Définition du domaine, de l’image et du graphique

À ce stade, nous avons déjà réalisé une étude assez détaillée des fonctions linéaires, quadratiques et similaires. Nous avons également étudié des courbes comme les droites, les paraboles, les ellipses et les hyperboles, ainsi que les opérations avec des polynômes et des fonctions algébriques en général. Cela fait, il sera désormais beaucoup plus simple d’aborder des aspects plus fondamentaux des fonctions, que nous allons examiner en introduisant les concepts de domaine, d’image et de graphique.

Soit f une fonction définie entre les ensembles A et B

\begin{matrix}f & : & A & \longrightarrow & B \\ & & x & \longmapsto & y=f(x) \end{matrix}

Les ensembles A et B sont appelés respectivement ensembles d' »entrée » et de « sortie ». À partir de ces ensembles, les ensembles suivants sont définis :

Dom(f) = \{x\in A\;|\; (\exists y \in B)(y=f(x))\}

Rec(f) = \{y\in B\;|\; (\exists ! x \in Dom(f))(y=f(x))\}

Graf(f) = \{(x,y)\in A\times B\;|\; x\in Dom(f) \wedge y=f(x) \}

Analyse des exemples

Bien que tout ce qu’on peut apprendre sur les concepts de domaine, d’image et de graphique soit essentiellement théorique, leur compréhension passe par le développement d’exemples pratiques, ce que nous allons faire maintenant en analysant les trois cas suivants :

Calculer le domaine, l’image et le graphique de : f(x) = \sqrt{1-x^2}

Commençons cette analyse en écrivant y=f(x). Si nous faisons cela, nous obtiendrons l’équation

y = \sqrt{1-x^2}

Si nous élevons cette expression au carré, nous arriverons rapidement à une équation qui conduit à des notions déjà connues

\begin{array}{rl} & y^2 = 1-x^2 \\ \equiv & x^2 + y^2 = 1 \end{array}

C’est l’équation du cercle unité.

Cependant, il faut être prudent ici, car en élevant au carré, nous avons « ajouté des informations ». Algébriquement, deux valeurs satisfont la condition de « être la racine carrée de », cependant, au début de cette analyse, la racine est spécifiée comme une fonction, et les fonctions n’admettent qu’un seul résultat. Nous parlons ici de la racine principale. Pour cette raison, l’énoncé original fait référence uniquement à la partie supérieure du cercle, plutôt qu’à la figure complète.

D’après cette figure, il est clair que :

Dom(f) = \{x\in\mathbb{R}\;|\; |x|\leq 1\} = [-1,1]

Rec(f) = \{y\in\mathbb{R}\;|\; 0\leq y\leq 1\} = [0,1]

Graf(f) = \{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\;|\; x\in [-1,1] \wedge y=\sqrt{1-x^2}\}

Bien que j’aie effectué cette analyse d’un point de vue graphique, il est également possible de le faire d’un point de vue plus analytique en examinant les opérations impliquées.

f(x) = \color{red}{\sqrt{{1-x^2}}}

La partie 1-x^2 est bien définie pour tous les réels.

Cependant, la racine carrée n’accepte que des valeurs supérieures ou égales à zéro.

À partir de cela, nous avons :

\begin{array}{rlrl} x\in Dom(f) & \leftrightarrow & 0 &\leq 1-x^2 \\ {} & \leftrightarrow & x^2 &\leq 1 \\ & \leftrightarrow & |x| &\leq 1 \\ & \leftrightarrow & -1 &\leq x \leq 1 \\ \end{array}

Par conséquent:\; Dom(f) = \{x\in \mathbb{R}\;|x| \leq 1\} = [-1,1]

Les méthodes analytiques pour déterminer l’image sont généralement beaucoup plus compliquées ; les cas les plus simples se résolvent en trouvant la fonction inverse, mais avant d’examiner ce sujet en détail, il est préférable d’étudier la composition des fonctions et d’autres cas plus simples pour avoir une base solide. En attendant, les méthodes graphiques que nous allons bientôt examiner couvriront une grande partie des difficultés liées à la détermination de l’image.

Analyse de : g(x) =\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}

Un moyen rapide de trouver le domaine de la fonction est de se demander quelles valeurs de x « détériorent la fonction ». Il est clair que la fonction est détériorée uniquement lorsque le dénominateur est nul. C’est-à-dire :

\begin{array}{rl} & x^2 + 1 = 0 \\ \equiv & x^2 = -1 \\ \end{array}

Comme aucun nombre réel ne peut satisfaire cette condition, il est clair que

\color{blue}{Dom(g) = \mathbb{R}}

Déterminer le graphique est généralement la méthode la plus rapide pour déterminer l’image d’une fonction ; et pour y parvenir, la division des polynômes sera un bon outil.

En réalisant la division des polynômes, nous arrivons à :

y= \displaystyle\frac{x^2-1}{x^2+1} = 1 -\displaystyle\frac{2}{x^2 + 1}

De cette façon, nous avons séparé la fonction originale en deux parties plus simples que nous appelons « partie entière » et « partie fractionnaire ». Tracer le graphique de chacune de ces parties séparément est beaucoup plus facile que de tracer le graphique de la fonction originale en une seule fois.

Analyse de : h(x) =\displaystyle \frac{x - 1}{\sqrt{x+1}}

Une analyse algébrique aidera à déterminer rapidement le domaine de cette fonction. Il suffit de remarquer qu’elle sera bien définie tant que

\begin{array}{rrl} & 0 & \lt x + 1 \\ \equiv & -1 & \lt x \\ \end{array}

Par conséquent, il est clair que Dom(h)=]-1,+\infty[.

Pour trouver l’image, il est utile d’esquisser le graphique, et pour ce faire simplement, nous utiliserons un tableau de signes. La fonction h(x) se compose de deux parties :

h(x)=\displaystyle\frac{\color{green}{x-1}}{\color{red}{\sqrt{x+1}}}

La partie supérieure s’annule en x=1 ; la partie inférieure, en plus de s’annuler en x=-1, devient indéfinie si x\lt-1. Avec cette information, nous construisons le tableau de signes suivant :

Avec les informations affichées dans ce tableau, il est désormais très simple de tracer le graphique de la fonction.

Et avec cela, déterminer le domaine et l’image est désormais une tâche triviale :

Dom(h)=]-1,+\infty[

Rec(h)=\mathbb{R}

Exercice proposé

Utilisez les outils que nous venons d’examiner pour trouver le domaine, l’image et le graphique de la fonction suivante :

F(x) = \displaystyle\frac{4x^3 + 6x^2 -2x + 1}{x^2-4}