Die Ableitung als Grenzwert einer Funktion

Zusammenfassung:
In dieser Vorlesung werden wir das Konzept der Ableitung als mathematisches Werkzeug zur Analyse von Änderungen in Funktionen untersuchen. Wir beginnen mit der Steigung einer Sekante und definieren, indem wir den Grenzwert betrachten, wenn sich die Punkte annähern, die Ableitung als die Steigung der Tangente. Außerdem werden wir ihre wichtigsten Eigenschaften und Regeln studieren, wie die Summen-, Produkt- und Quotientenregel, die grundlegend sind, um Ableitungen in der Analyse von Funktionen und Veränderungsphänomenen anzuwenden.

Lernziele
Am Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein:

1. Zu verstehen, dass die Ableitung als Grenzwert den momentanen Änderungswert einer Funktion beschreibt und als Steigung der Tangente an eine Kurve in einem Punkt aufgefasst werden kann.
2. Zu erklären, wie Differenzierbarkeit die Stetigkeit von Funktionen impliziert.
3. Zu zeigen, wie die grundlegenden Ableitungsregeln aus der formalen Definition abgeleitet werden.
4. Zu verwenden, die Rechengesetze für Ableitungen (Summe, Produkt und Quotient) in mathematischen Problemen.

INHALTSVERZEICHNIS:
Das Konzept der Ableitung
Die Steigung der Sekantenlinie
Der Übergang zum Grenzwert: Die Ableitung und die Steigung der Tangente
Alternative Definition
Eigenschaften der Ableitungen
Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit
Rechenregeln für Ableitungen

Das Konzept der Ableitung

Die Natur ist im Allgemeinen Veränderungen unterworfen, und das mathematische Werkzeug par excellence, um Veränderungen zu berechnen und zu verstehen, ist die Ableitung. Diese ergibt sich aus der Frage: „Was geschieht mit dem Wert einer Funktion f(x), wenn die Variable x um eine beliebig kleine Größe \Delta x vergrößert oder verkleinert wird?“. Das Konzept der Ableitung entsteht als der Grenzwert einer Funktion bei der Analyse dieser Frage.

Die Steigung der Sekantenlinie

Betrachten wir eine Funktion f(x), ausgewertet an zwei Punkten x_0 und x_0 + \Delta x. Jede Gerade, die zwei Punkte einer Kurve schneidet, wird „Sekantenlinie“ genannt und sieht so aus wie in der Abbildung dargestellt.

Diese spezielle Sekantenlinie hat die Steigung

\dfrac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} = \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

Der Übergang zum Grenzwert: Die Ableitung und die Steigung der Tangente

Wenn wir die Sekantenlinie an die Kurve betrachten y=f(x), die durch x_0 und x_0 + \Delta x verläuft, und dann den Grenzwert nehmen, wenn \Delta x gegen null geht, erhalten wir die Tangente an die Kurve, die durch (x_0, f(x_0)). verläuft.

Hieraus ergibt sich die formale Definition der Ableitung einer Funktion f(x) an einem Punkt x_0 als der Grenzwert

\displaystyle \dfrac{df(x_0)}{dx}:= \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

dieser repräsentiert wiederum die Steigung der Tangente, die durch x_0. verläuft.

Alternative Definition

Eine alternative Möglichkeit, die Definition der Ableitung als Grenzwert darzustellen, ergibt sich aus der folgenden Substitution:

\begin{array}{rl} x_i &= x_0\\ x_f &= x_i + \Delta x \end{array}

Damit erhalten wir \Delta x = x_f - x_i und die Definition der Ableitung lautet dann

\begin{array}{rl} \displaystyle \dfrac{df(x_i)}{dx} &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{ f(x_i + \Delta x) - f(x_i)}{\Delta x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x_f - x_i \to 0} \dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x_f \to x_i } \dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i} \end{array}

Beide Definitionen sind gleichwertig und können je nach Zweck abwechselnd verwendet werden.

Eigenschaften der Ableitungen

Eine Funktion heißt differenzierbar in x_0, wenn der Grenzwert existiert

\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

Und wir sagen, dass sie auf einer Menge I differenzierbar ist, wenn der Grenzwert für alle x_0\in I. wohldefiniert ist. Differenzierbare Funktionen haben die folgenden Eigenschaften:

Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit

Wenn eine Funktion in x_0 differenzierbar ist, dann ist sie in x_0 stetig. Dies können wir durch das folgende Argument zeigen.

Damit f(x) in x_0 stetig ist, muss gelten:

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)

Untersuchen wir die linke Seite dieses Ausdrucks, so erhalten wir:

\begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[ f(x) + f(x_0) - f(x_0) \right] \\ \\ &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[f(x_0) + \left( f(x) - f(x_0) \right) \right] \\ \\ &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[f(x_0) + \left( \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \right)(x-x_0) \right] \\ \\ &=f(x_0) +\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[ \left( \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \right)(x-x_0) \right] \\ \\ \end{array}

Daraus folgt, dass, damit f(x) in x_0 stetig ist, der Grenzwert auf der rechten Seite wohldefiniert sein muss; und dies ist genau dann der Fall, wenn

\displaystyle \lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} =\dfrac{df(x_0)}{dx}

Mit anderen Worten: wenn f(x) in x_0 differenzierbar ist. Folglich gilt: Wenn f(x) in x_0 differenzierbar ist, dann ist sie an diesem Punkt stetig.

Algebra der Ableitungen

Seien f und g Funktionen, die für alle x\in I differenzierbar sind, und seien \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Dann gilt:

1. \dfrac{d}{dx} \left( \alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) = \alpha \dfrac{df(x)}{dx} \pm \beta\dfrac{dg(x)}{dx}
2. \dfrac{d}{dx} \left( f(x) g(x) \right) = \dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x)\dfrac{dg(x)}{dx}
3. Wenn g(x)\neq 0, dann gilt \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x) \dfrac{dg(x)}{dx} }{\left[g(x)\right]^2}

Wie wir sehen können, ist die Algebra der Ableitungen nicht so intuitiv, wie es auf den ersten Blick scheinen könnte; dennoch lassen sich die Beweise dieser Eigenschaften ohne große Schwierigkeit aus der Definition der Ableitungen als Grenzwerte ableiten.

BEWEIS:

Der Beweis der Ableitung der Summe ergibt sich aus folgendem Gedankengang:

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left(\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) & =\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\left[\alpha f(x+\Delta x) \pm \beta g(x+ \Delta x)\right] - \left[\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \left[\alpha f(x+\Delta x) - \alpha f(x)\right] \pm \left[\beta g(x+\Delta x) - \beta g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \alpha \left[ f(x+\Delta x) - f(x)\right] \pm \beta \left[ g(x+\Delta x) - g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \alpha \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \pm \beta \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \alpha \dfrac{df(x)}{dx} \pm \beta \dfrac{dg(x)}{dx} \end{array}

Andererseits ist der Beweis der Ableitung des Produkts etwas komplizierter, aber keineswegs unmöglich:

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left[f(x)g(x)\right] &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) g(x+\Delta x) - f(x) g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) g(x+\Delta x) + \color{red}f(x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x+\Delta x) \color{black} - f(x) g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\left[f(x+\Delta x) - f(x) \right] g(x+\Delta x) + f(x) \left[g(x+\Delta x) - g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x) \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ \\ &= g(x) \dfrac{df(x)}{dx} + f(x)\dfrac{dg(x)}{dx} \end{array}

Hierbei wurde die Tatsache genutzt, dass g eine differenzierbare Funktion ist, also stetig, und daher \lim_{\Delta x\to 0 } g(x+\Delta x) = g(x) gilt, um anschließend den Beweis mithilfe der Algebra der Grenzwerte abzuschließen.

Schließlich können wir für den Beweis der Ableitung des Quotienten das Ergebnis der Produktregel nutzen. Betrachten wir eine Funktion der Form k(x) = f(x)/g(x), mit g(x)\neq 0. Dann gilt:

\dfrac{df(x)}{dx}= \dfrac{d}{dx}(k(x)g(x)) = \dfrac{dk(x)}{dx}g(x) + k(x)\dfrac{dg(x)}{dx}

Nun, durch Umstellen von \dfrac{dk(x)}{dx} ergibt sich:

\dfrac{dk(x)}{dx}g(x) = \dfrac{df(x)}{dx} - k(x)\dfrac{dg(x)}{dx} = \dfrac{d}{dx}f(x) - \dfrac{f(x)}{g(x)}\dfrac{dg(x)}{dx}

Und daher:

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) &= \dfrac{dk(x)}{dx} =\dfrac{1}{g(x)} \dfrac{df(x)}{dx} - \dfrac{f(x)}{\left[g(x)\right]^2}\dfrac{dg(x)}{dx} \\ \\ & = \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x) \dfrac{dg(x)}{dx}}{[g(x)]^2} \end{array}

was zu beweisen war.