Comment maîtriser les techniques

Pour maîtriser les techniques permettant de déterminer le domaine, l’image et le graphique, du moins à ce niveau, il n’est pas nécessaire de revoir plus de théorie que ce que nous avons déjà couvert. À ce stade, il est préférable de faire des exercices, et la meilleure façon de s’exercer est d’inventer des exercices aléatoires. Ce n’est qu’ainsi que vous connaîtrez vraiment les limites des techniques que nous avons étudiées jusqu’à présent et que vous développerez l’intuition qui vous permettra de vous débrouiller avec adresse.

Ce que nous allons faire ensuite, c’est exactement cela : j’inventerai quelques exercices aléatoires et je les résoudrai dans la mesure où les techniques revues le permettent ; s’il n’est pas possible de les résoudre avec elles, j’expliquerai en quoi elles échouent et pourquoi.

Exercices pratiques :

Déterminez le domaine, l’image et le graphique des fonctions suivantes :

1. a(x) = \displaystyle \frac{x^3 - 3x^2 + 5x - 1}{x^2 + 2x - 1}
2. b(x) = \displaystyle \frac{4x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 2x - 2}{2x^2 - x - 1}
3. c(x) = \displaystyle \frac{x^5 + x^3 - x - 1}{x^2 - x - 1}
4. d(x) = \displaystyle \frac{3x^2 - 3x - 2}{\sqrt{x^2 - 1}}
5. e(x) = \displaystyle \sqrt{\frac{x^4 - x^2 - 11}{(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - x - 1}}}
6. f(x) = \displaystyle \frac{(x^2 - 2x - 2)\sqrt{7x^8 - 5x^4 - 2}}{x\sqrt{5x^2 - 3x + 2}}

Solution des exercices pratiques :

Exercices proposés :

Les exercices proposés suivants sont similaires à ceux résolus précédemment ; j’ai seulement changé les nombres. La structure est la même, donc les solutions précédentes peuvent être utiles. Si vous ne maîtrisez pas encore bien ces techniques, vous pouvez toujours vous appuyer sur des outils en ligne comme WolframAlpha et GeoGebra. Si vous avez des difficultés avec l’algèbre, revoir les leçons suivantes vous aidera :

Comme dans les exercices précédents, vous devez calculer le domaine, l’image et le graphique.

1. a(x) = \displaystyle \frac{-5x^3 + 9x^2 - 7x - 2}{5x^2 + 3x + 9}
2. b(x) = \displaystyle \frac{-8x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 4x + 1}{3x^2 - 9x + 3}
3. c(x) = \displaystyle \frac{-7x^5 + 9x^3 + 7x + 5}{-2x^2 - 8x + 6}
4. d(x) = \displaystyle \frac{4x^2 - 4x - 9}{\sqrt{-3x^2 + 7}}
5. e(x) = \displaystyle \sqrt{\frac{9x^4 + 2x^2 + 7}{(-8x^2 + 4)\sqrt{-6x^2 + 9x + 5}}}
6. f(x) = \displaystyle \frac{(7x^2 + 6x - 1)\sqrt{9x^8 + 3x^4 + 9}}{5x\sqrt{3x^2 + 8x - 3}}

À partir d’ici, si vous voulez vous entraîner davantage, le mieux est d’inventer vos propres fonctions et de les essayer.