L’Équation des Gaz Parfaits

Résumé :
Ce cours présente l’équation des gaz parfaits, dérivée des lois de Boyle-Mariotte, Charles et Gay-Lussac, et fondée sur la théorie cinétique des gaz, avec des hypothèses telles que l’absence d’interactions entre les particules et des collisions parfaitement élastiques. Il aborde également les limites de cette équation dans des conditions extrêmes, comme les gaz relativistes ou quantiques, tout en soulignant son importance en thermodynamique et ses applications dans divers systèmes physiques.

Objectifs d’apprentissage :
À la fin de ce cours, l’étudiant sera capable de :

1. Comprendre l’équation des gaz parfaits et sa formulation à partir des lois de Boyle-Mariotte, Charles et Gay-Lussac.
2. Identifier les relations fondamentales entre pression, volume et température dans les gaz parfaits.

TABLE DES MATIÈRES :
Formulation empirique du Gaz Parfait
Commentaires sur la Loi des Gaz Parfaits
Limites du Modèle des Gaz Parfaits

Formulation empirique du Gaz Parfait

Les expériences sur les gaz montrent une relation entre la pression P d’un gaz contenu dans un volume V et sa température T. Par exemple, si la température reste constante, on observe que :

P \propto \dfrac{1}{V}

Ce résultat est connu comme la Loi de Boyle-Mariotte. D’autre part, si nous travaillons à pression constante, il est vérifié que :

V \propto T

où T est la température mesurée en Kelvin. Cela s’appelle la Loi de Charles. De plus, si le volume est maintenu constant, on vérifie la relation :

P \propto T

Cette dernière est appelée la Loi de Gay-Lussac. Ces trois lois peuvent être combinées en une seule expression, obtenant :

PV \propto T

Si nous considérons un gaz composé de N particules, l’équation résultante est :

\boxed{PV = Nk_B T}

où k_B = 1.3807 \cdot 10^{-23} \, [J \cdot K^{-1}] est la Constante de Boltzmann. Cette formule est liée à la célèbre équation PV = nRT, mémorisée comme « Pierre Victor n’a jamais raté la Thermodynamique », où R = 8.314472 \, [J/(mol \cdot K)] est la constante universelle des gaz parfaits, et n représente le nombre de moles.

Commentaires sur la Loi des Gaz Parfaits

Bien que cette loi ait été initialement présentée comme empirique, elle peut également être dérivée à partir des principes fondamentaux grâce à la théorie cinétique des gaz. Dans cette théorie, le gaz est modélisé comme un ensemble de petites particules qui entrent en collision les unes avec les autres et avec les parois du récipient. Le terme « parfait » découle des hypothèses suivantes :

1. Il n’existe pas de forces d’attraction ou de répulsion à distance entre les particules (comme les forces électromagnétiques).
2. Les particules sont supposées ponctuelles, de taille négligeable et de forme sphérique.
3. Les collisions entre les particules et entre celles-ci et les parois du récipient sont parfaitement élastiques.

Ces idéalisations ne sont pas strictement respectées dans la réalité, mais elles simplifient les calculs et produisent des résultats utiles pour décrire le comportement des gaz dans une large gamme de conditions.

De plus, l’équation des gaz parfaits constitue la base de l’étude de la thermodynamique classique. Son importance s’étend de l’astrophysique à la physique atmosphérique, en passant par l’analyse des moteurs, dont l’étude a favorisé le développement de la thermodynamique. Ainsi, l’équation des gaz parfaits est fondamentale et mérite d’être retenue.

Il est important de noter que la thermodynamique s’applique également aux systèmes non gazeux, tels que les cordes, les bulles ou les aimants.

Limites du Modèle des Gaz Parfaits

Il est nécessaire de reconnaître que la Loi des Gaz Parfaits a des limites, car elle ne décrit pas adéquatement tous les gaz dans toutes les conditions. Par exemple, lorsque les particules du gaz sont relativistes (se déplacent à des vitesses proches de celle de la lumière) ou lorsque les effets quantiques deviennent pertinents, le modèle n’est plus valide. Il échoue également à très basses températures et hautes densités, où les particules commencent à interagir de manière significative, comme dans les liquides et les solides.

Dans ces situations, il est nécessaire d’utiliser des modèles plus avancés, tels que les modèles de gaz quantiques ou des équations d’état plus complexes.