5 symétries de la logique propositionnelle
Résumé :
Au cours de cette leçon, nous explorerons comment la double négation, le syllogisme hypothétique, le contraposé de l’implication, les théorèmes de déduction et les définitions des connecteurs se combinent pour former les symétries de la logique propositionnelle. Grâce à des démonstrations claires et simples, vous apprendrez à maîtriser les équivalences et à les appliquer à vos propres défis logiques.
Les symétries abordées dans le cours incluent : \downarrow-symétrie, \vee-symétrie, \wedge-symétrie, \leftrightarrow-symétrie et \veebar-symétrie. De plus, les interactions entre les démonstrations et la manière dont chacune s’appuie sur les précédentes pour simplifier les déductions futures sont mises en évidence. Ce cours ne vous fournira pas seulement une connaissance approfondie de la logique propositionnelle, mais vous apprendra également à utiliser les démonstrations précédentes pour optimiser votre processus d’apprentissage.
Objectifs d’apprentissage :
À la fin de ce cours, l’étudiant sera capable de
- Se souvenir des concepts de base de la logique propositionnelle, tels que le syllogisme hypothétique et la double négation.
- Reconnaître les 5 symétries de la logique propositionnelle.
- Comprendre le processus de démonstration des équivalences de symétries.
- Appliquer la présomption, le théorème de déduction et son réciproque dans les démonstrations.
- Relier les définitions des connecteurs logiques aux symétries.
- Apprécier l’importance de réaliser des démonstrations une seule fois et de les réutiliser dans des démonstrations futures.
- Développer des compétences analytiques et critiques lors de la réalisation de démonstrations logiques.
TABLE DES MATIÈRES
\vee – SYMÉTRIE
\downarrow – SYMÉTRIE
\wedge – SYMÉTRIE
\leftrightarrow – SYMÉTRIE
\veebar – SYMÉTRIE
REMARQUES FINALES
Une conséquence directe du syllogisme hypothétique, de la double négation et du contraposé de l’implication, des théorèmes de déduction et des définitions des connecteurs sont les 5 symétries de la logique propositionnelle que nous examinerons ci-dessous.
| (\alpha \downarrow \beta) \dashv\vdash (\beta\downarrow \alpha) | \downarrow-symétrie |
| (\alpha \vee \beta) \dashv\vdash (\beta\vee \alpha) | \vee-symétrie |
| (\alpha \wedge \beta) \dashv\vdash (\beta\wedge \alpha) | \wedge-symétrie |
| (\alpha \leftrightarrow \beta) \dashv\vdash (\beta\leftrightarrow \alpha) | \leftrightarrow-symétrie |
| (\alpha \veebar \beta) \dashv\vdash (\beta\veebar\alpha) | \veebar-symétrie |
Les démonstrations de ces équivalences ne sont pas toutes triviales, mais contrairement à certaines démonstrations que nous avons déjà vues, elles sont assez simples. Ci-dessous est présenté la démonstration de chacune dans un seul sens ; la démonstration dans l’autre sens est pratiquement identique et est laissée comme exercice au lecteur.
\vee-symétrie
| (1) | \{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\alpha \vee\beta) | ; Pré |
| (2) | \{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\neg \alpha \rightarrow \beta) | ; parce que (\alpha \vee \beta) := (\neg \alpha \rightarrow \beta) |
| (3) | \{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\neg \beta \rightarrow \alpha) | ; CPI(2) |
| (4) | \boxed{\{(\alpha \vee \beta)\}\vdash ( \beta \vee \alpha)} | ; parce que ( \beta \vee \alpha) := (\neg\beta\rightarrow\alpha) |
Le raisonnement inverse est obtenu avec très peu de variations en commençant par la présomption \{(\beta\vee\alpha)\}\vdash (\beta\vee\alpha)
\downarrow-symétrie
| (1) | \{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash \neg(\alpha \downarrow \beta) | ; Pré |
| (2) | \{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash (\alpha \vee \beta) | ; de (1) parce que (\alpha\vee\beta) := \neg(\alpha \downarrow \beta) |
| (3) | \{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash (\beta \vee \alpha) | ; \vee-symétrie |
| (4) | \vdash (\neg(\alpha \downarrow \beta) \rightarrow (\beta \vee \alpha)) | ; TD(3) |
| (5) | \vdash (\neg(\beta \vee \alpha) \rightarrow (\alpha \downarrow \beta)) | ; CPI(4) |
| (6) | \vdash ((\beta \downarrow \alpha) \rightarrow (\alpha \downarrow \beta)) | ; de (5) parce que (\beta\vee\alpha) := \neg(\beta \downarrow \alpha) |
| (7) | \boxed{\{(\beta \downarrow \alpha) \} \vdash (\alpha \downarrow \beta)} | ; RTD(6) |
Enfin, le raisonnement inverse est obtenu en commençant par la présomption \{\neg(\beta\downarrow\alpha)\}\vdash \neg(\beta\downarrow\alpha)
\wedge-symétrie
| (1) | \{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\alpha \wedge \beta) | ; Pré |
| (2) | \{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\neg\alpha \downarrow \neg\beta) | ; de (1) parce que (\alpha \wedge \beta) := (\neg\alpha \downarrow \neg\beta) |
| (3) | \{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\neg\beta \downarrow \neg\alpha) | ; \downarrow-symétrie (2) |
| (4) | \boxed{\{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash ( \beta \wedge \alpha)} | ; de (3) parce que (\beta \wedge \alpha) := (\neg\beta \downarrow \neg\alpha) |
Comme dans le cas précédent, le raisonnement inverse est obtenu avec très peu de variations en commençant par la présomption \{( \beta \wedge \alpha)\}\vdash ( \beta \wedge \alpha)
\leftrightarrow-symétrie
| (1) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\alpha \leftrightarrow \beta) | ; Pré |
| (2) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ((\alpha \rightarrow \beta) \wedge (\alpha \rightarrow \beta)) | ; de (1) parce que (\alpha \leftrightarrow \beta) := ((\alpha \rightarrow \beta) \wedge (\beta \rightarrow \alpha)) |
| (3) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ((\beta \rightarrow \alpha) \wedge (\alpha \rightarrow \beta) ) | ; \wedge-symétrie(2) |
| (4) | \boxed{\{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\beta \leftrightarrow \alpha)} | ; de (3) parce que (\beta \leftrightarrow \alpha) := ((\beta \rightarrow \alpha) \wedge (\alpha \rightarrow \beta)) |
Comme dans le cas précédent, mais en commençant par la présomption \{( \beta \leftrightarrow \alpha)\}\vdash ( \beta\leftrightarrow \alpha)
\veebar-symétrie
| (1) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\alpha \leftrightarrow \beta) | ; Pré |
| (2) | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ( \beta \leftrightarrow \alpha) | ; \leftrightarrow-symétrie(1) |
| (3) | \vdash ((\alpha \leftrightarrow \beta) \rightarrow ( \beta \leftrightarrow \alpha)) | ; TD(2) |
| (4) | \vdash (\neg ( \beta \leftrightarrow \alpha) \rightarrow \neg (\alpha \leftrightarrow \beta)) | ; CPI(3) |
| (5) | \{\neg ( \beta \leftrightarrow \alpha)\} \vdash \neg (\alpha \leftrightarrow \beta) | ; RTD(4) |
| (6) | \boxed{\{ ( \beta \veebar \alpha)\} \vdash (\alpha \veebar \beta)} | ; de (5) parce que ( \beta \veebar \alpha) := \neg\beta \leftrightarrow \alpha) et (\alpha \veebar \beta) := \neg (\alpha \leftrightarrow \beta) |
Comme dans tous les autres cas, il suffit de prouver la présomption dans le sens inverse \{(\beta \leftrightarrow \alpha)\} \vdash (\beta \leftrightarrow \alpha) pour obtenir la déduction dans ce sens.
Remarques finales
Un aspect auquel le lecteur doit prêter attention est l’ordre dans lequel ces 5 symétries de la logique propositionnelle ont été choisies pour être démontrées. Notez que chacune est faite de manière à utiliser certaines des démonstrations précédemment réalisées. Cela reflète l’approche à suivre lors de la réalisation de démonstrations : elles sont effectuées une seule fois (et plus jamais !); après cela, votre objectif doit être de vous concentrer sur l’utilisation des démonstrations précédentes pour simplifier les déductions futures.