Introduction

Nous avons déjà étudié comment fonctionne la réfraction ; c’est-à-dire ce qui se passe lorsque la lumière passe d’un milieu à un autre. Cependant, nous avons fait cela dans le cas où l’interface qui sépare les milieux est une surface plane. Toutefois, aussi bien dans la nature que dans les applications pratiques, il n’est pas rare de trouver des processus de réfraction sur des interfaces sphériques. Des exemples de cela incluent l’œil humain (et de presque tous les animaux en réalité) ainsi que la plupart des dispositifs optiques utilisés dans la vie quotidienne et dans les applications industrielles.

Dans l’illustration suivante, nous voyons comment une lentille est construite à travers deux surfaces sphériques.

Pour l’étude détaillée de ce type de dispositifs, il est nécessaire de revoir comment la lumière se comporte lorsqu’elle passe d’un milieu à un autre à travers une interface sphérique.

La relation objet-image pour la réfraction sur les interfaces sphériques

Nous commencerons notre étude en enquêtant sur la manière dont la lumière se comporte lorsqu’elle passe d’un milieu à un autre à travers une interface sphérique. Pour ce faire, nous considérerons une sphère de rayon R faite d’un matériau avec un indice de réfraction n_b immergée dans un milieu avec un indice de réfraction n_a.

Extraction des relations entre les angles

Si nous analysons les angles impliqués dans cette figure, nous constaterons que :

\begin{array}{rll} {(1)}& \theta_a & =\alpha + \phi \\ \\ {(2)}& \phi & =\beta + \theta_b \end{array}

Démonstration

La première équation est obtenue à partir du fait que la somme des angles intérieurs d’un triangle est égale à deux angles droits :

\begin{array}{rl} & \alpha + \phi + (\pi - \theta_a) = \pi\\ \\ \equiv & \alpha + \phi - \theta_a = 0 \\ \\ \equiv & \color{blue}{\theta_a = \alpha + \phi} \end{array}

La deuxième équation est obtenue de manière analogue :

\begin{array}{rl} & \beta + \theta_b + (\pi - \phi) = \pi\\ \\ \equiv & \beta + \theta_b - \phi = 0\\ \\ \equiv & \color{blue}{\phi = \beta + \theta_b } \end{array}

Introduction de la loi de Snell

À partir de la figure, on peut également obtenir les expressions suivantes :

\begin{array}{rll} {(3)}&\tan(\alpha) &=\displaystyle \frac{h}{s+\delta}\\ \\ {(4)}&\tan(\beta) &=\displaystyle \frac{h}{s^\prime - \delta}\\ \\ {(5)}&\tan(\phi) &=\displaystyle \frac{h}{R - \delta} \end{array}

Et à partir de la loi de Snell, nous avons

\begin{array}{rl} {(6)} & n_a\sin(\theta_a) = n_b \sin(\theta_b)\end{array}

Maintenant, si nous prenons l’approximation dans laquelle \theta_a et \theta_b sont petits, alors \alpha, \beta et \phi le seront également, et il se produira :

À partir de la figure, on peut également obtenir les expressions suivantes :

\begin{array}{rl} \sin(\theta_a) &\approx \theta_a \\ \\ \sin(\theta_b) &\approx \theta_b \\ \\ \delta &\approx 0 \\ \\ \tan(\alpha) &\approx \alpha \\ \\ \tan(\beta) &\approx \beta \\ \\ \tan(\phi) &\approx \phi \end{array}

Ensuite, à partir de cela et de la loi de Snell, on a :

\begin{array}{rl} {(7)} & n_a \theta_a \approx n_b \theta_b \\ \\ \equiv & \theta_b \approx \displaystyle \frac{n_a}{n_b} \theta_a \end{array}

Maintenant, à partir de (7), (1) et (2), nous avons

\begin{array}{rl} {(8)} & \phi - \beta \approx \displaystyle \frac{n_a}{n_b}(\alpha + \phi) \\ \\ \equiv & \phi \approx \beta + \displaystyle \frac{n_a}{n_b}(\alpha + \phi) \\ \\ {}\equiv & n_b\phi \approx n_b\beta + n_a \alpha + n_a\phi \\ \\ \equiv & \color{blue}{n_a \alpha + n_b\beta \approx (n_b - n_a) \phi } \end{array}

Enfin, à partir de (8), des approximations et des équations (3), (4) et (5), nous obtenons :

\begin{array}{rl} {(9)} & \displaystyle n_a \left( \frac{\color{red}{h}}{S + \underbrace{\delta}_{\to 0}} \right) + n_b \left(\frac{\color{red}{h}}{S^\prime - \underbrace{\delta}_{\to 0} } \right) \approx (n_b - n_a) \left(\frac{\color{red}{h}}{R-\underbrace{\delta}_{\to 0}}\right) \\ \\ \equiv & \displaystyle \color{blue}{\frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime } \approx \frac{n_b - n_a}{R} } \end{array}

Ce dernier résultat est ce que nous appelons Relation objet-image pour la réfraction sur les interfaces sphériques.

Formation d’images étendues par réfraction de l’autre côté des interfaces sphériques

Voyons maintenant ce qui se passe lorsque nous changeons la source lumineuse ponctuelle par un objet étendu. Cela est illustré dans la figure suivante :

L’analyse précédente nous indique déjà la relation entre S et S^\prime, maintenant nous devons seulement trouver la relation entre les tailles de l’objet et de l’image.

À partir de la figure, nous avons :

\begin{array}{rl} \tan(\theta_a) & =\displaystyle \frac{y}{S} \\ \\ \tan(\theta_b) & =\displaystyle - \frac{y^\prime}{S^\prime} \end{array}

Nous allons combiner cela avec la loi de Snell

n_a\sin(\theta_a) = n_b\sin(\theta_b).

Et pour cela, nous nous baserons sur le fait que pour de petits angles, l’approximation suivante est valable :

\begin{array}{rl} \sin(\theta_a) & \approx \tan(\theta_a) \\ \\ \sin(\theta_b) & \approx \tan(\theta_b) \end{array}

De sorte que nous pouvons écrire :

\begin{array}{rl} &\displaystyle n_a \frac{y}{S} \approx- n_b \dfrac{y^\prime}{S^\prime} \\ \\ \equiv & \displaystyle \dfrac{y^\prime}{y} \approx - \dfrac{n_a S^\prime}{n_b S} \\ \\ \end{array}

Maintenant, en nous rappelant ce que nous avons vu pour les miroirs sphériques, nous avons quelque chose d’analogue. À ce stade, nous pouvons (re)définir le facteur de grossissement m de la manière suivante :

m=\displaystyle \frac{y^\prime}{y}

de sorte que :

\displaystyle \color{blue}{m\approx -\frac{n_a S^\prime}{n_b S}}

Synthèse

En résumé, jusqu’à présent, nous avons extrait deux résultats qui nous permettent de déduire la formation d’images lorsque la lumière émise par un objet traverse une interface sphérique. Ces équations sont les suivantes :

\begin{array}{rl} \displaystyle \dfrac{n_a}{S} + \dfrac{n_b}{S^\prime} & \approx \dfrac{n_b - n_a}{R} \\ \\ m & \displaystyle \approx - \dfrac{n_a S^\prime}{n_b S} \end{array}

Avec ces deux équations, vous pouvez calculer à la fois la position de l’image ainsi que son orientation et sa taille, et elles fonctionneront indépendamment de la surface de l’interface, qu’elle soit concave ou convexe. À ce stade, cependant, il est nécessaire de clarifier la convention des signes.

Convention des signes

Avec ces deux équations, vous pouvez calculer à la fois la position de l’image ainsi que son orientation et sa taille, et elles fonctionneront indépendamment de la surface de l’interface, qu’elle soit concave ou convexe. À ce stade, cependant, il est nécessaire de clarifier la convention des signes.

L’interface sépare l’espace en deux régions : l’une où se trouve l’objet et l’autre où se trouve l’image. En fonction de cela, nous avons :

• Position de l’objet S : Positive si elle se trouve du côté de l’objet, négative si elle se trouve du côté de l’image.
• Position de l’image S^\prime et le rayon de courbure R : Positive si elle se trouve du côté de l’image, négative si elle se trouve du côté de l’objet.
• Taille de l’objet et de l’image, y et y^\prime : Positive si elle est au-dessus de l’axe optique, négative si elle est en dessous de l’axe optique.

Les interfaces planes comme cas limite des sphériques

Tout ce que nous avons développé pour les interfaces sphériques est également utile pour mieux comprendre les interfaces planes. En fait, nous pouvons comprendre une interface plane comme un morceau d’interface sphérique avec un rayon de courbure très grand ; en fait, si nous prenons les limites sur la relation objet-image pour les interfaces sphériques lorsque le rayon tend à l’infini, nous avons :

\displaystyle \frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime} = \lim_{R\to \infty} \frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime } \approx \lim_{R\to \infty} \frac{n_b - n_a}{R} = 0

Et si nous calculons le facteur de grossissement à partir de cela, nous obtenons :

m=1

Autrement dit, l’image conserve sa taille et son orientation, ce qui change, c’est sa position observée.

Exercices

1. Devant une tige en verre cylindrique, une particule est placée comme indiqué ci-dessousSi la particule se trouve à 30[cm] de la tige et que son extrémité est approximativement sphérique avec un rayon de R=1,5[cm], calculez la position de l’image générée à l’intérieur de la tige.
2. Considérons la même tige de l’exercice précédent, mais maintenant elle est sous l’eau. Si une aiguille de 1[cm] de hauteur est placée à la même distance de 30[cm], devant elle, calculez la position et la hauteur de l’image.
3. Une personne regarde vers le fond d’une piscine dans le but d’estimer sa profondeur. Comme guide, elle utilise une flèche peinte au fond. Quelle est la relation entre la profondeur réelle et apparente?