Théorème de Bayes et Probabilité Composée
Résumé
Dans ce cours, deux concepts fondamentaux en probabilité ont été abordés : la probabilité conditionnelle et la probabilité composée. La différence entre P(A|B) et P(B|A) a été soulignée. Le théorème de la probabilité composée stipule que la probabilité d’un événement A peut être exprimée comme la somme des probabilités conditionnelles P(A|B_i) multipliées par les probabilités des événements B_i. Par la suite, le théorème de Bayes a été présenté, permettant de calculer la probabilité conditionnelle P(B_k|A) en utilisant la probabilité conditionnelle P(A|B_k), la probabilité P(B_k) et la somme des probabilités conditionnelles P(A|B_i) multipliées par les probabilités des événements B_i. Ces concepts sont essentiels pour comprendre et appliquer la probabilité conditionnelle dans divers contextes, et le théorème de Bayes fournit un outil puissant pour mettre à jour les probabilités à partir de nouvelles informations.
OBJECTIFS D’APPRENTISSAGE:
À la fin de ce cours, l’étudiant sera capable de:
- Comprendre le concept de probabilité conditionnelle et différencier entre P(A|B) et P(B|A).
- Calculer la probabilité d’un événement en utilisant des probabilités composées.
- Démontrer la règle de Bayes.
TABLE DES MATIÈRES
Probabilité Composée et Probabilité Conditionnelle
Le Théorème de Bayes
Dans le cours précédent, nous avons examiné le concept de probabilité conditionnelle et avons également clarifié qu’il ne faut jamais confondre une probabilité conditionnelle de la forme P(A|B) avec P(B|A). Bien que dans le langage courant, la conditionnalité puisse prêter à confusion, mathématiquement, ce sont deux choses très différentes qui, cependant, sont liées. Cette relation est décrite par le théorème de Bayes, qui est basé sur la notion de probabilité composée.
Probabilité Composée et Probabilité Conditionnelle
THÉORÈME: Si A est un événement et B_1, B_2, \cdots, B_n forment un ensemble d’événements disjoints tels que \displaystyle \bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega, alors il est vrai que:
\boxed{P(A) = \displaystyle \sum_{i=1}^n P(A|B_i) P(B_i)}
Cette façon d’écrire la probabilité de A est ce que nous appelons Probabilité Composée de A.
DÉMONSTRATION:
| (1) | A est un événement | ; Prémisse |
| (2) | \displaystyle \bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega | ; Prémisse |
| (3) | B_1, \cdots, B_n sont tous disjoints entre eux | ; Prémisse |
| (4) | (A\cap B_i)\cap(A\cap B_j) = \varnothing, avec i\neq j et i,j\in \{1,2,3,\cdots n\} | ; De (1,2,3) |
| (5) | \displaystyle \bigcup_{i=1}^n \left(A \cap B_i \right) = A | ; De (1,2,3) |
| (6) | \displaystyle P(A) = P\left( \bigcup_{i=1}^n \left(A \cap B_i \right) \right) = \sum_{i=1}^n P\left( A \cap B_i \right) | ; De (4,5) |
| (7) | P(A|B_i) = \dfrac{P(A\cap B_i)}{P(B_i)} | ; Définition de Probabilité Conditionnelle |
| P(A\cap B_i) = P(A|B_i) P(B_i) | ||
| (8) | \boxed{\displaystyle P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i) P(B_i)} | ; De (6,7) |
Le Théorème de Bayes
Dans le même contexte que le théorème précédent, le théorème suivant s’applique:
THÉORÈME:
P(B_k|A) = \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{\displaystyle\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)} = \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(A)}
DÉMONSTRATION: Si A est un événement quelconque et B_1, B_2, \cdots, B_n est une collection d’événements disjoints tels que \displaystyle \bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega, selon le théorème précédent de la probabilité composée, nous avons:
P(A) = \displaystyle \sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)
Maintenant, en utilisant le fait que P(X\cap Y) = P(X|Y)P(Y), nous avons que si nous remplaçons Y=A et X=B_k, nous arriverons à
P(A) = \dfrac{P(B_k \cap A)}{P(B_k|A)}
D’autre part, nous avons que
P(A|B_k) = \dfrac{P(A\cap B_k)}{P(B_k)}
D’où il suit que
P(B_k \cap A) = P(A|B_k)P(B_k)
Maintenant, si nous remplaçons la partie verte dans la partie bleue, nous aurons
P(A) = \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(B_k|A)}
Ce qui est équivalent à dire
\boxed{P(B_k|A) = \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(A)}= \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{\displaystyle \sum_{i=1}^n P(A|B_i) P(B_i)} }
C’est ce que nous voulions démontrer.