Die Stirling-Formel

Die Stirling-Formel ist ein wesentliches Werkzeug, um Berechnungen mit Fakultäten großer Zahlen zu vereinfachen, da sie eine schnelle und praktische Annäherung bietet.

Dieses Resultat ist besonders nützlich in Bereichen wie der Thermodynamik, der Wahrscheinlichkeitstheorie und der asymptotischen Analyse, wo der Umgang mit extrem großen Zahlen üblich ist. Das Verständnis ihrer Herleitung erleichtert nicht nur ihre Anwendung, sondern ermöglicht auch, ihre Relevanz in der effizienten Berechnung und in der Lösung komplexer Probleme zu schätzen.

Lernziele:
Am Ende dieser Klasse wird der Student in der Lage sein,

1. Die Herleitung der Stirling-Formel aus der Definition der Fakultät mittels der Gammafunktion zu verstehen.
2. Die Stirling-Formel anzuwenden, um Fakultäten sehr großer Zahlen zu approximieren.
3. Logarithmische Approximationen von Fakultäten mithilfe grundlegender Werkzeuge der Logarithmen und Exponenten zu berechnen.

INHALTSVERZEICHNIS:
Beweis der Stirling-Formel
Logarithmische Approximation der Fakultät
Beispiel: Approximation der Fakultät einer sehr großen Zahl

Beweis der Stirling-Formel

Die Herleitung der Stirling-Formel beginnt mit der Definition der Fakultät mittels der Gammafunktion, die lautet:

n! =\Gamma(n+1) = \displaystyle \int_0^\infty t^n e^{-t} \, dt

Mit diesem Ausdruck führen wir eine Variablenänderung durch: t = nx. Dies impliziert, dass x \in [0, \infty[ und dt = n dx. Mit dieser Änderung transformiert sich das Integral wie folgt:

n! = \Gamma(n+1) = \displaystyle \int_0^\infty (nx)^n e^{-nx} n \, dx = n^{n+1} \int_0^\infty x^n e^{-nx} dx

Als Nächstes führen wir eine zweite Variablenänderung durch: x = 1 + \dfrac{s}{\sqrt{n}}. Dies impliziert:

\begin{array}{rl} & s = (x-1)\sqrt{n}, \quad s \in [-\sqrt{n}, \infty[ \\ \\ & dx = \dfrac{ds}{\sqrt{n}} \end{array}

Mit dieser Variablenänderung nimmt das Integral die folgende Form an:

\begin{array}{rl} n! = \Gamma(n+1) &= \displaystyle n^{n+1} \int_{-\sqrt{n}}^\infty \left( 1 + \dfrac{s}{\sqrt{n}} \right)^n e^{-n\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right)} \dfrac{ds}{\sqrt{n}} \\ \\ &= \displaystyle \dfrac{n^{n+1}}{\sqrt{n}} \int_{-\sqrt{n}}^\infty e^{n\ln\left( 1 + \dfrac{s}{\sqrt{n}} \right)} e^{-n - s\sqrt{n}} ds \\ \\ &= \displaystyle n^n e^{-n} \sqrt{n} \int_{-\sqrt{n}}^\infty e^{n\ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right) - s\sqrt{n}} ds \end{array}

Nun verwenden wir die Taylorreihenentwicklung für den natürlichen Logarithmus:

\ln(1+x) = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k+1}x^k}{k}

Wenden wir diese Entwicklung auf \ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right) an, so entfalten wir den Ausdruck der Exponentialfunktion wie folgt:

\begin{array}{rl} n\ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right) - s\sqrt{n} & = \displaystyle n \left[\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k+1}\left(\dfrac{s}{\sqrt{n}} \right)^k}{k} \right] - s\sqrt{n} \\ \\ & = n \left[ \dfrac{s}{\sqrt{n}} - \dfrac{s^2}{2n} + \dfrac{s^3}{3n\sqrt{n}} - \dfrac{s^4}{4n^2} + \dfrac{s^5}{5n^2\sqrt{n}} \cdots \right] - s\sqrt{n} \\ \\ & = s\sqrt{n} - \dfrac{s^2}{2} + \dfrac{s^3}{3\sqrt{n}} - \dfrac{s^4}{4n} + \dfrac{s^5}{5n\sqrt{n}} \cdots - s\sqrt{n} \\ \\ & = - \dfrac{s^2}{2} + \dfrac{s^3}{3\sqrt{n}} - \dfrac{s^4}{4n} + \dfrac{s^5}{5n\sqrt{n}} \cdots \\ \\ & = - \dfrac{s^2}{2} + \displaystyle \sum_{k=3}^\infty \dfrac{(-1)^{k+1}s^k}{k\sqrt{n^{k-2}}} \end{array}

Auf diese Weise können wir den vollständigen Ausdruck wie folgt schreiben:

n! = \Gamma(n+1) = \displaystyle n^n e^{-n} \sqrt{n} \int_{-\sqrt{n}}^\infty e^{- \dfrac{s^2}{2} + \displaystyle \sum_{k=3}^\infty \dfrac{(-1)^{k+1}s^k}{k\sqrt{n^{k-2}}}} ds

Dieses Ergebnis ist grundlegend für die Berechnung von Fakultäten sehr großer Zahlen. Wenn n wächst, tendieren die Terme in der Summe innerhalb der Exponentialfunktion gegen null, sodass nur der dominante Term übrig bleibt. Dies vereinfacht das Integral, das als gaußsches Integral gelöst werden kann:

n! = \Gamma(n+1) \approx \displaystyle n^n e^{-n} \sqrt{n} \int_{-\infty}^\infty e^{- \frac{s^2}{2}} ds = n^n e^{-n} \sqrt{n} \sqrt{2\pi}

Dieses Ergebnis ist als die Stirling-Formel für die Fakultät großer Zahlen bekannt:

\boxed{n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n}}

Logarithmische Approximation der Fakultät

Ein direktes Resultat der Stirling-Formel ist die logarithmische Approximation der Fakultät. Wenn wir den natürlichen Logarithmus der Stirling-Formel nehmen, erhalten wir:

\begin{array}{rcl} \ln(n!) \approx \ln\left( \sqrt{2n\pi}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n} \right) &=& \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln\left(\dfrac{n}{e}\right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n \\ \\ &\approx & n\ln(n) - n \end{array}

Im letzten Schritt wird eine zusätzliche Approximation vorgenommen, indem der Term \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) vernachlässigt wird. Dieser Term wird im Vergleich zu n\ln(n) - n für große Werte von n unbedeutend.

Die Gültigkeit dieser Approximation wird durch die Berechnung des relativen Fehlers zwischen beiden Ausdrücken gerechtfertigt:

\begin{array}{rcl} \text{Anfängliche Approximation} & = & \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n \\ \\ \text{Endgültige Approximation} & = & n\ln(n) - n \\ \\ \text{Relativer Fehler} &=& \dfrac{\text{Endgültige Approximation} - \text{Anfängliche Approximation}}{\text{Anfängliche Approximation}} \\ \\ &=& \dfrac{-\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi)}{\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n} \end{array}

Berechnen wir das Limes, wenn n \to \infty:

\begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \text{Relativer Fehler} & = \displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{-\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi)}{\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n} \\ \\ & = \displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{-\dfrac{1}{2n}}{\dfrac{1}{2n} + \ln(n) + 1 - 1} = 0 \end{array}

Da also der Fehler für große Werte von n gegen null geht, können wir die folgende logarithmische Approximation mit Vertrauen verwenden:

\boxed{\ln(n!) \approx n\ln(n) - n}

Beispiel: Approximation der Fakultät einer sehr großen Zahl

Die Berechnung der Fakultät extrem großer Zahlen, wie 10.000!, ist mit herkömmlichen Werkzeugen aufgrund der Größe des Ergebnisses praktisch unmöglich. Mit der logarithmischen Approximation der Fakultät, die aus der Stirling-Formel abgeleitet wurde, können wir dies jedoch selbst mit einfachen Taschenrechnern handhabbar machen.

Die logarithmische Fakultätsformel lautet:

\ln(10.000!) \approx 10.000 \ln(10.000) - 10.000

Um von natürlichen Logarithmen (\ln) zu Logarithmen zur Basis 10 (\log) zu konvertieren, verwenden wir die Beziehung:

\ln(10.000!) = \dfrac{\log(10.000!)}{\log(e)}

Dies impliziert:

\log(10.000!) \approx \log(e) \cdot (10.000 \ln(10.000) - 10.000)

Daraus folgt:

10.000! \approx 10^{\log(e) \cdot (10.000 \ln(10.000) - 10.000)} \approx 10^{35.657,06}

Hier stellen wir fest, dass der Ausdruck im Exponenten für die meisten Taschenrechner handhabbar ist. Auch wenn wir die Zahl aufgrund ihrer immensen Größe nicht darstellen können, wissen wir, dass sie ungefähr 35.657 Ziffern hat. Dieser Ansatz verwandelt eine scheinbar unerreichbare Berechnung in etwas Realisierbares.