एक अवधि का बाइनोमियल मॉडल और गैर-सट्टा स्थिति

सारांश:
कल्पना करें कि एक कैसीनो है जहाँ आप एक ऐसे खेल में दांव लगा सकते हैं जहाँ, परिणाम चाहे जो भी हो, आप हमेशा पैसा कमाते हैं। यह सुनने में बहुत अच्छा लगता है, है ना? वित्तीय बाजारों में, इस तरह के अवसर मध्यस्थता (अर्बिट्राज) की संभावना के कारण उत्पन्न होते हैं; हालांकि, बाजार के प्रतिभागियों की कार्रवाई से ये जल्दी समाप्त हो जाते हैं। इस कक्षा में, हम एक अवधि के बाइनोमियल मॉडल और गैर-सट्टा स्थिति का अन्वेषण करेंगे, यह विश्लेषण करते हुए कि परिसंपत्तियों की कीमतें, ब्याज दरें, और निवेश रणनीतियाँ बिना जोखिम के लाभ प्राप्त करने की संभावना को कैसे समाप्त करती हैं। विस्तृत उदाहरणों और कठोर गणितीय प्रदर्शन के माध्यम से, हम उन मौलिक सिद्धांतों को उजागर करेंगे जो वित्तीय स्थिरता का समर्थन करते हैं और यह क्यों कि अर्बिट्राज का अवसर देखना केवल एक अधिक जटिल कहानी की शुरुआत है।

सीखने के उद्देश्य
इस कक्षा के अंत में, छात्र सक्षम होगा:

1. समझना कि एक अवधि का बाइनोमियल मॉडल क्या है और इसका वित्तीय परिसंपत्तियों के मूल्यांकन में कैसे उपयोग किया जाता है।
2. पहचानना बाइनोमियल मॉडल के मौलिक तत्वों को: अंतर्निहित परिसंपत्ति, वृद्धि और गिरावट के कारक, और जोखिम-मुक्त परिसंपत्ति।
3. समझना कि बाइनोमियल मॉडल में एक आत्म-वित्त पोषित पोर्टफोलियो का निर्माण और कार्य कैसे किया जाता है।
4. समझना कि वित्तीय बाजारों में गैर-सट्टा स्थिति कैसे काम करती है और यह आत्म-वित्त पोषित पोर्टफोलियो के माध्यम से जोखिम-मुक्त लाभ प्राप्त करने की संभावना को कैसे रोकती है।
5. मूल्यांकन करना कि गैर-सट्टा स्थिति का उपयोग करके किसी बाजार में अर्बिट्राज अवसरों की पहचान कैसे की जाए।
6. विश्लेषण करना कि अर्बिट्राज परिसंपत्तियों की कीमतों को कैसे प्रभावित करता है और बाजार में समायोजन कैसे करता है।
7. वर्णन करना कि अर्बिट्राज रणनीति और गैर-सट्टा स्थिति में शेयर ऋण दर की भूमिका क्या है।
8. व्याख्या करना कि कैसे गणितीय मॉडलों के माध्यम से अर्बिट्राज अवसरों के उभरने के बाद बाजार समायोजित होता है।
9. समझना कि गैर-सट्टा स्थिति प्रमेय का औपचारिक प्रमाण कैसे काम करता है।

विषय सूची
एक अवधि का बाइनोमियल मॉडल क्या है?
कैसे अर्बिट्राज अवसरों वाले बाजार की पहचान करें और उनकी त्वरित समाप्ति
गैर-सट्टा स्थिति प्रमेय का प्रमाण
निष्कर्ष

एक अवधि का बाइनोमियल मॉडल क्या है?

एक अवधि का बाइनोमियल मॉडल एक गणितीय मॉडल है जिसका उपयोग वित्त में किसी परिसंपत्ति की कीमत के समय-सीमित विकास का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इसे “बाइनोमियल” कहा जाता है क्योंकि प्रत्येक समय अवधि में, परिसंपत्ति की कीमत केवल दो संभावित दिशाओं में आगे बढ़ सकती है: बढ़ना या घटना। यह मॉडल वित्तीय व्युत्पन्न (डेरिवेटिव) विशेष रूप से विकल्पों (ऑप्शंस) के मूल्यांकन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है और बहु-अवधि बाइनोमियल मॉडल का आधार है।

मॉडल के घटक

एक अवधि के बाइनोमियल मॉडल को निम्नलिखित मौलिक तत्वों पर आधारित किया जाता है:

• एक अंतर्निहित परिसंपत्ति: जिसे समय t पर इसकी कीमत S(t) के रूप में दर्शाया जाता है। प्रारंभिक समय t=0 पर परिसंपत्ति की कीमत S(0) होती है। समय t=1 पर, इसकी कीमत दो संभावित मूल्यों में से एक में बदल सकती है, जिन्हें S(1,\text{sube}) (यदि कीमत बढ़ती है) या S(1,\text{baja}) (यदि कीमत घटती है) के रूप में निरूपित किया जाता है:

  S(1) = \begin{cases} S(1,\text{sube}) = S(0) u, & \text{संभावना } p \text{ के साथ}, \\ S(1,\text{baja}) = S(0) d, & \text{संभावना } 1 - p \text{ के साथ}। \end{cases}

  जहाँ u और d गुणांक परिसंपत्ति की वृद्धि और गिरावट के कारकों को दर्शाते हैं, जो निम्नलिखित संबंध को संतुष्ट करते हैं:

  0\lt d \lt 1 \lt u.

  यह संबंध यह भी सुनिश्चित करता है कि भविष्य की कीमतें हमेशा सकारात्मक हों, जैसा कि सरल बाजार मॉडल की मूलभूत धारणाओं द्वारा स्थापित किया गया है।

• संभावनाएँ: यह माना जाता है कि परिसंपत्ति के बढ़ने की संभावना p और घटने की संभावना 1 - p होती है, जहाँ 0 \lt p \lt 1। यह प्रतिबंध यह सुनिश्चित करता है कि परिसंपत्ति के दोनों संभावित चालें संभव हों और यह सुनिश्चित करता है कि कीमतें हमेशा केवल एक ही दिशा में न बढ़ें या न घटें, क्योंकि ऐसा होने से बाइनोमियल मॉडल अमान्य हो जाएगा और अर्बिट्राज के अवसर उत्पन्न होंगे।
• एक जोखिम-मुक्त परिसंपत्ति: इसमें एक बांड या वित्तीय उपकरण शामिल होता है जिसका मूल्य एक पूर्वानुमेय दर पर बढ़ता है, जो कि जोखिम-मुक्त ब्याज दर r होती है। इसकी कीमत अगले समयावधि में A(1) = A(0)(1+r) के रूप में व्यक्त की जाती है।

प्रमेय: एक अवधि के बाइनोमियल मॉडल में गैर-सट्टा स्थिति

मान लीजिए कि एक परिसंपत्ति है जिसकी प्रारंभिक कीमत S(0) \gt 0 है और जिसका मूल्य समय t=1 पर उपरोक्त बाइनोमियल संरचना का पालन करता है। मान लें कि एक जोखिम-मुक्त परिसंपत्ति (बॉन्ड) मौजूद है, जिसका मूल्य A(1) = A(0)(1+r) है, जहाँ r जोखिम-मुक्त दर है। तब, यदि और केवल यदि वृद्धि और गिरावट के कारक निम्नलिखित शर्त को पूरा करते हैं, तो बाजार में कोई अर्बिट्राज अवसर मौजूद नहीं होता:

0 \lt d \lt 1 + r \lt u

एक गैर-सट्टा बाजार में, यह संभव नहीं होता कि एक आत्म-वित्त पोषित पोर्टफोलियो (cartera autofinanciada) बनाया जाए जो बिना जोखिम के लाभ उत्पन्न करे।

आत्म-वित्त पोषित पोर्टफोलियो क्या है?

एक आत्म-वित्त पोषित पोर्टफोलियो एक निवेश रणनीति है जिसमें कोई अतिरिक्त पूंजी की आवश्यकता नहीं होती, क्योंकि किसी परिसंपत्ति की खरीद को उसी पोर्टफोलियो में अन्य परिसंपत्तियों की बिक्री द्वारा वित्तपोषित किया जाता है। सरल शब्दों में, इसे लागू करने के लिए बाहरी धन नहीं जोड़ा जाता।

यदि किसी बाजार में एक आत्म-वित्त पोषित पोर्टफोलियो बनाया जा सकता है जो सभी संभावित परिदृश्यों में निश्चित लाभ की गारंटी देता है, तो यह दर्शाता है कि वहाँ एक अर्बिट्राज अवसर मौजूद है। गैर-सट्टा स्थिति यह सुनिश्चित करती है कि इस प्रकार का पोर्टफोलियो बनाना संभव न हो।

गणितीय रूप से, एक आत्म-वित्त पोषित पोर्टफोलियो निम्न प्रकार से बनाया जाता है:

• जोखिमपूर्ण परिसंपत्ति में स्थिति: परिसंपत्ति, जिसकी प्रारंभिक कीमत S(0) है, की x इकाइयों को खरीदा या बेचा जाता है।
• जोखिम-मुक्त परिसंपत्ति में स्थिति: एक बॉन्ड में y राशि निवेश की जाती है या उधार ली जाती है, जिसकी प्रारंभिक कीमत A(0) है और जोखिम-मुक्त दर r है।
• आत्म-वित्त पोषण की शर्त: निम्नलिखित समीकरण संतुष्ट होना चाहिए:

V(0) = x S(0) + y A(0) = 0.

• अगली अवधि में मूल्यांकन: समय t = 1 पर पोर्टफोलियो का मूल्य:

V(1) = \begin{cases} x S(1,\text{sube}) + y A(1), & \text{यदि कीमत बढ़ती है}, \\ x S(1,\text{baja}) + y A(1), & \text{यदि कीमत घटती है}। \end{cases}

यदि x और y का कोई ऐसा संयोजन मौजूद है जिससे V(1) \geq 0 दोनों परिदृश्यों में और V(1) \gt 0 कम से कम एक परिदृश्य में हो, तो यह एक अर्बिट्राज अवसर को इंगित करता है।

0 \lt 0.82 \lt 1.07 \not\lt 1.052

चूँकि असमानता 1+r \lt u संतुष्ट नहीं होती, इसका अर्थ है कि इस बाजार में अर्बिट्राज संभव है। इसे स्पष्ट करने के लिए, हम निम्नलिखित प्रक्रिया द्वारा एक आत्म-वित्त पोषित पोर्टफोलियो बनाएंगे:

• एक शेयर की शॉर्ट सेलिंग की जाती है: जोखिमपूर्ण परिसंपत्ति को S(0) = 100 पर शॉर्ट सेल किया जाता है, जिसका अर्थ है कि निवेशक को एक शेयर उधार लेना होगा और इसे बाजार में बेचना होगा।
• जोखिम-मुक्त परिसंपत्ति में निवेश: प्राप्त 100 डॉलर को बॉन्ड में निवेश किया जाता है।
• अगली अवधि में शेयर की पुनःखरीद:
  • यदि कीमत 82 पर गिरती है, तो शुद्ध लाभ 107 - 82 = 25 होगा।
  • यदि कीमत 105.2 तक बढ़ती है, तो शुद्ध लाभ 107 - 105.2 = 1.8 होगा।

दोनों ही स्थितियों में, निवेशक को सुरक्षित लाभ प्राप्त होता है, जो अर्बिट्राज के अस्तित्व की पुष्टि करता है।

📌 अर्बिट्राज रणनीति के प्रति बाजार समायोजन

हालाँकि, एक कुशल बाजार में, ये अवसर लंबे समय तक नहीं बने रहते। जैसे-जैसे अधिक निवेशक इस अक्षमता को पहचानते हैं, वे शॉर्ट सेलिंग रणनीतियों को अपनाने लगते हैं, जिससे कई महत्वपूर्ण प्रभाव उत्पन्न होते हैं:

• जोखिमपूर्ण परिसंपत्ति की आपूर्ति में वृद्धि: शॉर्ट सेलिंग का तात्पर्य है कि कई निवेशक उधार लेकर शेयरों को बेचते हैं, जिससे बाजार में उपलब्ध शेयरों की आपूर्ति बढ़ जाती है। इस बढ़ी हुई आपूर्ति के कारण प्रारंभिक कीमत S(0) पर नीचे की ओर दबाव बनता है।
• भविष्य की परिसंपत्ति कीमतों में समायोजन: चूँकि S(1, \text{sube}) = S(0) u और S(1, \text{baja}) = S(0) d होते हैं, S(0) में गिरावट u और d के मूल्यों को समायोजित कर देती है, जिससे जोखिम-मुक्त दर 1 + r के साथ संबंध प्रभावित होता है। यह गैर-सट्टा स्थिति को पुनर्स्थापित करने की प्रवृत्ति रखता है।
• बॉन्ड की कीमत पर प्रभाव: जैसे-जैसे निवेशक शॉर्ट सेलिंग से प्राप्त धनराशि को बॉन्ड में निवेश करते हैं, इनकी माँग बढ़ जाती है। इससे बॉन्ड की वर्तमान कीमत A(0) में वृद्धि होती है। चूँकि बॉन्ड का भविष्य मूल्य A(1) = 107 स्थिर रहता है, यह बॉन्ड पर प्रभावी रिटर्न को कम कर देता है, जिससे जोखिम-मुक्त परिसंपत्ति की लाभप्रदता में समायोजन होता है।
• शॉर्ट सेलिंग की लागत: वे निवेशक जो शॉर्ट सेलिंग के लिए शेयर उधार लेते हैं, उन्हें शेयर उधार लेने की दर r_s का भुगतान करना पड़ता है। यह एक अतिरिक्त लागत प्रस्तुत करता है, जिससे अर्बिट्राज से होने वाले शुद्ध लाभ में कमी आ सकती है।

📌 शेयर ऋण दर अर्बिट्राज को कैसे प्रभावित करती है?

यदि शेयर ऋण दर r_s अधिक होती है, तो यह अर्बिट्राज से होने वाले शुद्ध लाभ को कम कर सकती है या यहाँ तक कि समाप्त भी कर सकती है। अर्बिट्राज रणनीति के अंतिम मूल्य के लिए समायोजित समीकरण निम्नलिखित होगा:

V(1) = A(0)(1 + r - r_s) - S(1)

जहाँ:

• r_s शेयर ऋण दर है।
• A(0)(1+r) बॉन्ड में निवेश को दर्शाता है।
• S(1) अवधि के अंत में शेयर को पुनः खरीदने की लागत है।

शेयर ऋण दर r_s को शामिल करने पर, गैर-सट्टा स्थिति की शर्त निम्न रूप में समायोजित होती है:

0 \lt d \lt 1 + r - r_s \lt u

इस विशेष मामले में, वे r_s के मान जो इस संबंध को संतुष्ट करते हैं, निम्नलिखित हैं:

0 \lt 0.82 \lt 1.07 - r_s \lt 1.052

इसका तात्पर्य है कि:

• यदि 0 \leq r_s \lt 0.018: अर्बिट्राज का अवसर बना रहता है, क्योंकि लाभ दोनों परिदृश्यों में सकारात्मक बना रहता है।
• यदि 0.018 \leq r_s \leq 0.25: अर्बिट्राज समाप्त हो जाता है, क्योंकि शेयर ऋण लागत समीकरण को संतुलित कर देती है और सुरक्षित लाभ को समाप्त कर देती है।
• यदि r_s \gt 0.25: इस स्थिति में, कोई भी तर्कसंगत निवेशक इस लेन-देन को नहीं करेगा, क्योंकि ऋण लागत किसी भी संभावित लाभ से अधिक हो जाती है। चूँकि इस संदर्भ में पोर्टफोलियो का भविष्य मूल्य सभी परिदृश्यों में नकारात्मक होगा, एक आत्म-वित्त पोषित पोर्टफोलियो गणितीय रूप से असंभव हो जाएगा।

📌 यदि नुकसान पोर्टफोलियो को समाप्त कर दें तो क्या होता है? जबरन परिसमापन और मार्जिन कॉल

यदि शेयर ऋण दर r_s इतनी अधिक हो जाती है कि यह सुरक्षित नुकसान की गारंटी देती है (r_s \gt 0.25), तो दलाल (ब्रोकर) स्वतः हस्तक्षेप करता है ताकि निवेशक का खाता नकारात्मक शेष में न चला जाए। यह एक जबरन परिसमापन की ओर ले जाता है, जिसे मार्जिन कॉल के रूप में भी जाना जाता है।

🔹 जबरन परिसमापन की प्रक्रिया:

1. बॉन्ड को स्वचालित रूप से बेचा जाता है:

   ब्रोकर बॉन्ड निवेश A(0)(1 + r) को तरल (कैश) करने के लिए बेच देता है।

2. शॉर्ट पोजीशन को बंद करने के लिए शेयर की पुनःखरीद:

   उपलब्ध नकदी का उपयोग करके, ब्रोकर शेयर को पुनः खरीदता है और इसे ऋणदाता को वापस कर देता है। पुनःखरीद की कीमत S(1) होती है।

3. ऋण निपटान और स्थिति समापन:

   यदि बॉन्ड बेचने से प्राप्त नकदी शेयर की पुनःखरीद की लागत को कवर नहीं करती, तो निवेशक नकारात्मक शेष के साथ रह जाता है, जिससे कानूनी जटिलताएँ उत्पन्न हो सकती हैं या अतिरिक्त धन जमा करने की आवश्यकता हो सकती है।

4. समेकित हानि:

   शुरुआत से ही नुकसान में चल रही यह रणनीति पूर्ण हानि के साथ समाप्त होती है, जो निम्नलिखित समीकरण द्वारा दी जाती है:

   \text{अंतिम हानि} = S(1) - A(0)(1 + r - r_s)

   यदि अंतिम हानि निवेशक के खाते में उपलब्ध नकदी से अधिक हो जाती है, तो वह अपनी पूरी पूंजी खो सकता है और ब्रोकर के प्रति ऋणी भी हो सकता है।

📌 गैर-सट्टा स्थिति कैसे पुनर्स्थापित होती है?

जब शेयर ऋण दर r_s पर्याप्त रूप से कम होती है, तो अर्बिट्राज अवसर बना रहता है, जिससे निवेशकों को सुरक्षित लाभ प्राप्त करने के लिए बड़े पैमाने पर शॉर्ट सेलिंग करने की प्रेरणा मिलती है।

इस विश्लेषण के लिए, मान लें कि शेयर ऋण दर r_s = 0.015 है।

इस कम ब्याज दर के कारण बढ़ी हुई बाजार गतिविधि समय के साथ बाजार में समायोजन का कारण बनती है, जिससे अंततः गैर-सट्टा स्थिति पुनर्स्थापित होती है। विशेष रूप से, निम्नलिखित प्रभाव देखे जाते हैं:

• शेयर की प्रारंभिक कीमत S(0) में गिरावट: शॉर्ट सेलिंग की उच्च मांग बाजार में उपलब्ध शेयरों की आपूर्ति को बढ़ा देती है, जिससे इसके प्रारंभिक मूल्य पर नकारात्मक दबाव पड़ता है। जैसे-जैसे S(0) गिरता है, वृद्धि और गिरावट के गुणांक u और d आनुपातिक रूप से समायोजित होते हैं, जिससे परिसंपत्ति की भविष्य की कीमतें और इसकी जोखिम-मुक्त दर के साथ संबंध बदल जाता है।
• बॉन्ड के वर्तमान मूल्य A(0) में वृद्धि: निवेशक शॉर्ट सेलिंग से प्राप्त धनराशि को बॉन्ड खरीदने में निवेश करते हैं, जिससे इनकी मांग बढ़ जाती है। इससे इसका वर्तमान मूल्य A(0) बढ़ जाता है, जिससे बॉन्ड में निवेश की प्रभावी लाभप्रदता कम हो जाती है और जोखिम-मुक्त दर की धारणा प्रभावित होती है।

ये प्रभाव संयुक्त रूप से बाजार के मापदंडों के क्रमिक समायोजन की ओर ले जाते हैं। S(0) में गिरावट और A(0) में वृद्धि, वृद्धि और गिरावट के गुणांकों u और d की संरचना को संशोधित करते हैं, साथ ही जोखिम-मुक्त दर r और शेयर ऋण दर r_s के बीच संबंध को समायोजित करते हैं, जब तक कि गैर-सट्टा स्थिति बहाल नहीं हो जाती:

0 \lt d \lt 1 + r - r_s \lt u

🔹 मूल्य समायोजन का मॉडलिंग

समायोजन प्रक्रिया को समायोजन गुणांक \alpha और \beta के माध्यम से मॉडल किया जा सकता है, जो बॉन्ड और शेयरों के वर्तमान मूल्यों पर लागू सुधार कारकों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

ये गुणांक परिसंपत्तियों के वर्तमान मूल्यों को संशोधित करते हैं, जिससे u, d और r के कारक समायोजित होते हैं और गैर-सट्टा स्थिति पुनर्स्थापित होती है। यानी, शेयर की प्रारंभिक कीमत S(0) से बदलकर \beta S(0) हो जाती है, जबकि बॉन्ड का वर्तमान मूल्य A(0) से बदलकर \alpha A(0) हो जाता है।

परिणामस्वरूप, u और d के नए मूल्य इन समायोजन गुणांकों के आधार पर परिभाषित किए जाते हैं:

u' = \dfrac{S(1,\text{sube})}{\beta S(0)}, \quad d' = \dfrac{S(1,\text{baja})}{\beta S(0)}

इसी प्रकार, नई जोखिम-मुक्त दर r' को बॉन्ड के वर्तमान मूल्य के नए स्तर के अनुसार समायोजित किया जाता है:

r' + 1 = \dfrac{A(1)}{\alpha A(0)}

यह एक पुन:संरचित गैर-सट्टा स्थिति की शर्त की ओर ले जाता है:

0 \lt \dfrac{S(1,\text{baja})}{\beta S(0)} \lt \dfrac{A(1)}{\alpha A(0)} - r_s \lt \dfrac{S(1,\text{sube})}{\beta S(0)}

समायोजन गुणांकों को अलग करने पर, हमें मिलता है:

\beta \gt \dfrac{A(0)S(1,\text{baja})\alpha}{S(0)(A(1) - r_s A(0)\alpha)}

\beta \lt \dfrac{A(0)S(1,\text{sube})\alpha}{S(0)(A(1) - r_s A(0)\alpha)}

यदि हम समस्या के विशिष्ट मूल्यों को लागू करें और यह मानें कि शेयर की कीमत घट रही है जबकि बॉन्ड का मूल्य बढ़ रहा है, तो हमें प्राप्त होता है:

\begin{array}{rl} \beta &\gt \dfrac{ 82 \alpha}{107 - 1.5\alpha} \\ \\ \beta &\lt \dfrac{105.2 \alpha}{107 - 1.5\alpha } \\ \\ \beta &\lt 1 \\ \\ \alpha &\gt 1 \end{array}

इस प्रणाली का समाधान निम्न ग्राफ़ की सबसे गहरे रंग की क्षेत्र में प्रदर्शित होता है:

इसलिए, बाजार उस मूल्य संयोजन की ओर बढ़ सकता है जो अर्बिट्राज के अवसर को समाप्त करता है, जैसे कि \alpha=1.05 और \beta=0.95।

इस संशोधन के साथ, सुधार किए गए गुणांक निम्नानुसार होंगे:

\begin{array}{rl} u^\prime &= \dfrac{S(1,\text{sube})}{\beta S(0)} = \dfrac{105.2}{0.95\cdot 100} \approx 1.107 \\ \\ d^\prime &= \dfrac{S(1,\text{baja})}{\beta S(0)} = \dfrac{82}{0.95\cdot 100} \approx 0.863 \\ \\ r^\prime + 1 &= \dfrac{A(1)}{\alpha A(0)} = \dfrac{107}{1.05 \cdot 100} \approx 1.019 \end{array}

इस प्रकार, गैर-सट्टा स्थिति संतुष्ट होती है:

0 \lt d^\prime \lt 1+r^\prime - r_s \lt u^\prime

प्राप्त मूल्यों को प्रतिस्थापित करने पर:

0 \lt 0.863 \lt 1.019 - 0.015 = 1.004 \lt 1.107

इसके अतिरिक्त, अर्बिट्राज के अवसर का लाभ उठाने के इच्छुक निवेशकों द्वारा उत्पन्न दबाव के कारण वर्तमान समय में परिसंपत्तियों के समायोजित मानों की गणना की जा सकती है:

\begin{array}{rl} A^\prime(0) &= \alpha A(0) = 1.05\cdot 100 = 105 \\ \\ S^\prime(0) &= \beta S(0) = 0.95\cdot 100 = 95 \end{array}

गैर-सट्टा स्थिति प्रमेय का प्रमाण

अब तक, हमने गैर-सट्टा स्थिति प्रमेय के कार्यप्रणाली की पड़ताल की है। अब, हम इसे चरण-दर-चरण साबित करेंगे। ऐसा करने के लिए, यह पहचानना उपयोगी है कि अर्बिट्राज के अवसर के संकेत क्या हैं:

• जोखिमपूर्ण परिसंपत्तियों और जोखिम-मुक्त बॉन्ड के प्रतिफल के बीच संबंध:

  यदि जोखिमपूर्ण परिसंपत्ति का न्यूनतम प्रतिफल जोखिम-मुक्त दर से अधिक है, तो इस परिसंपत्ति को खरीदने के लिए इस दर पर ऋण लिया जा सकता है, जिससे सभी संभावित परिस्थितियों में बिना जोखिम के लाभ की गारंटी मिलती है।

  इसी तरह, यदि जोखिम-मुक्त दर, परिसंपत्ति के अधिकतम प्रतिफल से अधिक है, तो अर्बिट्राज को अंजाम देना संभव है। यह परिसंपत्ति को शॉर्ट सेल करके और बॉन्ड में निवेश करके किया जा सकता है, जिससे बिना जोखिम के लाभ उत्पन्न किया जाता है।

• जोखिम-मुक्त दर और ऋण दर के बीच संबंध:

  पिछले बिंदु को पूरक करते हुए, ऋण दर r_s और जोखिम-मुक्त दर r के बीच अंतर करना महत्वपूर्ण है, खासकर अर्बिट्राज रणनीतियों या शॉर्ट सेलिंग का विश्लेषण करते समय। सामान्यतः, निम्नलिखित संबंध संतोषजनक होता है:

  -1\leq r \leq r_s

  यदि यह संबंध संतोषजनक नहीं होता, तो कम दर r_s पर उधार लेकर और उच्च दर r पर बॉन्ड में निवेश करके अर्बिट्राज किया जा सकता है, जिससे बिना जोखिम के लाभ प्राप्त होता है। यदि ऐसा अवसर मौजूद होता, तो निवेशक इसे तब तक उपयोग में लाते जब तक कि बाजार समायोजित नहीं हो जाता और अर्बिट्राज समाप्त नहीं हो जाता। इसके अतिरिक्त, ऋणदाता आमतौर पर चूक (डिफॉल्ट) जोखिम की भरपाई के लिए उच्च दर की माँग करते हैं।

  सरलीकृत वित्तीय मॉडलों में, सामान्यतः r_s = r माना जाता है, और अधिकांश मामलों में, r \geq 0 की शर्त लगाई जाती है ताकि ऋण दरें नकारात्मक न हों, यद्यपि यह अनिवार्य नहीं है।

• अर्बिट्राज के अस्तित्व की शर्तें किसी पोर्टफोलियो में:

  किसी पोर्टफोलियो का वर्तमान मूल्य, समय t=0 पर निम्नलिखित होता है:

  V(0) = xS(0) + y A(0)

  जहाँ S(0) शेयरों का वर्तमान मूल्य है और A(0) बॉन्ड का वर्तमान मूल्य है। भविष्य में, t=1 पर, पोर्टफोलियो का मूल्य परिसंपत्ति की गति पर निर्भर करता है:

  V(1) = \begin{cases} x S(0) u + y A(0) (1 + r), &\text{यदि कीमत बढ़ती है},\\ x S(0) d + y A(0) (1 + r), &\text{यदि कीमत घटती है}। \end{cases}

  अर्बिट्राज का अवसर केवल तभी मौजूद होता है जब कोई पोर्टफोलियो (x,y) निम्नलिखित तीन शर्तों को संतोषजनक करता हो:

  1. V(0)=0, अर्थात पोर्टफोलियो आत्म-वित्त पोषित है और इसे प्रारंभिक निवेश की आवश्यकता नहीं होती।
  2. V(1)\geq 0 सभी संभावित बाजार स्थितियों में, यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई हानि न हो।
  3. V(1) \gt 0 कम से कम एक संभावित स्थिति में, जिससे यह सुनिश्चित हो कि लाभ निश्चित रूप से सकारात्मक है।

इस प्रमाण को विकसित करने के लिए, हम निम्नलिखित संकेत संकेतन (नोटेशन) सम्मेलनों को प्रस्तुत करेंगे:

\begin{array}{rcl} V(1,\omega) &=& xS(1,\omega) + yA(1). \end{array}

जहाँ \omega का मान \text{sube} या \text{baja} हो सकता है। इसके अलावा, हमें गणितीय रूप से उस स्थिति को व्यक्त करने की आवश्यकता है जब कोई पोर्टफोलियो (x,y) अर्बिट्राज के अवसर का लाभ उठाता है। इसे निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है:

\begin{array}{l} V(0) = 0, \\ \forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0, \\ \exists \omega \quad V(1,\omega) > 0. \end{array}

इन अवधारणाओं को स्पष्ट करने के बाद, अब हम गणितीय और कठोर रूप से एक अर्बिट्राज अवसर को परिभाषित करने वाली अभिव्यक्ति को स्थापित कर सकते हैं:

\begin{array}{rl} \text{अर्बिट्राज}:= & V(0) = 0 \wedge (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0) \wedge \cdots \\ & \cdots \wedge (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega \quad V(1,\omega) \gt 0) \\ \\ \text{गैर-सट्टा स्थिति}:= & \neg \text{अर्बिट्राज} \\ = & V(0) \neq 0 \vee \neg(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0) \vee \cdots \\ & \cdots \vee \neg(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega \quad V(1,\omega) \gt 0) \end{array}

अंततः, प्रमेय \mathcal{H} के लिए पूर्वधारणाओं का समूह निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

\begin{array}{rcl} \mathcal{H} &=& \left\{ \right. V(0)=xS(0) + yA(0) = 0, \\ \\ & &V(t,\omega) = xS(t,\omega) + yA(t), A(0), S(0) \gt 0, \\ \\ & & S(1) = \begin{cases} S(1, \text{sube}) = S(0)u & \text{संभावना } p \text{ के साथ} \\ S(1,\text{baja}) = S(0)d & \text{संभावना } 1-p \text{ के साथ} \end{cases}, \\ \\ & & 0 \lt d \lt u , \left. A(1) = A(0)(1+r), r\geq -1 \right\} \end{array}

यह समूह न केवल प्रमेय की पूर्वधारणाओं को शामिल करता है, बल्कि एक-अवधि वाले बाइनोमियल मॉडल की अंतर्निहित शर्तों को भी दर्शाता है।

इन मौलिक सिद्धांतों को स्थापित करने के बाद, अब हम यह प्रमाणित करने के लिए आगे बढ़ेंगे कि एक गैर-सट्टा बाजार में कौन-से संबंध संतुष्ट होने चाहिए।

प्रमेय का औपचारिक प्रमाण:

\begin{array}{rll} (1) & \mathcal{H} \models V(0) =xS(0) + yA(0) = 0 & \text{; पूर्वधारणा} \\ (2) & \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) + yA(1) & \text{; पूर्वधारणा} \\ (3) & \mathcal{H} \models A(0) \gt 0 & \text{; पूर्वधारणा} \\ (4) & \mathcal{H} \models S(0) \gt 0 & \text{; पूर्वधारणा} \\ (5) & \mathcal{H} \models r \gt -1 & \text{; पूर्वधारणा} \\ (6) & \mathcal{H} \models A(1) = (1+r) A(0) & \text{; पूर्वधारणा} \\ (7) &\color{red}\mathcal{H} \models 0 \lt d \lt u \color{black}& \text{; पूर्वधारणा} \\ \\ (8) & \mathcal{H} \models S(1) = \begin{cases}S(1,\text{sube})=S(0)u & \text{संभावना } p \text{ के साथ} \\ S(1,\text{baja}) = S(0)d & \text{संभावना } 1-p \text{ के साथ}\end{cases} & \text{; पूर्वधारणा} \\ \\ (9) & \mathcal{H} \models y = \dfrac{-xS(0)}{A(0)} \wedge x\in\mathbb{R} & \text{; (1) से व्युत्पन्न} \\ (10)& \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) - \dfrac{xS(0)}{A(0)} A(1) & \text{; (2,9) से व्युत्पन्न} \\ (11)& \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) - x(1+r)S(0) & \text{; (6,10) से व्युत्पन्न} \\ &\text{यह एक ऋण-आधारित वित्त पोषित पोर्टफोलियो का भविष्य मूल्य है,} &\\ &\text{जो एक जोखिम-मुक्त दर $r$ पर उधार लेकर एक शेयर खरीदता है।} &\\ (12)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models 0 \leq (1+r)S(0) \leq \underbrace{S(0) d}_{S(1,\text{baja})} \lt \underbrace{S(0) u}_{S(1,\text{sube})} & \text{; (4,5,7,8) से व्युत्पन्न}\\ (13)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models x(1+r)S(0) \leq xS(1,\omega) \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; (12) से व्युत्पन्न}\\ (14)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega\quad V(1,\omega) \geq 0) &\text{; (2,9,13) से व्युत्पन्न}\\ (15)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models V(1,\omega) \gt 0 \leftrightarrow y \gt \dfrac{-xS(1,\omega)}{A(1)} = \dfrac{-xS(1,\omega)}{(1+r)A(0)} & \text{; (2,3,6,7,8) से व्युत्पन्न}\\ (16)&\mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega\quad V(1,\omega)\gt 0) &\text{; (14,15) से व्युत्पन्न}\\ (17)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models \text{अर्बिट्राज} &\text{; (1,14,16) से व्युत्पन्न}\\ (18)& \color{red}\mathcal{H}\cup\{\text{गैर-सट्टा स्थिति}\} \models d \lt 1+r\color{black}& \text{; RTD, CPI, TD(17) से व्युत्पन्न} \\ \\ (19)& \mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models 0 \lt \underbrace{S(0)d}_{S(1,\text{baja})} \lt \underbrace{S(0)u}_{S(1,\text{sube})} \leq (1+r)S(0) & \text{; (4,5,7,8) से व्युत्पन्न}\\ (20)& \mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models xS(1,\omega) \leq x(1+r)S(0) \leftrightarrow x\gt 0 &\text{; (19) से व्युत्पन्न} \\ (21)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \tilde{V}(0) = - V(0) = 0 & \text{; (1) से व्युत्पन्न}\\ (22)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models\tilde{V}(1,\omega)=-V(1,\omega) & \\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models\tilde{V}(1,\omega)}=-xS(1,\omega)+x(1+r)S(0) & \text{; (11) से व्युत्पन्न}\\ &\text{यह एक पोर्टफोलियो का भविष्य मूल्य है जो एक शेयर को शॉर्ट} &\\ &\text{सेल कर बॉन्ड खरीदने के लिए वित्तपोषण करता है, जो } &\\ &\text{ब्याज दर $r$ के साथ बढ़ता है।} & \\ (23)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega\quad \tilde{V}(1,\omega) \geq 0) & \text{; (2,9,20,22) से व्युत्पन्न}\\ (24)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \tilde{V}(1,\omega)\gt 0 \leftrightarrow y \lt \dfrac{-xS(1,\omega)}{A(1)} = \dfrac{-xS(1,\omega)}{(1+r)A(0)} &\text{; (2,3,4,6,22) से व्युत्पन्न}\\ (25)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega\quad \tilde{V}(1,\omega)\gt 0) &\text{; (23,24) से व्युत्पन्न}\\ (26)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \text{अर्बिट्राज} &\text{; (21,23,25) से व्युत्पन्न}\\ (27)&\color{red}\mathcal{H}\cup\{\text{गैर-सट्टा स्थिति}\} \models 1+r \lt u\color{black}& \text{; RTD, CPI, TD(26) से व्युत्पन्न}\\ (28) &\mathcal{H}\cup\{\text{गैर-सट्टा स्थिति}\} \models 0\lt d\lt1+r\lt u &\text{;\color{red}$\wedge$-Int(Mon(7),18,27)}\color{black} \\ (29)& \boxed{\mathcal{H} \models\text{गैर-सट्टा स्थिति}\rightarrow 0\lt d\lt1+r\lt u} & \text{; TD(28) से व्युत्पन्न}\\ \\ (30)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models 0\lt d\lt 1+r \lt u & \text{; पूर्वधारणा}\\ (31)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models xS(0)d\lt x(1+r)S(0) \lt xS(0)u \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; (4,30) से व्युत्पन्न}\\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\}} \models xS(0)d\lt x(1+r)S(0)\dfrac{A(0)}{A(0)} \lt xS(0)u \leftrightarrow x\gt 0 & \\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\}} \models xS(0)d\lt -y(1+r)A(0) \lt xS(0)u \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; (9) से व्युत्पन्न} \\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\}} \models xS(1,\text{baja})\lt -yA(1) \lt xS(1,\text{sube}) \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; (6,8) से व्युत्पन्न} \\ (32)& \mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models V(1,\text{baja})\lt 0 \lt V(1,\text{sube}) \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; (2,31) से व्युत्पन्न} \\ (33)& \mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models V(1,\text{baja})\gt 0 \gt V(1,\text{sube}) \leftrightarrow x\lt 0 & \text{; (31,32) से व्युत्पन्न} \\ (34)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models \neg(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega\quad V(1,\omega)\geq 0) & \text{; (32,33) से व्युत्पन्न} \\ (35)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models \text{गैर-सट्टा स्थिति} & \text{; $\vee$-int(34) से व्युत्पन्न}\\ (36)&\boxed{\mathcal{H} \models 0\lt d\lt 1+r \lt u \rightarrow \text{गैर-सट्टा स्थिति}} & \text{; TD(35) से व्युत्पन्न}\\ \\ (37)& \color{blue}\mathcal{H} \models 0\lt d\lt 1+r \lt u \leftrightarrow \text{गैर-सट्टा स्थिति}\color{black}\quad\blacksquare & \text{; (29,36) से व्युत्पन्न} \end{array}

निष्कर्ष

एक अवधि का बाइनोमियल मॉडल और गैर-सट्टा स्थिति वित्तीय सिद्धांत में मौलिक स्तंभ हैं, जो परिसंपत्तियों के मूल्यांकन और बाजार की स्थिरता के लिए एक संरचित ढांचा प्रदान करते हैं। इस लेख में, हमने विश्लेषण किया कि अर्बिट्राज के अवसर, जो सैद्धांतिक रूप से आकर्षक हो सकते हैं, बाजार की शक्तियों द्वारा तेजी से समाप्त कर दिए जाते हैं, जिससे परिसंपत्तियों की कीमतों और ब्याज दरों में समायोजन होता है। हमने गणितीय रूप से यह सिद्ध किया कि किसी परिसंपत्ति के वृद्धि और गिरावट कारकों तथा जोखिम-मुक्त दर के बीच संबंध एक कुशल और बिना जोखिम वाले लाभ के अवसरों से मुक्त बाजार को सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है।

इसके अलावा, हमने देखा कि जब अर्बिट्राज के अवसर उत्पन्न होते हैं, तो मूल्य दबाव, ऋण लागत और बाजार मापदंडों के पुन:संरचना जैसे तंत्र अंततः संतुलन की पुनर्स्थापना की ओर ले जाते हैं। इस समझ के साथ, यह स्पष्ट हो जाता है कि अर्बिट्राज केवल एक क्षणिक विसंगति नहीं है, बल्कि वित्तीय बाजारों की गतिशीलता में एक मौलिक तत्व है, जो उनकी दक्षता और गणितीय सुसंगति को बढ़ावा देता है।