Diesmal werden wir nicht nur die unendlichen Grenzwerte betrachten, sondern allgemein die divergenten Grenzwerte. Divergente Grenzwerte zeigen uns, wie eine Funktion scheinbar nicht konvergiert, und dies kann auf viele verschiedene Arten geschehen.

Wann sagen wir, dass ein Grenzwert divergent ist?

Wir sagen, dass ein Grenzwert divergent ist, wenn er nicht gegen einen reellen Wert konvergiert. Dies, was so offensichtlich klingt, kann auf verschiedene Weisen auftreten:

• Wenn die einseitigen Grenzwerte unterschiedlich oder nicht existent sind, existieren die zweiseitigen Grenzwerte nicht.
• Wenn die Funktion nicht wohldefiniert ist, unbegrenzt wächst oder unendlich oszilliert, wenn man sich dem Punkt nähert, an dem der Grenzwert berechnet wird, dann kann der einseitige Grenzwert nicht existieren.

Dies kann, mit seinen Besonderheiten, sowohl für endliche Grenzwerte als auch für Grenzwerte im Unendlichen gelten, und je nach Fall haben wir eine Art von Divergenz.

Arten der Divergenz bei Grenzwerten

Grenzwerte mit Definitionsbereichsproblemen

Wenn wir versuchen, einen Grenzwert der Form \lim_{x\to x_0}f(x) oder \lim_{x\to +\infty}f(x), zu berechnen, erwarten wir zumindest, dass f(x) für Werte nahe bei x_0 oder für ein Intervall der Form [a,+\infty[, jeweils wohldefiniert ist. Wenn dies nicht der Fall ist, könnten keine der beiden Definitionen von Grenzwerten überhaupt Sinn ergeben; die Funktion kann nicht „gegen“ einen Wert streben, wenn sie sich einer Stelle nähert, an der sie nicht einmal definiert ist. In solchen Fällen schreiben wir einfach, dass der Grenzwert nicht existiert: \lim_{x\to x_0}f(x)=\cancel{\exists} und \lim_{x\to +\infty}f(x)=\cancel{\exists}, je nachdem, was zutrifft. Ähnlich gilt dies für einseitige Grenzwerte, und es bleibt nichts Weiteres zu diesem Typ von Situationen zu sagen.

Ungleiche einseitige Grenzwerte

Betrachten wir eine Funktion der Form f(x) = x/|x| und berechnen wir den Grenzwert, wenn x\to 0. Zunächst stellen wir fest:

\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x) = 1

\displaystyle\lim_{x\to 0^-} f(x) = -1

In einem solchen Fall stellen wir fest, dass zwar die einseitigen Grenzwerte existieren, diese jedoch unterschiedlich sind. Wenn dies geschieht, sagen wir einfach, dass der (zweiseitige) Grenzwert nicht konvergiert, und daher gilt:

\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = \cancel{\exists}

Grenzwert unendlich oszillierender Funktionen

Es gibt auch den Fall, dass Funktionen, anstatt sich einem bestimmten Wert zu nähern, beginnen, innerhalb eines bestimmten Bereichs zu oszillieren. Ein Beispiel dafür wäre eine Funktion der Form f(x)= \sin(1/x). Wenn wir betrachten, was mit dieser Funktion passiert, wenn x\to 0, sehen wir, dass sie unendlich oft oszilliert.

Wenn solche Dinge geschehen, sagen wir, dass der Grenzwert einfach nicht existiert.

Unendliche Grenzwerte

Sehen wir uns an, was mit der Funktion f(x) = 1/x. geschieht. Zunächst stellen wir fest, dass, wenn x\to 0, der Wert von f(x) unbegrenzt wächst, aber die Art und Weise hängt davon ab, von welcher Seite der Grenzwert berechnet wird. Intuitiv schreiben wir:

\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty

\displaystyle\lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty

Mit dieser Schreibweise sagen wir nicht, dass der Grenzwert in irgendeiner Weise existiert, sondern wir geben die Art und Weise an, in der dieser Grenzwert nicht existiert. Anders als in den vorherigen Fällen, in denen der Grenzwert nicht existiert, weil er nicht gegen einen bestimmten Wert konvergiert, divergiert er hier, weil seine Größe über jede reelle Zahl hinausgeht.

Dies, was wir gerade überprüft haben, lässt sich durch die folgenden Definitionen formalisieren:

\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \rightarrow M \lt f(x) )

\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \rightarrow M \lt f(x) )

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = +\infty := \left(\lim_{x\to x_0^+}f(x) = +\infty \right) \wedge \left(\lim_{x\to x_0^-}f(x) = +\infty \right)

Und in analoger Weise:

\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) = -\infty := \left(\forall m \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \rightarrow f(x) \lt m )

\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) = -\infty := \left(\forall m \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \rightarrow f(x) \lt m )

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = -\infty := \left(\lim_{x\to x_0^+}f(x) = -\infty \right) \wedge \left(\lim_{x\to x_0^-}f(x) = -\infty \right)

Man spricht gelegentlich auch von einem Grenzwert, der gegen das Unendliche (ohne Vorzeichen) geht.

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = \infty := \lim_{x\to x_0}|f(x)| = +\infty

Unendliche Grenzwerte im Unendlichen

Ähnlich wie bei den zuvor betrachteten Grenzwerten ist es möglich, unendliche Grenzwerte im Unendlichen zu definieren. Zum Beispiel:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists N \in\mathbb{R} \right) ( N\lt x \rightarrow M \lt f(x) )

Und damit haben wir nun alle Arten gesehen, in denen die Grenzwerte von Funktionen divergieren können.