Objectifs d’apprentissage :

1. Comprendre ce qu’est la logique mathématique et ses principales applications.
2. Comprendre la différence entre la logique et une théorie de la vérité.
3. Comprendre pourquoi une langue formelle est utilisée en logique et comment cela permet de représenter et d’analyser les arguments et raisonnements de manière précise et rigoureuse.
4. Comprendre la différence entre les langues naturelles et les langues formelles.

Qu’est-ce que la logique mathématique ?

La logique mathématique est une branche de la logique qui s’occupe de l’étude des principes fondamentaux du raisonnement mathématique et de l’argumentation. Elle est utilisée pour analyser et évaluer la validité des raisonnements et pour développer des méthodes formelles utiles à la démonstration des théorèmes mathématiques. La logique mathématique a également des applications dans d’autres domaines, tels que l’informatique et la philosophie des sciences, et elle est utilisée comme base pour le développement de systèmes de langage formels et de déductions automatiques.

La logique n’est pas une théorie de la vérité

Il est important de toujours rappeler que la logique n’est pas une théorie de la vérité ; en ce sens qu’elle ne traite pas de la discussion permettant de définir ce qu’est la vérité ou la fausseté. Au lieu de cela, en supposant a priori que certaines expressions ont des valeurs de vérité, elle étudie comment elles sont liées entre elles ou comment certaines peuvent être déduites d’autres.

La logique exige un langage adéquat

Avant de faire de la logique, il est nécessaire de posséder un langage adéquat pour l’exécuter. Ce langage, que nous appelons « langage formel », possède les caractéristiques nécessaires pour effectuer des inférences valides ; c’est-à-dire un mécanisme qui permet de trouver ou de produire des expressions vraies à partir de la vérité d’autres expressions antérieures.

Pourquoi la logique a-t-elle besoin d’un langage formel ?

La logique a besoin d’un langage formel parce que c’est une langue spécialement conçue pour exprimer les arguments et les raisonnements de manière claire et précise. En utilisant un langage formel, il est possible de représenter de manière rigoureuse et exacte le contenu des arguments et des raisonnements, ce qui permet d’analyser et d’évaluer leur validité et leur cohérence.

Le langage formel est une langue qui repose sur des règles et conventions strictes et systématiques pour la représentation des concepts et des relations entre eux. En utilisant un langage formel, il est possible de représenter les concepts et arguments logiques de manière plus précise et rigoureuse, ce qui permet d’éviter les ambiguïtés et les erreurs de raisonnement. L’une des raisons de la création de ce type de langues est d’éviter les imprécisions et les paradoxes qui émergent du langage courant : on sacrifie la flexibilité et la richesse expressive du langage courant au profit de la précision du langage formel.

Langues naturelles et langues formelles

Les langues naturelles sont celles que les êtres humains utilisent pour communiquer oralement ou par écrit. Quelques exemples de langues naturelles sont l’espagnol, l’anglais, le français, le chinois, l’arabe, parmi beaucoup d’autres.

Les langues naturelles sont des systèmes de communication complexes qui reposent sur un ensemble de règles et de conventions permettant d’exprimer des idées, des pensées et des sentiments de manière claire et précise. Ces langues sont constituées d’un ensemble de symboles (comme les lettres, les mots et les phrases) utilisés pour transmettre des significations et communiquer des informations.

À la différence des langues formelles, qui sont spécialement conçues pour exprimer des arguments et des raisonnements de manière claire et précise, les langues naturelles sont plus flexibles et adaptables et sont utilisées pour communiquer dans diverses situations et contextes.

En logique mathématique, l’utilisation des langues formelles est préférée aux langues naturelles principalement parce que la flexibilité et la richesse qui caractérisent les langues naturelles, bien qu’elles soient leur plus grande force dans le domaine de l’expression, sont aussi leur plus grande faiblesse du point de vue de la précision : leur niveau de richesse expressive et leur manque de rigueur donnent naissance à de nombreux paradoxes qu’il convient d’éviter en logique. C’est pourquoi toute la puissance expressive des langues naturelles est sacrifiée au profit de la précision d’une langue formelle.

Paradoxes du langage

Les paradoxes du langage sont des problèmes logiques qui surgissent dans le langage et qui sont difficiles à résoudre en raison de leur contradiction interne. Ces paradoxes sont souvent des affirmations qui, si elles sont acceptées comme vraies, conduisent à des conclusions contradictoires ou absurdes.

Les langues naturelles que nous utilisons habituellement sont un puissant outil qui nous permet de communiquer des idées, des pensées et des émotions, mais elles peuvent aussi être trompeuses et difficiles à interpréter en raison de l’ambiguïté de certains mots et phrases. Par exemple, certains mots ont plusieurs significations différentes, et il est parfois difficile de déterminer à quel sens se réfère le locuteur. De plus, certaines phrases peuvent avoir des interprétations contradictoires en fonction du contexte dans lequel elles sont utilisées.

Éviter les paradoxes du langage grâce aux langues formelles

L’un des avantages des langues formelles par rapport aux langues naturelles est qu’elles évitent les paradoxes du langage grâce à leur précision et à l’absence d’ambiguïté. En utilisant une langue formelle, il est possible de spécifier les règles et conventions qui doivent être suivies pour éviter les interprétations erronées ou les contradictions. Par exemple, en logique mathématique, on utilise une langue formelle appelée « langue de la logique propositionnelle » pour représenter et exprimer des propositions et des raisonnements basés sur des propositions de manière claire et précise. Cette langue spécifie les règles et conventions qui doivent être suivies pour éviter certains paradoxes du langage, et elle est utilisée pour effectuer des tests et des démonstrations logiques de manière rigoureuse et systématique.

Outre la langue de la logique propositionnelle, il existe d’autres langues conçues pour des situations plus complexes et qui poursuivent le même objectif, comme les langues de la logique des prédicats du premier et du second ordre.

5 exemples de paradoxes du langage

1. Le paradoxe du non-mensonge : Il apparaît lorsque l’on dit que « tout ce qui est dit est un mensonge ». Si tout ce qui est dit est un mensonge, alors l’affirmation selon laquelle « tout ce qui est dit est un mensonge » est aussi un mensonge, donc elle est fausse. Si l’affirmation selon laquelle « tout ce qui est dit est un mensonge » n’est pas un mensonge, alors quelque chose qui est dit est vrai, donc l’affirmation est fausse. En conséquence, si c’est vrai, c’est faux, et vice versa.
2. Le paradoxe du menteur : Il découle de l’affirmation « je mens », qui présente une contradiction logique si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, alors la personne ment, donc l’affirmation est fausse. Si elle est fausse, alors la personne ne ment pas, donc l’affirmation est vraie. Finalement, comme le paradoxe précédent, si c’est vrai, c’est faux, et vice versa.
3. Le paradoxe des propriétés auto-référentielles : Les paradoxes auto-référentiels surviennent à partir d’expressions qui se réfèrent à elles-mêmes, entraînant une contradiction, par exemple, lorsqu’il est dit « le plus petit nombre qui ne peut être écrit avec moins de vingt mots ». C’est en soi un paradoxe, car l’expression elle-même contient moins de vingt mots.
4. Le paradoxe du barbier : Il se présente comme suit : « Dans un village, il y a un barbier qui rase tous les hommes du village qui ne se rasent pas eux-mêmes. Le barbier se rase-t-il lui-même ? » À première vue, cette affirmation semble ne poser aucun problème, mais qu’en est-il du barbier lui-même ? Il est clair que le barbier est un homme (sinon on ne parlerait pas de « barbier »), et s’il peut se raser lui-même, alors il ne peut pas se raser lui-même ; d’un autre côté, s’il ne peut pas se raser lui-même, alors il peut se raser lui-même, et ainsi de suite.
5. Le paradoxe de l’existence de l’ensemble vide : Il est basé sur l’affirmation que l’ensemble vide (ou ensemble qui ne contient pas d’éléments) existe, mais en même temps aucun des éléments qui le composent n’existe (parce qu’il n’en a pas). Par conséquent, nous avons un objet qui existe et qui est composé d’objets inexistants.

La logique mathématique ou symbolique

La logique mathématique, également connue sous le nom de logique symbolique, est une branche de la logique qui s’occupe de l’utilisation de symboles et de notations mathématiques pour représenter et analyser des arguments et des expressions. Cette forme de logique repose sur l’idée que la pensée et le raisonnement sont des processus qui peuvent être modélisés, analysés et étudiés mathématiquement, et que les symboles et les notations mathématiques sont utiles pour représenter et manipuler ces processus de manière cohérente et précise.

L’étude de la logique mathématique commence par l’examen de la langue qui sera utilisée pour représenter ses éléments, c’est ainsi que nous distinguons les plus courants : la logique propositionnelle et les logiques des prédicats du premier et du second ordre. Dans chacune de ces branches, les techniques de raisonnement mathématique sont développées, ce qui permet la démonstration rigoureuse d’une multitude de résultats et de théorèmes mathématiques.

L’étude de la logique symbolique fait partie de l’un des piliers fondamentaux des mathématiques.

Les 4 piliers fondamentaux des mathématiques

La logique mathématique est une partie importante des fondements des mathématiques. Ces fondements sont composés des quatre piliers suivants :

1. La théorie de la démonstration : Elle se concentre sur l’étude de la manière dont les arguments mathématiques et scientifiques peuvent être présentés et évalués. Cette théorie repose sur l’idée que les démonstrations doivent être rigoureuses, logiques et basées sur des principes formels. La théorie de la démonstration inclut la recherche sur différents types de démonstrations, comme les démonstrations par induction et déduction, et sur la manière dont ces types de démonstrations peuvent être utilisés pour résoudre des problèmes mathématiques et scientifiques. C’est exactement ce que nous faisons en étudiant la logique mathématique.
2. La théorie des ensembles : C’est une branche des mathématiques qui s’occupe de l’étude des ensembles, qui sont des collections d’éléments ou d’objets. Cette théorie inclut la recherche sur la manière dont les ensembles peuvent être définis et classifiés, et sur la manière dont des opérations peuvent être effectuées sur eux. La théorie des ensembles est une partie fondamentale des mathématiques modernes et a été utilisée pour développer et appliquer de nombreux concepts et principes fondamentaux des mathématiques.
3. La théorie de la computation : Ses parties fondamentales incluent :
   1. La théorie de la complexité : C’est une branche de l’informatique qui s’occupe de l’étude de la complexité des problèmes et des algorithmes. Cette théorie inclut la recherche sur la manière dont la complexité de différents problèmes et algorithmes peut être mesurée et comparée, et sur la manière dont des algorithmes plus efficaces peuvent être développés et utilisés pour résoudre ces problèmes.
   2. La théorie de la calculabilité : C’est la partie de l’informatique qui s’occupe de l’étude des problèmes et fonctions qui peuvent être résolus ou évalués par un ordinateur et de ceux qui ne peuvent pas l’être. Cette théorie inclut la recherche sur la manière dont les problèmes et fonctions calculables peuvent être définis et classifiés, et sur la manière dont ils peuvent être développés et utilisés.
4. La théorie des modèles : En logique et en mathématiques, elle est l’étude des relations entre les théories formelles (des énoncés écrits dans une langue formelle, utilisés pour établir des affirmations sur une structure mathématique donnée) et leurs modèles (qui existent sous ces structures). Ces structures mathématiques peuvent être des groupes, des corps, des graphes, etc. La théorie des modèles permet d’attribuer une interprétation sémantique aux expressions purement formelles et permet également d’étudier les problèmes de complétude, de cohérence et d’indépendance entre les affirmations.

Il est extrêmement difficile d’étudier chacun de ces piliers en profondeur sans toucher à certains aspects des autres. Les études de ces piliers sont généralement interconnectées. Lorsque nous nous demandons ce qu’est la logique mathématique, il est normal de répondre à cette question par une combinaison d’études qui se déplacent entre ces quatre piliers.