Le Modèle Binomial à une Période et la Condition de Non-Arbitrage

Résumé :
Imaginez un casino où vous pouvez parier sur un jeu et, quel que soit le résultat, vous gagnez toujours de l’argent. Cela semble trop beau pour être vrai, n’est-ce pas ? Sur les marchés financiers, de telles opportunités apparaissent grâce à la possibilité d’arbitrage ; cependant, elles sont rapidement éliminées par l’action des acteurs du marché. Dans ce cours, nous explorons le modèle binomial à une période et la condition de non-arbitrage, en analysant comment les prix des actifs, les taux d’intérêt et les stratégies d’investissement éliminent la possibilité de gains sans risque. À travers des exemples détaillés et une démonstration mathématique rigoureuse, nous révélerons les principes fondamentaux qui sous-tendent la stabilité financière et pourquoi détecter une opportunité d’arbitrage n’est que le début d’une histoire bien plus complexe.

Objectifs d’Apprentissage
À la fin de ce cours, l’étudiant sera capable de :

1. Comprendre le modèle binomial à une période et son application dans l’évaluation des actifs financiers.
2. Identifier les éléments fondamentaux du modèle binomial à une période : actif sous-jacent, facteurs de hausse et de baisse, et actif sans risque.
3. Comprendre la construction et la fonction d’un portefeuille auto-financé dans le modèle binomial.
4. Comprendre la condition de non-arbitrage sur les marchés financiers et comment elle empêche la possibilité de gains sans risque grâce à des portefeuilles auto-financés.
5. Évaluer l’existence d’opportunités d’arbitrage sur un marché en analysant la condition de non-arbitrage.
6. Analyser comment l’arbitrage influence les prix des actifs et provoque des ajustements sur le marché.
7. Décrire l’effet du taux d’emprunt des actions sur la stratégie d’arbitrage et la condition de non-arbitrage.
8. Expliquer à l’aide de modèles mathématiques comment le marché se réajuste après l’apparition d’opportunités d’arbitrage.
9. Comprendre la démonstration formelle du théorème de la condition de non-arbitrage.

TABLE DES MATIÈRES
Qu’est-ce que le modèle binomial à une période ?
Comment reconnaître un marché avec des opportunités d’arbitrage et leur rapide disparition
Démonstration du Théorème de la Condition de Non-Arbitrage
Conclusion

Qu’est-ce que le modèle binomial à une période ?

Le modèle binomial à une période est un modèle mathématique utilisé en finance pour décrire l’évolution du prix d’un actif dans un cadre temporel discret. Il est appelé « binomial » car à chaque période de temps, le prix de l’actif ne peut évoluer que dans deux directions possibles : monter ou descendre. Ce modèle est largement utilisé pour l’évaluation des produits dérivés financiers, en particulier les options, et constitue la base du modèle binomial à plusieurs périodes.

Éléments du modèle

Le modèle binomial à une période repose sur les éléments fondamentaux suivants :

• Un actif sous-jacent : Représenté par son prix S(t) au temps t. Au moment initial t=0, le prix de l’actif est S(0). Au temps t=1, son prix peut évoluer vers l’une des deux valeurs possibles, notées S(1,\text{monte}) (prix s’il monte) ou S(1,\text{descend}) (prix s’il descend) :

  S(1) = \begin{cases} S(1,\text{monte}) = S(0) u, & \text{avec probabilité } p, \\ S(1,\text{descend}) = S(0) d, & \text{avec probabilité } 1 - p. \end{cases}

  Où les coefficients u et d représentent les facteurs d’augmentation et de diminution du prix, satisfaisant la relation :

  0\lt d \lt 1 \lt u.

  Cette relation garantit également que les prix futurs restent strictement positifs, conformément aux hypothèses fondamentales du modèle simple du marché.

• Probabilités : On suppose que la probabilité que l’actif monte est p et que la probabilité qu’il descende est 1 - p, avec 0 \lt p \lt 1. Cette contrainte garantit que les deux évolutions de l’actif sont possibles et empêche les situations déterministes où le prix monte ou descend systématiquement, ce qui invaliderait le modèle binomial et créerait des opportunités d’arbitrage.
• Un actif sans risque : Un bon ou un instrument financier est introduit, dont la valeur croît de manière prévisible avec un taux d’intérêt sans risque r. Son prix à la période suivante est donné par A(1) = A(0)(1+r).

Théorème : Condition de Non-Arbitrage dans un Modèle Binomial à une Période

Soit un actif dont le prix initial est S(0) \gt 0 et dont la valeur au temps t=1 suit la structure binomiale décrite précédemment. Supposons qu’il existe un actif sans risque (obligation) avec un prix A(1) = A(0)(1+r), où r est le taux sans risque. Alors, le marché est exempt d’arbitrage si et seulement si les facteurs de croissance et de décroissance satisfont la condition suivante :

0 \lt d \lt 1 + r \lt u

Dans un marché sans arbitrage, il est impossible de construire un portefeuille auto-financé qui génère des gains sans risque.

Qu’est-ce qu’un portefeuille auto-financé ?

Un portefeuille auto-financé est une stratégie d’investissement où aucun capital supplémentaire n’est requis, car tout achat d’actifs est financé par la vente d’autres actifs au sein du même portefeuille. En d’autres termes, aucun fonds externe n’est injecté pour sa mise en œuvre.

Si, sur un marché, il est possible de construire un portefeuille auto-financé qui garantit un gain dans tous les scénarios possibles, alors il existe une opportunité d’arbitrage. La condition de non-arbitrage implique qu’il est impossible de construire un tel portefeuille.

Mathématiquement, un portefeuille auto-financé est construit comme suit :

• Position sur l’actif risqué : On achète ou vend à découvert x unités de l’actif dont le prix initial est S(0).
• Position sur l’actif sans risque : On investit ou on emprunte un montant y dans une obligation avec un prix A(0) et un taux sans risque r.
• Condition d’auto-financement : L’équation suivante doit être satisfaite :

V(0) = x S(0) + y A(0) = 0.

• Évaluation à la période suivante : À t = 1, la valeur du portefeuille est :

V(1) = \begin{cases} x S(1,\text{monte}) + y A(1), & \text{si le prix monte}, \\ x S(1,\text{descend}) + y A(1), & \text{si le prix descend}. \end{cases}

Si une combinaison de x et y existe telle que V(1) \geq 0 dans les deux scénarios et V(1) \gt 0 dans au moins un cas, alors une opportunité d’arbitrage a été identifiée.

Comment reconnaître un marché sans opportunités d’arbitrage en utilisant le théorème ?

Supposons qu’un actif ait un prix initial de S(0) = 100 dollars et que, à la période suivante, son prix puisse évoluer comme suit :

S(1) = \begin{cases} S(1,\text{monte}) = S(0) u = 120, & \text{si le prix monte}, \\ S(1,\text{descend}) = S(0) d = 90, & \text{si le prix descend}. \end{cases}

Tandis qu’une obligation croît de A(0) = 100 à A(1) = 105, avec r = 5\%. À partir de ces données, nous allons vérifier s’il est possible d’obtenir un arbitrage simplement en examinant la condition de non-arbitrage :

0 \lt d \lt 1+r\lt u.

En utilisant les valeurs données :

0 \lt 0.9 \lt 1.05 \lt 1.2

Étant donné que cette inégalité est satisfaite, il est impossible de construire un portefeuille auto-financé garantissant des gains sûrs, ce qui assure la cohérence du modèle binomial.

Comment reconnaître un marché avec des opportunités d’arbitrage et leur rapide disparition

Considérons un actif dont le prix initial est S(0) = 100 dollars. À la période suivante, son prix peut évoluer comme suit :

S(1) = \begin{cases} S(1,\text{monte}) = S(0) u = 105.2, & \text{si le prix monte}, \\ S(1,\text{descend}) = S(0) d = 82, & \text{si le prix descend}. \end{cases}

Le prix de l’actif sans risque est A(0) = 100, et à la période suivante, il croît à A(1) = 107, avec un taux sans risque de r = 7\%.

Vérifions la condition de non-arbitrage :

0 \lt 0.82 \lt 1.07 \not\lt 1.052

Comme l’inégalité 1+r \lt u n’est pas satisfaite, il est donc possible de réaliser un arbitrage sur ce marché. Pour le démontrer, nous allons construire un portefeuille auto-financé selon le processus suivant :

• Vente à découvert d’une action : L’actif risqué est vendu à découvert à S(0) = 100, ce qui signifie que l’investisseur doit emprunter une action pour la vendre sur le marché.
• Investissement dans l’actif sans risque : Les 100 dollars obtenus sont investis dans des obligations.
• Rachat de l’action à la période suivante :
  • Si le prix baisse à 82, le gain net est 107 - 82 = 25.
  • Si le prix monte à 105.2, le gain net est 107 - 105.2 = 1.8.

Dans les deux cas, l’investisseur réalise des gains garantis, confirmant ainsi l’existence d’une opportunité d’arbitrage.

📌 Ajustements du Marché face à une Stratégie d’Arbitrage

Cependant, dans un marché efficient, ces opportunités ne persistent pas. À mesure que davantage d’investisseurs détectent cette inefficacité, ils commencent à exécuter des stratégies d’arbitrage via la vente à découvert, ce qui entraîne plusieurs effets majeurs :

• Augmentation de l’offre de l’actif risqué : La vente à découvert implique que de nombreux investisseurs empruntent et vendent des actions sur le marché, augmentant ainsi l’offre d’actions disponibles. Cette augmentation de l’offre génère une pression baissière sur le prix initial S(0).
• Ajustement des prix futurs de l’actif : Étant donné que S(1, \text{monte}) = S(0) u et S(1, \text{descend}) = S(0) d, la baisse de S(0) entraîne un réajustement des valeurs de u et d, impactant ainsi leur relation avec le taux sans risque 1 + r. Cela tend à rétablir la condition de non-arbitrage.
• Impact sur le prix de l’obligation : À mesure que les investisseurs utilisent les fonds obtenus grâce à la vente à découvert pour investir dans des obligations, la demande pour ces dernières augmente. Cela entraîne une hausse du prix actuel de l’obligation A(0). Comme la valeur future de l’obligation reste A(1) = 107, cela réduit la rentabilité effective de l’investissement dans les obligations, ajustant ainsi le rendement de l’actif sans risque.
• Coût de la vente à découvert : Les investisseurs qui empruntent des actions pour les vendre à découvert doivent payer un taux de prêt des actions r_s. Ce taux représente un coût supplémentaire qui peut réduire les gains nets de l’arbitrage.

📌 Comment le taux de prêt des actions affecte-t-il l’arbitrage ?

Si le taux de prêt des actions r_s est élevé, il peut réduire, voire éliminer, le gain net de l’arbitrage. L’équation corrigée pour la valeur finale de la stratégie d’arbitrage est :

V(1) = A(0)(1 + r - r_s) - S(1)

Où :

• r_s est le taux de prêt des actions.
• A(0)(1+r) représente l’investissement dans l’obligation.
• S(1) est le coût du rachat de l’action à la fin de la période.

En intégrant le taux r_s du prêt des actions, la condition de Non-Arbitrage s’ajuste de la manière suivante :

0 \lt d \lt 1 + r - r_s \lt u

Dans ce cas particulier, les valeurs de r_s qui satisfont cette relation sont :

0 \lt 0.82 \lt 1.07 - r_s \lt 1.052

Cela implique que :

• Si 0 \leq r_s \lt 0.018 : L’opportunité d’arbitrage persiste, car le gain reste positif dans les deux scénarios.
• Si 0.018 \leq r_s \leq 0.25 : L’arbitrage disparaît, car le coût du prêt des actions équilibre l’équation, éliminant ainsi les gains sûrs.
• Si r_s \gt 0.25 : Dans ce cas, aucun investisseur rationnel ne réaliserait l’opération, car le coût du prêt dépasse tout bénéfice possible. Comme la valeur future du portefeuille serait négative dans tous les scénarios, un portefeuille auto-financé dans ce contexte est mathématiquement impossible.

📌 Que se passe-t-il si les pertes épuisent le portefeuille ? Liquidation forcée et appel de marge

Si le taux de prêt des actions r_s est si élevé qu’il garantit des pertes sûres (r_s \gt 0.25), le courtier intervient automatiquement pour éviter que le compte de l’investisseur ne tombe en solde négatif. Cela entraîne une liquidation forcée, également connue sous le nom de margin call.

🔹 Processus de liquidation forcée :

1. L’obligation est vendue automatiquement :

   Le courtier liquide l’investissement dans les obligations A(0)(1 + r) afin d’obtenir des liquidités.

2. Rachat de l’action pour clôturer la position courte :

   Avec les liquidités disponibles, le courtier rachète l’action au prix du marché S(1) afin de la restituer au prêteur.

3. Règlement de la dette et clôture de la position :

   Si le solde disponible après la vente de l’obligation ne couvre pas le rachat de l’action, l’investisseur se retrouve avec un solde négatif, ce qui pourrait entraîner des conséquences légales ou nécessiter un dépôt de fonds supplémentaires.

4. Pertes consolidées :

   L’opération, qui était déjà perdante dès le début, se clôture avec une perte totale déterminée par :

   \text{Perte Finale} = S(1) - A(0)(1 + r - r_s)

   Si la perte finale est supérieure aux liquidités disponibles sur le compte de l’investisseur, ce dernier perd tout son capital et pourrait se retrouver endetté envers le courtier.

📌 Comment la condition de non-arbitrage est-elle rétablie ?

Lorsque le taux de prêt des actions r_s est suffisamment bas, l’opportunité d’arbitrage demeure, incitant les investisseurs à exécuter des ventes à découvert en grandes quantités afin d’obtenir un gain garanti.

Pour cette analyse, considérons que le taux de prêt des actions est r_s = 0.015.

La forte activité induite par ce faible taux d’intérêt entraîne un ajustement du marché qui, avec le temps, rétablit la condition de non-arbitrage. En particulier, les effets suivants sont observés :

• Baisse du prix initial de l’action S(0) : La forte demande pour effectuer des ventes à découvert augmente l’offre d’actions sur le marché, exerçant une pression baissière sur son prix initial. À mesure que S(0) diminue, les coefficients de croissance et de décroissance u et d s’ajustent proportionnellement, modifiant ainsi les prix futurs de l’actif et leur relation avec le taux sans risque.
• Augmentation de la valeur présente de l’obligation A(0) : Les investisseurs utilisent les fonds obtenus via la vente à découvert pour acheter des obligations, ce qui entraîne une augmentation de leur demande. Cela fait monter leur prix présent A(0), réduisant ainsi la rentabilité effective de l’investissement dans les obligations et affectant la perception du taux sans risque.

Ces effets combinés conduisent à un réajustement progressif des paramètres du marché. La baisse de S(0) et l’augmentation de A(0) modifient la structure des coefficients u et d, ainsi que la relation entre le taux sans risque r et le taux de prêt des actions r_s, jusqu’à ce que la condition de non-arbitrage soit rétablie :

0 \lt d \lt 1 + r - r_s \lt u

🔹 Modélisation du réajustement des prix

Le processus de réajustement peut être modélisé à l’aide des coefficients d’ajustement \alpha et \beta, qui représentent les facteurs de correction appliqués à la valeur présente des obligations et des actions, respectivement.

Ces coefficients modifient les valeurs actuelles des actifs, ajustant ainsi les facteurs u, d et r jusqu’à ce que la condition de non-arbitrage soit rétablie. Autrement dit, le prix initial de l’action s’ajuste de S(0) à \beta S(0), tandis que la valeur présente de l’obligation passe de A(0) à \alpha A(0).

En conséquence, les nouvelles valeurs de u et d sont définies en fonction de ces coefficients d’ajustement :

u' = \dfrac{S(1,\text{monte})}{\beta S(0)}, \quad d' = \dfrac{S(1,\text{descend})}{\beta S(0)}

De même, le nouveau taux sans risque r' s’ajuste en fonction de la nouvelle valeur présente de l’obligation :

r' + 1 = \dfrac{A(1)}{\alpha A(0)}

Cela conduit à une condition de non-arbitrage reformulée :

0 \lt \dfrac{S(1,\text{descend})}{\beta S(0)} \lt \dfrac{A(1)}{\alpha A(0)} - r_s \lt \dfrac{S(1,\text{monte})}{\beta S(0)}

En isolant les coefficients d’ajustement, nous obtenons :

\beta \gt \dfrac{A(0)S(1,\text{descend})\alpha}{S(0)(A(1) - r_s A(0)\alpha)}

\beta \lt \dfrac{A(0)S(1,\text{monte})\alpha}{S(0)(A(1) - r_s A(0)\alpha)}

Si nous appliquons les valeurs spécifiques du problème et considérons que le prix des actions diminue tandis que la valeur des obligations augmente, nous obtenons :

\begin{array}{rl} \beta &\gt \dfrac{ 82 \alpha}{107 - 1.5\alpha} \\ \\ \beta &\lt \dfrac{105.2 \alpha}{107 - 1.5\alpha } \\ \\ \beta &\lt 1 \\ \\ \alpha &\gt 1 \end{array}

La solution de ce système se visualise dans la région la plus sombre du graphique suivant :

Par conséquent, une combinaison possible de valeurs vers laquelle le marché pourrait converger pour éliminer l’opportunité d’arbitrage est, par exemple, \alpha=1.05 et \beta=0.95.

Ainsi, les coefficients corrigés sont :

\begin{array}{rl} u^\prime &= \dfrac{S(1,\text{monte})}{\beta S(0)} = \dfrac{105.2}{0.95\cdot 100} \approx 1.107 \\ \\ d^\prime &= \dfrac{S(1,\text{descend})}{\beta S(0)} = \dfrac{82}{0.95\cdot 100} \approx 0.863 \\ \\ r^\prime + 1 &= \dfrac{A(1)}{\alpha A(0)} = \dfrac{107}{1.05 \cdot 100} \approx 1.019 \end{array}

De cette manière, la condition de non-arbitrage est satisfaite :

0 \lt d^\prime \lt 1+r^\prime - r_s \lt u^\prime

En remplaçant les valeurs obtenues :

0 \lt 0.863 \lt 1.019 - 0.015 = 1.004 \lt 1.107

De plus, on peut calculer les valeurs corrigées des actifs au moment présent en raison de la pression exercée par les investisseurs cherchant à exploiter l’opportunité d’arbitrage :

\begin{array}{rl} A^\prime(0) &= \alpha A(0) = 1.05\cdot 100 = 105 \\ \\ S^\prime(0) &= \beta S(0) = 0.95\cdot 100 = 95 \end{array}

Démonstration du Théorème de la Condition de Non-Arbitrage

Jusqu’à présent, nous avons exploré le fonctionnement du théorème de la condition de non-arbitrage. Nous allons maintenant procéder à son développement démonstratif étape par étape. Pour ce faire, il est utile d’identifier les signaux indiquant la présence d’une opportunité d’arbitrage :

• Relation entre les rendements des actifs risqués et les obligations sans risque :

  Si le rendement de l’actif risqué dans son pire scénario dépasse le taux sans risque, il est alors possible de financer son achat en empruntant à ce taux, garantissant ainsi un gain sans risque même dans le pire des cas.

  De manière analogue, si le taux sans risque dépasse le rendement de l’actif risqué dans son meilleur scénario, un arbitrage peut être construit en vendant à découvert l’actif et en investissant dans des obligations, obtenant ainsi un gain sans risque.

• Relation entre le taux sans risque et le taux d’emprunt :

  En complément du point précédent, il est important de distinguer entre le taux d’un emprunt r_s et le taux sans risque r, en particulier lors de l’analyse des stratégies d’arbitrage ou de ventes à découvert. En général, la relation suivante est vérifiée :

  -1\leq r \leq r_s

  Si cette relation n’est pas satisfaite, un arbitrage peut être obtenu en empruntant au taux le plus bas r_s et en investissant dans des obligations avec le taux plus élevé r, assurant ainsi un gain sans risque. Si une telle opportunité existait, les investisseurs l’exploiteraient jusqu’à ce que le marché ajuste les taux, éliminant l’arbitrage. De plus, les prêteurs exigent généralement un taux plus élevé pour compenser le risque de défaut.

  Dans les modèles financiers simplifiés, on suppose souvent r_s = r, et dans la plupart des cas, on impose également r \geq 0 pour éviter les taux négatifs, bien que cela ne soit pas strictement nécessaire.

• Conditions d’existence d’un arbitrage dans un portefeuille :

  La valeur d’un portefeuille au temps présent t=0 est donnée par :

  V(0) = xS(0) + y A(0)

  où S(0) représente la valeur actuelle des actions et A(0) la valeur actuelle des obligations. Au temps futur t=1, la valeur du portefeuille dépendra de l’évolution de l’actif risqué :

  V(1) = \begin{cases} x S(0) u + y A(0) (1 + r), &\text{si le prix monte},\\ x S(0) d + y A(0) (1 + r), &\text{si le prix descend}. \end{cases}

  Une opportunité d’arbitrage existe si et seulement si il est possible de construire un portefeuille (x,y) qui satisfait les trois conditions suivantes :

  1. V(0)=0, c’est-à-dire que le portefeuille est auto-financé et ne nécessite aucun investissement initial.
  2. V(1)\geq 0 dans tous les états possibles du marché, garantissant qu’il n’y ait pas de pertes.
  3. V(1) \gt 0 dans au moins un des états possibles, assurant un gain strictement positif.

Pour développer cette démonstration, nous introduirons la convention de notation suivante :

\begin{array}{rcl} V(1,\omega) &=& xS(1,\omega) + yA(1). \end{array}

Où \omega peut être \text{monte} ou \text{descend}. De plus, il est nécessaire d’exprimer mathématiquement la condition qui est satisfaite lorsqu’il existe un portefeuille (x,y) exploitant une opportunité d’arbitrage. Cette condition est formulée de la manière suivante :

\begin{array}{l} V(0) = 0, \\ \forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0, \\ \exists \omega \quad V(1,\omega) > 0. \end{array}

Avec ces concepts clairs, nous pouvons maintenant établir de manière mathématique et rigoureuse l’expression qui définit une opportunité d’arbitrage :

\begin{array}{rl} \text{Arbitrage}:= & V(0) = 0 \wedge (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0) \wedge \cdots \\ & \cdots \wedge (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega \quad V(1,\omega) \gt 0) \\ \\ \text{Non-Arbitrage}:= & \neg \text{Arbitrage}\\ = & V(0) \neq 0 \vee \neg(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0) \vee \cdots \\ & \cdots \vee \neg(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega \quad V(1,\omega) \gt 0) \end{array}

Enfin, l’ensemble des prémisses \mathcal{H} sur lequel repose la démonstration est exprimé de la manière suivante :

\begin{array}{rcl} \mathcal{H} &=& \left\{ \right. V(0)=xS(0) + yA(0) = 0, \\ \\ & &V(t,\omega) = xS(t,\omega) + yA(t), A(0), S(0) \gt 0, \\ \\ & & S(1) = \begin{cases} S(1, \text{monte}) = S(0)u & \text{avec probabilité } p \\ S(1,\text{descend}) = S(0)d & \text{avec probabilité } 1-p \end{cases}, \\ \\ & & 0 \lt d \lt u , \left. A(1) = A(0)(1+r), r\geq -1 \right\} \end{array}

Ce cadre inclut non seulement les prémisses du théorème, mais aussi les conditions sous-jacentes du modèle binomial à une période.

Avec ces principes établis, nous procéderons maintenant à la démonstration mathématique de la relation qui doit être satisfaite dans un marché exempt d’arbitrage.

Preuve Formelle du Théorème :

\begin{array}{rll} (1) & \mathcal{H} \models V(0) =xS(0) + yA(0) = 0 & \text{; Présomption} \\ (2) & \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) + yA(1) & \text{; Présomption} \\ (3) & \mathcal{H} \models A(0) \gt 0 & \text{; Présomption} \\ (4) & \mathcal{H} \models S(0) \gt 0 & \text{; Présomption} \\ (5) & \mathcal{H} \models r \gt -1 & \text{; Présomption} \\ (6) & \mathcal{H} \models A(1) = (1+r) A(0) & \text{; Présomption} \\ (7) &\color{red}\mathcal{H} \models 0 \lt d \lt u \color{black}& \text{; Présomption} \\ \\ (8) & \mathcal{H} \models S(1) = \begin{cases}S(1,\text{monte})=S(0)u & \text{, avec probabilité } p \\ S(1,\text{descend}) = S(0)d & \text{, avec probabilité } 1-p\end{cases} & \text{; Présomption} \\ \\ (9) & \mathcal{H} \models y = \dfrac{-xS(0)}{A(0)} \wedge x\in\mathbb{R} & \text{; De(1)} \\ (10)& \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) - \dfrac{xS(0)}{A(0)} A(1) & \text{; De(2,9)} \\ (11)& \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) - x(1+r)S(0) & \text{; De(6,10)} \\ &\text{Ceci est la valeur future d’un portefeuille financé par un emprunt} &\\ &\text{avec un taux d’intérêt $r$ dans le but de financer une action.} &\\ (12)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models 0 \leq (1+r)S(0) \leq \underbrace{S(0) d}_{S(1,\text{descend})} \lt \underbrace{S(0) u}_{S(1,\text{monte})} & \text{; De(4,5,7,8)}\\ (13)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models x(1+r)S(0) \leq xS(1,\omega) \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; De(12)}\\ (14)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega\quad V(1,\omega) \geq 0) &\text{; De(2,9,13)}\\ (15)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models V(1,\omega) \gt 0 \leftrightarrow y \gt \dfrac{-xS(1,\omega)}{A(1)} = \dfrac{-xS(1,\omega)}{(1+r)A(0)} & \text{; De(2,3,6,7,8)}\\ (16)&\mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega\quad V(1,\omega)\gt 0) &\text{; De(14,15)}\\ (17)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models \text{Arbitrage} &\text{; De(1,14,16)}\\ (18)& \color{red}\mathcal{H}\cup\{\text{Non-Arbitrage}\} \models d \lt 1+r\color{black}& \text{; RTD,CPI,TD(17)}\\ \\ (19)& \mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models 0 \lt \underbrace{S(0)d}_{S(1,\text{descend})} \lt \underbrace{S(0)u}_{S(1,\text{monte})} \leq (1+r)S(0) & \text{; De(4,5,7,8)}\\ (20)& \mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models xS(1,\omega) \leq x(1+r)S(0) \leftrightarrow x\gt 0 &\text{; De(19)} \\ (21)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \tilde{V}(0) = - V(0) = 0 & \text{; De(1)}\\ (22)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models\tilde{V}(1,\omega)=-V(1,\omega) & \\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models\tilde{V}(1,\omega)}=-xS(1,\omega)+x(1+r)S(0) & \text{; De(11)}\\ &\text{Ceci est la valeur future d’un portefeuille financé} &\\ &\text{par une vente à découvert d’une action afin d’acheter une obligation} &\\ &\text{dont la valeur croît avec un taux d’intérêt $r$.} & \\ (23)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega\quad \tilde{V}(1,\omega) \geq 0) & \text{; De(2,9,20,22)}\\ (24)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \tilde{V}(1,\omega)\gt 0 \leftrightarrow y \lt \dfrac{-xS(1,\omega)}{A(1)} = \dfrac{-xS(1,\omega)}{(1+r)A(0)} &\text{; De(2,3,4,6,22)}\\ (25)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega\quad \tilde{V}(1,\omega)\gt 0) &\text{; De(23,24)}\\ (26)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \text{Arbitrage} &\text{; De(21,23,25)}\\ (27)&\color{red}\mathcal{H}\cup\{\text{Non-Arbitrage}\} \models 1+r \lt u\color{black}& \text{; RTD,CPI,TD(26)}\\ (28) &\mathcal{H}\cup\{\text{Non-Arbitrage}\} \models 0\lt d\lt1+r\lt u &\text{;\color{red}$\wedge$-Int(Mon(7),18,27)}\color{black} \\ (29)& \boxed{\mathcal{H} \models\text{Non-Arbitrage}\rightarrow 0\lt d\lt1+r\lt u} & \text{; TD(28)}\\ \\ (30)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models 0\lt d\lt 1+r \lt u & \text{; Présomption}\\ (31)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models xS(0)d\lt x(1+r)S(0) \lt xS(0)u \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; De(4,30)}\\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\}} \models xS(0)d\lt x(1+r)S(0)\dfrac{A(0)}{A(0)} \lt xS(0)u \leftrightarrow x\gt 0 & \\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\}} \models xS(0)d\lt -y(1+r)A(0) \lt xS(0)u \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; De(9)} \\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\}} \models xS(1,\text{descend})\lt -yA(1) \lt xS(1,\text{monte}) \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; De(6,8)} \\ (32)& \mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models V(1,\text{descend})\lt 0 \lt V(1,\text{monte}) \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; De(2,31)} \\ (33)& \mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models V(1,\text{descend})\gt 0 \gt V(1,\text{monte}) \leftrightarrow x\lt 0 & \text{; De(31,32)} \\ (34)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models \neg(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega\quad V(1,\omega)\geq 0) & \text{; De(32,33)} \\ (35)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models \text{Non-Arbitrage} & \text{; $\vee$-int(34)}\\ (36)&\boxed{\mathcal{H} \models 0\lt d\lt 1+r \lt u \rightarrow \text{Non-Arbitrage}} & \text{; TD(35)}\\ \\ (37)& \color{blue}\mathcal{H} \models 0\lt d\lt 1+r \lt u \leftrightarrow \text{Non-Arbitrage}\color{black}\quad\blacksquare & \text{; De(29,36)} \end{array}

Conclusion

Le modèle binomial à une période et la condition de non-arbitrage sont des piliers fondamentaux de la théorie financière, fournissant un cadre structuré pour l’évaluation des actifs et la stabilité des marchés. Tout au long de cet article, nous avons analysé comment les opportunités d’arbitrage, bien qu’attractives en théorie, sont rapidement éliminées par les forces du marché à travers des ajustements des prix des actifs et des taux d’intérêt. Nous avons démontré mathématiquement que la relation entre les facteurs de croissance et de décroissance d’un actif et le taux sans risque est essentielle pour garantir un marché efficient et exempt d’opportunités de gains sans risque. De plus, nous avons observé que même lorsque des opportunités d’arbitrage apparaissent, des mécanismes tels que la pression sur les prix, le coût des emprunts et la reconfiguration des paramètres du marché conduisent inévitablement à la restauration de l’équilibre. Avec cette compréhension, il devient évident que l’arbitrage n’est pas seulement une anomalie passagère, mais un élément fondamental de la dynamique des marchés financiers, qui en renforce l’efficience et la cohérence mathématique.