Introduction

L’un des éléments les plus caractéristiques du calcul est l’infini et la limite à l’infini. Le concept d’infini ne désigne pas un nombre réel, mais plutôt une grandeur qui dépasse toute borne réelle. Par exemple, pour la fonction f(x) = 1/x, si l’on se demande quel est son comportement lorsque x devient aussi grand que possible, c’est-à-dire lorsque x tend vers l’infini (x\to \infty), on observe que f(x) peut se rapprocher de zéro aussi près que l’on veut. Dans ce cas, nous écrivons :

\displaystyle \lim_{x\to + \infty}\dfrac{1}{x} = 0

Graphiquement, cela ressemble à ceci :

Définition de la limite à l’infini

À partir de cette idée que nous venons d’introduire, nous pouvons formuler la définition mathématique de la limite à l’infini :

\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x) = L := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})(M\lt x \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon )

\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = L := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists N\in\mathbb{R})(x\lt N \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon )

L’idée intuitive de cette limite nous indique ce qui se passe avec f(x) lorsque x s’éloigne autant que l’on veut de l’origine, soit vers la droite, soit vers la gauche. La stratégie pour le calcul des limites à l’infini n’est pas très différente de celle des limites finies, car son algèbre est pratiquement la même, à condition de prendre en compte les résultats suivants :

Limites de base à l’infini

À partir de ces définitions, nous pouvons démontrer les limites de base suivantes :

1. \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}k = k
2. \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}\dfrac{1}{x} = 0

Démonstration :

1. Selon la définition de la limite à l’infini, \displaystyle \lim_{x\to +\infty}k = k est équivalent à : (\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})\left(M\lt x \rightarrow \left|k-k\right|\lt \epsilon \right). Comme \left|k-k\right|=0\lt \epsilon est toujours vrai pour tout \epsilon \gt 0 et pour toute valeur de M, la limite est vérifiée.

    

2. D’après la définition \displaystyle \lim_{x\to +\infty}k = k , cela signifie : (\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})\left(M\lt x \rightarrow \left|\dfrac{1}{x}\right|\lt \epsilon \right). Cette implication est satisfaite immédiatement si nous prenons M=1/\epsilon, de sorte que la limite est vérifiée.

    

Ces démonstrations sont également applicables lorsque x\to+\infty.

Algèbre des limites à l’infini

L’algèbre des limites à l’infini est analogue à celle des limites finies. Si \displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}f(x) = L et \displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}g(x) = M, alors les règles suivantes s’appliquent :

1. Somme et soustraction des limites : \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}(f(x)\pm g(x)) = L \pm M
2. Multiplication par une constante : \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}cf(x) = cL
3. Produit des limites : \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)g(x) = LM
4. Division des limites : À condition que M\neq 0, alors \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)/g(x)=L/M
5. Puissances des limites : Si p,q \in\mathbb{Z} et q\neq 0, alors \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}[f(x)]^{p/q} = L^{p/q}. Si q est pair, on suppose que L\geq 0.

En réalité, la démonstration de toutes ces propriétés est analogue à celle des limites finies.

Limite à l’infini dans les fonctions rationnelles

Une fonction rationnelle est celle qui peut être exprimée comme le quotient de deux polynômes. Lors du calcul des limites à l’infini de ce type de fonctions, on peut observer une propriété très utile :

Supposons que nous voulons calculer \displaystyle \lim_{x\to \infty}P(x)/Q(x) :

• Si le degré de P(x) est supérieur à celui de Q(x), alors la fonction f(x) croîtra sans limite lorsque x\to\infty (la limite n’existera pas).
• Si le degré de P(x) est inférieur à celui de Q(x), alors la limite sera zéro.
• Enfin, si le degré de P(x) est égal à celui de Q(x), alors la limite sera égale au rapport des coefficients des termes de plus haut degré.

La meilleure chose à propos de ce résultat est que, comme nous le verrons dans les exemples suivants, il fonctionne de manière analogue, même si les puissances impliquées ne sont pas des entiers.

Exemples de limites à l’infini

1. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x+1}{x^2+3} [SOLUTION]
2. \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x^3 + 7}{x^3 - x^2 + x + 7} [SOLUTION]
3. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{9x^4 + x}{2x^4 + 5x^2 - x + 6} [SOLUTION]
4. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{10x^5 + x4 + 31}{x^4 - 7x^3 + 7x^2 + 9} [SOLUTION]
5. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{2\sqrt{x}+x^{-1}}{3x - 7} [SOLUTION]
6. \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x^{5/3} - x^{1/3} + 7}{x^{8/5}+3x + \sqrt{x}} [SOLUTION]
7. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt[3]{x}-5x+3}{2x + x^{2/3} - 4} [SOLUTION]
8. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^{8/3}+2x + \sqrt{x}}{x^2+x-3} [SOLUTION]