्रांज की पहचान का प्रमाण

मान लें \vec{x}=(x_1,x_2,x_3) और \vec{y}=(y_1,y_2,y_3) \mathbb{R}^3 के सदिश हैं, तब हमारे पास है:

\begin{array}{rl} \vec{x}\times\vec{y} &=(x_2y_3 - x_3y_2) \hat{x} + (x_3y_1 - x_1y_3)\hat{y} + (x_1y_2 - x_2y_1)\hat{z} \end{array}

इस प्रकार:

\begin{array}{rl} \|\vec{x}\times\vec{y}\|^2 &=(x_2y_3 - x_3y_2)^2 + (x_3y_1 - x_1y_3)^2 + (x_1y_2 - x_2y_1)^2 \\ \\ &= \color{green}{x_2^2y_3^2 - 2x_2x_3y_3y_2 + x_3^2y_2^2} + \cdots\\ \\ &\cdots + \color{blue}{x_3^2y_1^2 - 2x_3x_1y_1y_3 + x_1^2y_3^2} + \cdots \\ \\ &\cdots + \color{red}{x_1^2y_2^2 - 2x_1x_2y_2y_1 + x_2^2y_1^2} \end{array}

दूसरी ओर:

\begin{array}{rl} \|\vec{x}\|^2 \|\vec{y}\|^2 - (\vec{x}\cdot\vec{y})^2 &= (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2+y_2^2 + y_3^2) - (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3 y_3)^2 \\ \\ \\ &= {x_1^2y_1^2} + \color{red}{x_1^2y_2^2} + \color{blue}{x_1^2y_3^2} + \cdots \\ \\ &\cdots + \color{red}{x_2^2y_1^2} + {x_2^2y_2^2} + \color{green}{x_2^2y_3^2} + \cdots \\ \\ &\cdots + \color{blue}{x_3^2y_1^2} + \color{green}{x_3^2y_2^2} + {x_3^2y_3^2} + \cdots \\ \\ &\cdots - \left[ {x_1^2y_1^2} + {x_2^2y_2^2} + {x_3^2y_3^2} + \right. \cdots \\ \\ &\cdots + 2\left(\color{red}{x_1x_2y_1y_2} + \color{blue}{x_1x_3y_1y_3} + \color{green}{x_2x_3y_2y_3} \right)\left.\right] \\ \\ \\ &= \color{red}{x_1^2y_2^2 - 2x_1x_2y_2y_1 + x_2^2y_1^2} + \cdots \\ \\ & \cdots + \color{blue}{x_1^2y_3^2 - 2x_1x_3y_3y_1 + x_3^2y_1^2} + \cdots \\ \\ & \cdots + \color{green}{x_2^2y_3^2 - 2x_2x_3y_3y_2 + x_3^2y_2^2} \end{array}

अंततः, रंगों में दी गई अभिव्यक्तियों की तुलना करके वही प्राप्त होता है जिसे सिद्ध करना था।

क्रॉस गुणनफल और सदिशों के बीच का कोण

पहले हमने देखा कि एक घनिष्ठ संबंध मौजूद है दो सदिशों द्वारा बनाए गए कोण और अदिश गुणनफल के परिणाम के बीच, जो इस संबंध द्वारा दिया जाता है \vec{x}\cdot\vec{y} = \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|\cos(\angle(\vec{x},\vec{y})). पता चलता है कि कुछ इसी तरह की बात सदिश गुणनफल के साथ होती है और यह निम्नलिखित संबंध द्वारा दी जाती है:

\|\vec{x}\times\vec{y}\| = \|\vec{x}\|\|\vec{y}\| \sin(\angle(\vec{x},\vec{y}))

यह अभिव्यक्ति लाग्रांज की पहचान का प्रत्यक्ष परिणाम है जिसे ऊपर प्रदर्शित किया गया था, प्रमाण हमें लगभग इस प्रकार मिलता है:

\begin{array}{rl} \|\vec{x}\times\vec{y}\|^2 &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 - (\vec{x}\cdot\vec{y})^2 \\ \\ &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 - (\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|\cos(\angle(\vec{x},\vec{y})))^2 \\ \\ &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 - \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2\cos^2(\angle(\vec{x},\vec{y})) \\ \\ &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 (1 - \cos^2(\angle(\vec{x},\vec{y}))) \\ \\ &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 \sin^2(\angle(\vec{x},\vec{y})) \end{array}

अंततः, मूल निकालते हुए हम पहुँचते हैं:

\|\vec{x}\times\vec{y}\| = \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|\; |\sin(\angle(\vec{x},\vec{y}))|

लेकिन याद रखें कि \angle(\vec{x},\vec{y})\in[0,\pi], और उस मान के दायरे में साइन फलन सदैव गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए हम परिमाण चिह्न हटा सकते हैं और उस परिणाम पर पहुँचते हैं जिसे सिद्ध करना था।

इस अभिव्यक्ति से हम यह अंतर्ज्ञान कर सकते हैं कि क्रिया \|\vec{x}\times\vec{y}\| का परिणाम हमें सदिश \vec{x} और \vec{y} द्वारा उत्पन्न क्षेत्रफल देता है।