यूक्लिडियन स्थान {\mathbb{R}^n}

इस कक्षा में हम यूक्लिडियन स्थान \mathbb{R}^n, इसकी बीजीय संरचना और मीट्रिक गुणों का अन्वेषण करेंगे। आप वेक्टर संक्रियाओं, डॉट उत्पाद, नॉर्म और यूक्लिडियन दूरी के बारे में जानेंगे, जो ज्यामिति और विश्लेषण में आवश्यक अवधारणाएँ हैं। स्पष्ट व्याख्याओं और सहज उदाहरणों के साथ, यह सामग्री आपको यह समझने में सक्षम बनाएगी कि बहु-आयामी स्थान को गणितीय रूप से कैसे मॉडल किया जाता है।

अध्ययन लक्ष्य:
इस कक्षा को पूरा करने के बाद, छात्र सक्षम होगा:

1. परिभाषित करें यूक्लिडियन स्थान \mathbb{R}^n और इसकी मौलिक विशेषताएँ।
2. समझाएँ \mathbb{R}^n की वेक्टर संरचना और इसकी मूलभूत संक्रियाएँ।
3. लागू करें डॉट उत्पाद का उपयोग कोणों और वेक्टरों के प्रक्षेपण की गणना करने के लिए।
4. साबित करें \mathbb{R}^n में डॉट उत्पाद के बीजीय और मीट्रिक गुण।
5. प्रयोग करें यूक्लिडियन नॉर्म वेक्टर की परिमाण निर्धारित करने के लिए।
6. गणना करें दो बिंदुओं के बीच की यूक्लिडियन दूरी और उसके ज्यामितीय अर्थ का विश्लेषण करें।
7. सत्यापित करें कोशी-श्वार्ज असमानता और त्रिभुज असमानता जैसी मौलिक असमानताओं की वैधता।

अनुक्रमणिका
यूक्लिडियन स्थान \mathbb{R}^n
डॉट उत्पाद
नॉर्म और यूक्लिडियन दूरी
निष्कर्ष

वेक्टर स्थान \mathbb{R}^n

निश्चित रूप से, इस बिंदु पर पहुँचने से पहले, आप \mathbb{R}, या समतल \mathbb{R}^2, या स्थान \mathbb{R}^3. की विशेषताओं से परिचित होंगे। ये सभी विचार \mathbb{R}^n. को समझने में सहायक होते हैं। मुख्य रूप से, सेट \mathbb{R}^n = \{\vec{x} = (x_1, \cdots, x_n) | x_1, \cdots, x_n \in \mathbb{R}\}, जिसमें वेक्टर योग और स्केलर गुणा की सामान्य संक्रियाएँ होती हैं, एक वेक्टर स्थान है। इसे समझने के लिए \mathbb{R}^n की मूलभूत संक्रियाओं की समीक्षा करते हैं।

\mathbb{R}^n की मूलभूत संक्रियाएँ

यदि \vec{x}=(x_1, \cdots, x_n), \vec{y}=(y_1, \cdots, y_n) वेक्टर हैं \mathbb{R}^n में और \alpha कोई वास्तविक स्केलर है, तो वेक्टर योग और स्केलर गुणा निम्नलिखित रूप में परिभाषित होते हैं:

वेक्टर योग: वेक्टर योग को निम्नलिखित फलन द्वारा परिभाषित किया जाता है:

\begin{array}{rcrl} +:& \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n & \longrightarrow & \mathbb{R}^n \\ & (\vec{x},\vec{y}) & \longmapsto & \vec{x}+\vec{y} = (x_1+y_1, \cdots, x_n + y_n) \end{array}

स्केलर गुणा: स्केलर गुणा को निम्नलिखित फलन द्वारा परिभाषित किया जाता है:

\begin{array}{rcrl} ():& \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n & \longrightarrow & \mathbb{R}^n \\ & (\alpha,\vec{x}) & \longmapsto & (\alpha\vec{x}) = (\alpha x_1, \cdots, \alpha x_n) \end{array}

\mathbb{R}^n का वेक्टर स्थानीय गुण

स्थान \mathbb{R}^n उपरोक्त संक्रियाओं के साथ एक वेक्टर स्थान है क्योंकि इसकी संक्रियाएँ निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करती हैं:

पहले हम परिवर्तनीयता और सहलग्नता गुण देखते हैं।

\vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x} \\ \vec{x} + (\vec{y} + \vec{z}) = (\vec{x} + \vec{y}) + \vec{z} \\ (\alpha \beta) \vec{x} = \alpha (\beta \vec{x}) = \beta (\alpha \vec{x}) = (\beta\alpha) \vec{x}

स्केलरों का योग स्केलर गुणा के संबंध में वितरित होता है और वेक्टर योग स्केलर गुणा के संबंध में वितरित होता है; अर्थात, निम्नलिखित समानताएँ संतुष्ट होती हैं:

(\alpha + \beta) \vec{x} = \alpha\vec{x} + \beta\vec{x} \\ \alpha(\vec{x} + \vec{y}) = \alpha\vec{x} + \alpha\vec{y}

एक संवर्द्धक तटस्थ तत्व \vec{0}=(0,\cdots, 0) मौजूद होता है, जो निम्नलिखित गुण को संतुष्ट करता है:

\vec{x} + \vec{0} = \vec{x}

स्केलर गुणा के लिए एक गुणात्मक तटस्थ तत्व मौजूद होता है:

1 \vec{x} = \vec{x}

और प्रत्येक वेक्टर \vec{x}\in\mathbb{R}^n के पास एक विलोपनात्मक व्युत्क्रम -\vec{x}, होता है, जो निम्नलिखित गुण को संतुष्ट करता है:

\vec{x} + -\vec{x} = \vec{0}

डॉट उत्पाद

यदि हम \mathbb{R}^n को एक वेक्टर स्थान के रूप में देखते हैं, तो हम देखेंगे कि इसमें वेक्टरों के बीच कोई गुणा संक्रिया नहीं होती; मूल रूप से, हम सामान्य रूप से दो वास्तविक संख्याओं की तरह वेक्टरों को “गुणा” नहीं कर सकते। हालाँकि, वेक्टरों के बीच इस संक्रिया को परिभाषित करना संभव है, और इसे डॉट उत्पाद के रूप में जाना जाता है।

डॉट उत्पाद को स्केलर गुणा से भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, पहला दो वेक्टरों के बीच का गुणा है जो एक स्केलर उत्पन्न करता है, जबकि दूसरा एक स्केलर और वेक्टर के बीच का गुणा है जो एक नया वेक्टर उत्पन्न करता है। आइए \mathbb{R}^n: के दो वेक्टरों पर विचार करें: \vec{x}=(x_1, \cdots, x_n) और \vec{y}=(y_1, \cdots, y_n). इनका उपयोग करके, \vec{x} और \vec{y} के बीच का डॉट उत्पाद निम्नलिखित सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है:

\vec{x}\cdot\vec{y} =\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i y_i = x_1y_1 + \cdots x_ny_n

\mathbb{R}^n के वेक्टरों के बीच डॉट उत्पाद को व्यक्त करने के कई तरीके हैं, एक तरीका हमने अभी देखा है, जबकि दूसरा एक आधार और आइंस्टीन संकेतन सम्मति को ध्यान में रखते हुए प्राप्त किया जाता है: यदि \{\hat{e}_i\}_{i=\overline{1,n}} \mathbb{R}^n का एक आधार है (आमतौर पर कैनोनिकल आधार), तो वेक्टर \vec{x} और \vec{y} निम्नलिखित रूप में लिखे जा सकते हैं:

\vec{x}=\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i\hat{e}_i = x_1\hat{e}_1 + \cdots x_n\hat{e}_n

\vec{y}=\displaystyle\sum_{i=1}^n y_i\hat{e}_i = y_1\hat{e}_1 + \cdots y_n\hat{e}_n

इसमें स्पष्ट रूप से यह दर्शाया गया है कि वेक्टरों के गुणांक x_i और y_i स्थान के आधार के सापेक्ष हैं।

आइंस्टीन संकेतन सम्मति

आइंस्टीन संकेतन सम्मति हमें सामान्य रूप से वेक्टरों और विशेष रूप से डॉट उत्पाद की अभिव्यक्ति को सरल बनाने की अनुमति देता है। यदि हम पिछले दो समीकरणों को देखें, तो हम देखेंगे कि उप-सूचकांक i वेक्टर गुणांक और आधार तत्व दोनों में दोहराया जाता है। आइंस्टीन के अनुसार, दोहराए गए इंडेक्स की उपस्थिति इस योग को मान्य करने के लिए पर्याप्त होती है, जिससे इसे संक्षेप में लिखा जा सकता है:

\vec{x}= x_i\hat{e}_i

\vec{y}= y_i\hat{e}_i

इस संकेतन सम्मति का उपयोग करते हुए, डॉट उत्पाद निम्नलिखित रूप लेता है:

\vec{x}\cdot\vec{y} = x_i\hat{e}_i \cdot y_i\hat{e}_i = x_iy_i \underbrace{(\hat{e}_i \cdot \hat{e}_i)}_{=1} = x_iy_i

इस अंतिम समानता में यह माना गया है कि हम कैनोनिकल आधार का उपयोग कर रहे हैं।

डॉट उत्पाद के अन्य संकेतन

वेक्टरों और उनकी संक्रियाओं के लिए उपयोग किया जाने वाला संकेतन सभी संदर्भों में समान नहीं होता, मैंने इस प्रविष्टि के पहले पैराग्राफ़ों में जो संकेतन उपयोग किया है, वह तब सबसे सामान्य है जब हम कैलकुलस में काम कर रहे होते हैं। जब रेखीय बीजगणित में काम किया जाता है, तो कभी-कभी वेक्टर और कोवेक्टर में भेद किया जाता है:

जब हम वेक्टरों की बात करते हैं, तो हमारा तात्पर्य “स्तंभ वेक्टर” से होता है, जिसे निम्नलिखित रूप में गणितीय रूप से दर्शाया जाता है:

\alpha^i = \left( \begin{array}{c}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{array} \right)

जबकि जब हम कोवेक्टरों की बात करते हैं, तो हमारा तात्पर्य “पंक्ति वेक्टर” से होता है, जिसे गणितीय रूप से निम्नलिखित रूप में दर्शाया जाता है:

\beta_i = \left( \beta_1 \; \cdots \; \beta_n \right)

इस प्रकार, दो वेक्टर \vec{x}=(x_1,\cdots,x_n) और \vec{y}=(y_1,\cdots,y_n) के बीच का डॉट उत्पाद “कोवेक्टर” x_i और वेक्टर y^i, के बीच का गणितीय गुणन है, जिससे निम्नलिखित वास्तविक संख्या प्राप्त होती है:

\left( x_1 \; \cdots \; x_n \right) \left( \begin{array}{c}y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right) = x_iy^i

ध्यान दें कि इस अंतिम समानता में आइंस्टीन योग संकेतन फिर से प्रकट होता है, जहां दोहराए गए सूचकांक इंगित करते हैं कि अंतिम परिणाम एक योग होगा।

संकेतन, जो वेक्टर और कोवेक्टर को उप-सूचकांक और सुपर-सूचकांक के माध्यम से अलग करने की अनुमति देता है, को “कोवेरिएंट संकेतन” या “टेंसर संकेतन” कहा जाता है और यह विशेष और सामान्य सापेक्षता सिद्धांतों के अध्ययन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इसके अलावा, यह टेंसरों के साथ कार्य करने को सरल बनाता है, जो वे चीजें हैं जिनकी हमने अभी समीक्षा की है और जिन्हें हम बाद में विस्तार से देखेंगे। अन्य विषयों जैसे क्वांटम यांत्रिकी में, ब्रा-कैट संकेतन को प्राथमिकता दी जाती है, जहां:

\left< x \right| =\left( x_1 \; \cdots \; x_n \right) \\ \\ \left|y\right> = \left( \begin{array}{c}y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right)

इस प्रकार, डॉट उत्पाद को \left<x|y\right> के रूप में दर्शाया जाता है।

डॉट उत्पाद के गुण

डॉट उत्पाद की परिभाषा से हम कई महत्वपूर्ण गुण निकाल सकते हैं, जो आगे हमारे लिए अत्यंत उपयोगी होंगे।

यदि हम डॉट उत्पाद का उपयोग करके निम्नलिखित फलन को परिभाषित करें: \tilde{\omega}(\vec{x})=\vec{\omega} \cdot \vec{x} = \omega_i x^i, तो हम देखेंगे कि यह फलन \tilde{\omega} सभी रेखीय फलनों के गुणों को संतुष्ट करता है। इसे सिद्ध करना सरल होगा कि:

\begin{array}{rl} \tilde{\omega}(\alpha \vec{x} + \beta\vec{y}) = \alpha \tilde{\omega}(\vec{x}) + \beta\tilde{\omega}(\vec{y}) \end{array}

इसी कारण से, उत्पाद \tilde{\omega} से परिभाषित वस्तुओं को रेखीय फलन (लिनियर फ़ंक्शनल) कहा जाता है। जैसा कि हम जानते हैं, \vec{x} एक वेक्टर है जो वेक्टर स्थान \mathbb{R}^n का सदस्य है, और जैसा कि अन्य संदर्भों में देखा जाएगा, \tilde{\omega} \mathbb{R}^n के द्वंद्व स्थान (डुअल स्पेस) का एक तत्व है।

इससे यह स्पष्ट होता है कि डॉट उत्पाद और रेखीय फलनों के बीच गहरा संबंध है; वास्तव में, एक समीकरण जो डॉट उत्पाद के सभी महत्वपूर्ण गुणों को संक्षेप में प्रस्तुत करता है, वह यह है: “डॉट उत्पाद एक द्विरेखीय, सममित, सकारात्मक और अपसृजनरहित रूप है।” आइए देखें कि इस कथन का प्रत्येक भाग क्या दर्शाता है:

जब हम कहते हैं कि डॉट उत्पाद एक द्विरेखीय रूप है, तो इसका अर्थ यह है कि यदि \vec{x},\vec{y} और \vec{z} वेक्टर हैं \mathbb{R}^n में, और \alpha,\beta \in \mathbb{R}, तो निम्नलिखित दो समानताएँ संतुष्ट होती हैं:

\begin{array}{rl} \vec{x}\cdot(\alpha \vec{y} + \beta\vec{z}) = \alpha (\vec{x}\cdot\vec{y}) + \beta(\vec{x}\cdot\vec{z}) \\ \\ (\alpha \vec{x} + \beta\vec{y})\cdot\vec{z} = \alpha (\vec{x} \cdot \vec{z}) + \beta(\vec{y}\cdot\vec{z}) \end{array}

डॉट उत्पाद सममित होता है क्योंकि:

\forall(\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n)(\vec{x}\cdot\vec{y} = \vec{y}\cdot\vec{x})

यह सकारात्मक रूप से परिभाषित है क्योंकि:

(\forall\vec{x}\in\mathbb{R}^n)(\vec{x}\cdot\vec{x} \geq 0)

और अंततः, यह अपसृजनरहित है क्योंकि:

\vec{x}\cdot\vec{x} = 0 \leftrightarrow \vec{x}=\vec{0}

नॉर्म और यूक्लिडियन दूरी

नॉर्म एक वेक्टर की परिमाण को मापने का एक तरीका है, जब किसी वेक्टर स्थान में एक नॉर्म होती है, तो इसे एक नॉर्मड वेक्टर स्पेस कहा जाता है। यदि \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n और \lambda\in\mathbb{R}, तो फ़ंक्शन Norm( . ) एक नॉर्म है यदि यह निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

1. Norm(\vec{x})\geq 0
2. Norm(\vec{x}) = 0 \leftrightarrow \vec{x}=\vec{0}
3. Norm(\lambda\vec{x}) = |\lambda| Norm(\vec{x})
4. Norm(\vec{x} + \vec{y}) \leq Norm(\vec{x}) + Norm(\vec{y})

डॉट उत्पाद का एक महत्वपूर्ण पहलू यह है कि यह विशेष रूप से एक गणितीय दूरी को परिभाषित करने के लिए उपयोगी होता है, जो सहज रूप से हमारी प्राकृतिक समझ के अनुरूप होती है कि दो बिंदुओं के बीच की दूरी को कैसे मापा जाए। प्रत्येक \vec{x}\in\mathbb{R}^n के लिए, इसकी यूक्लिडियन नॉर्म \|\vec{x}\| निम्नलिखित समीकरण द्वारा परिभाषित होती है:

\|\vec{x}\| = \sqrt{\vec{x}\cdot\vec{x}}

इससे हम कहते हैं कि यूक्लिडियन नॉर्म डॉट उत्पाद द्वारा प्रेरित नॉर्म है।

एक दूरी, या मीट्रिक, एक फ़ंक्शन होता है जो हमें “किसी सेट के दो तत्वों के बीच की पृथक्करण” के बारे में बताता है। यदि \vec{x}, \vec{y}, \vec{z}\in\mathbb{R}^n और \lambda\in\mathbb{R}, तो फ़ंक्शन Dist( . ) एक दूरी होती है यदि यह निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करती है:

1. Dist(\vec{x},\vec{y})=0 \leftrightarrow \vec{x}=\vec{y}
2. Dist(\vec{x},\vec{y})=Dist(\vec{y},\vec{x})\geq 0
3. Dist(\vec{x},\vec{z})\leq Dist(\vec{x},\vec{y}) + Dist(\vec{y},\vec{z})

अंतिम अभिव्यक्ति को त्रिभुज असमानता कहा जाता है, और यदि यह संतुष्ट नहीं होती, तो फ़ंक्शन Dist(.) को “छद्म दूरी” या “छद्म मीट्रिक” के रूप में जाना जाएगा। एक वेक्टर स्थान जिसमें एक दूरी परिभाषित होती है, उसे मीट्रिक स्पेस कहा जाता है।

यूक्लिडियन नॉर्म के आधार पर दो वेक्टरों के बीच यूक्लिडियन दूरी परिभाषित की जाती है। यदि हमारे पास दो वेक्टर \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n, हैं, तो इन दोनों वेक्टरों के बीच की यूक्लिडियन दूरी dist_e(\vec{x},\vec{y}) निम्नलिखित रूप में दी जाती है:

dist_e(\vec{x},\vec{y}) = \|\vec{x} - \vec{y}\|

यदि \vec{x}=(x_1,\cdots,x_n) और \vec{y}=(y_1,\cdots, y_n), तो यह डॉट उत्पाद और नॉर्म के गुणों से आसानी से सिद्ध किया जा सकता है कि:

dist_e(\vec{x},\vec{y}) = \sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}

यदि हम वेक्टर स्थान \mathbb{R}^n को यूक्लिडियन दूरी से सुसज्जित करें, तो जो प्राप्त होता है वह एक यूक्लिडियन स्थान कहलाता है।

इससे हम कहते हैं कि यूक्लिडियन स्थान की मीट्रिक यूक्लिडियन नॉर्म द्वारा प्रेरित मीट्रिक है।

यूक्लिडियन नॉर्म के गुण

चूंकि हमारा अध्ययन विशेष रूप से यूक्लिडियन स्थान पर केंद्रित है, इसलिए यूक्लिडियन नॉर्म के गुणों की समीक्षा करना उपयोगी रहेगा।

कोशी-श्वार्ज असमानता

यदि \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n, तो निम्नलिखित गुण संतुष्ट होता है:

|\vec{x}\cdot\vec{y}|\leq \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|

सिद्धांत:

मान लें कि \lambda = (\vec{x}\cdot\vec{y})/\|\vec{y}\|^2, तब हमारे पास:

\begin{array}{rl} 0\leq \|\vec{x} - \lambda \vec{y}\|^2 &= (\vec{x} - \lambda\vec{y}) \cdot (\vec{x} - \lambda\vec{y}) \\ \\ \displaystyle &= \vec{x}\cdot\vec{x} - \lambda\vec{x}\cdot\vec{y} + \lambda\vec{y}\cdot\vec{x} + \lambda^2(\vec{y}\cdot\vec{y})\\ \\ &= \|\vec{x}\|^2 - 2\lambda(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \lambda^2 \|\vec{y}\|^2 \\ \\ \displaystyle &= \|\vec{x}\|^2 - 2\left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{y}\|^2}\right)(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{{\|\vec{y}\|^2}}\right)^2 {\|\vec{y}\|^2}\\ \\ \displaystyle &= \|\vec{x}\|^2 - 2\left(\frac{(\vec{x}\cdot\vec{y})^2}{\|\vec{y}\|^2}\right) + \frac{\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2}{\|\vec{y}\|^2}\\ \\ \displaystyle &= \|\vec{x}\|^2 - \frac{\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2}{\|\vec{y}\|^2} \end{array}

इससे हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि:

\displaystyle 0 \leq \|\vec{x}\|^2 - \frac{\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2}{\|\vec{y}\|^2}

और इसलिए:

\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2 \leq \|\vec{x}\|^2 \|\vec{y}\|^2

और अंततः, दोनों पक्षों की मूल निकालने पर हमें वह मिलता है जिसे हम साबित करना चाहते थे:

|\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\| \|\vec{y}\| ⬛

त्रिभुज असमानता

मान लें कि \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n, तो ये वेक्टर निम्नलिखित संबंध को संतुष्ट करते हैं:

\|\vec{x} + \vec{y}\| \leq \|\vec{x}\| + \|\vec{y}\|

सिद्धांत:

सबसे पहले, हम ध्यान दें कि:

\begin{array}{rl} \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 &= (\vec{x} + \vec{y})\cdot(\vec{x} + \vec{y}) \\ \\ &=\|\vec{x}\|^2 + 2(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \|\vec{y}\|^2 \end{array}

क्योंकि निम्नलिखित संबंध मान्य हैं:

\vec{x}\cdot\vec{y}\leq |\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\|\vec{y}\|

हम इसे निम्नलिखित रूप में पुनर्लेखित कर सकते हैं:

\begin{array}{rl} \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 &\leq \|x\|^2 + 2\|\vec{x}\|\vec{y}\| + \|\vec{y}\|^2 \\ \\ &\leq \left(\|\vec{x}\| + \|\vec{y}\| \right)^2 \end{array}

अंततः, दोनों पक्षों की मूल निकालने पर, हमें वह प्राप्त होता है जिसे हम साबित करना चाहते थे:

\|\vec{x} + \vec{y}\|\leq \|\vec{x}\| + \|\vec{y}\| ⬛

निष्कर्ष

इस कक्षा में, हमने यूक्लिडियन स्थान \mathbb{R}^n के मौलिक गुणों का अध्ययन किया, इसकी बीजीय और मीट्रिक संरचनाओं की समीक्षा की। हमने इसकी मूलभूत संक्रियाएँ परिभाषित करके शुरुआत की, जैसे कि वेक्टर योग और स्केलर गुणा, जिससे इसका वेक्टर स्थान के रूप में स्वरूप स्थापित हुआ। इसके बाद, हमने डॉट उत्पाद की अवधारणा का गहराई से अध्ययन किया और इसकी गणितीय व्याख्या तथा रेखीय फलनों के साथ इसके संबंध को उजागर किया।

इसके बाद, हमने यूक्लिडियन नॉर्म और इससे प्रेरित दूरी का विश्लेषण किया, इस पर बल देते हुए कि ये उपकरण हमें इस स्थान में लंबाइयों और दूरियों को मात्रात्मक रूप से मापने की अनुमति देते हैं। साथ ही, हमने कुछ मूलभूत असमानताओं की समीक्षा की, जैसे कि कोशी-श्वार्ज असमानता:

|\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\| \|\vec{y}\|

और त्रिभुज असमानता:

\|\vec{x} + \vec{y}\|\leq \|\vec{x}\| + \|\vec{y}\|

जो विश्लेषण और ज्यामिति में उन्नत सिद्धांतों के विकास के लिए आवश्यक हैं।