عند مراجعتنا لما يتعلق بـفضاءات العينة رأينا أن هذه يمكن أن تكون من نوعين: نوع متقطع وآخر مستمر. كما راجعنا ما يشكل توزيع احتمالي متقطع. الآن جاء دور التوزيعات الاحتمالية المستمرة.

ما هي التوزيعات الاحتمالية المستمرة؟

نقول أن متغيرًا عشوائيًا X لديه توزيع احتمالي مستمر إذا كانت هناك دالة f_X : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+, التي سنسميها كثافة X, بحيث \forall A \subseteq \mathbb{R} يكون صحيحًا أن

P(X\in A) = \displaystyle \int_A f_X(x)dx

على وجه الخصوص، إذا أخذنا A=]a,b] سيكون لدينا

P(a\lt X \leq b) = \displaystyle \int_a^b f_X(x)dx

وإذا كان a=-\infty

F_X(x) = P( X \leq x) = \displaystyle \int_{-\infty}^x f_X(t)dt

وأيضًا، من خاصية (c) للتوزيعات الاحتمالية (انظر هنا) سيكون لدينا أن

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)dt = 1

بتطبيق مبرهنة الحساب الأساسي على هذا التعبير الأخير، يكون أن توزيع مستمر، F_X(x), يكون مستمرًا لكل x, ومشتقته هي f_X(x) لكل القيم x حيث f_X(x) يكون مستمرًا. من استمرارية F_X(x) ومن خاصية (d) (انظر هنا) نستنتج أن:

P(x=X)=0

وبالتالي

P(x\leq X)= P(x\lt X)

إذا كانت f أي دالة تحقق f\geq 0 و \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1, فإنها تسمى كثافة.

الخمس توزيعات الاحتمالية المستمرة الأكثر شهرة

التوزيع الأسي

دالة التوزيع الأسي مع معلمة \alpha \gt 0 هي دالة التوزيع F بالشكل التالي.

F(t) = \left\{\begin{array}{lll} 1 - e^{-t/\alpha} & ; & t\geq 0 \\ \\ 0 & ; & t\lt 0 \end{array}\right.

وبالتالي، دالة الكثافة هي بالشكل التالي

\displaystyle f(t) = \left\{\begin{array}{lll} \frac{1}{\alpha}e^{-t/\alpha} & ; & t\geq 0 \\ \\ 0 & ; & t\lt 0 \end{array}\right.

إذا كان المتغير العشوائي له توزيع أسي مع معلمة \alpha نكتب X\sim Ex(\alpha).

في سياق توزيع بواسون، إذا كان لدينا عينة مشعة تبعث جسيمًا بمعدل متوسط للإصدار c, فإن اللحظة الزمنية T التي ينبعث فيها الجسيم الأول يكون لها توزيع أسي بمعلمة 1/c. بمعنى آخر T\sim Ex(1/c), وبالتالي:

P(T\geq t)= e^{-ct}

التوزيع المستطيل المنتظم

توزيع مستطيل منتظم على فترة [a,b] هو الذي يعرف بدالة الكثافة

f(x) = \left\{\begin{array}{lll} \displaystyle\frac{1}{b-a} & ; & x\in[a,b] \\ \\ 0 & ; & أي حالة أخرى \end{array}\right.

إذا أسقطنا كرة صغيرة في سكة بحدود في نهاية الفترة [a,b], وارتدت بمرونة عند الاصطدام بالحواف، فإن المتغير العشوائي X المرتبط بموقع توقف الكرة بفعل الاحتكاك يكون له توزيع مستطيل منتظم ويكتب X\sim Un(a,b).

التوزيع الطبيعي (الجوسي)

من بين التوزيعات الاحتمالية المستمرة، التوزيع الطبيعي هو من الأكثر شهرة في الممارسة.

التوزيع الطبيعي المعياري

يتم تعريف الكثافة الطبيعية المعيارية من خلال الدالة

\displaystyle \phi_{0,1}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}

بتعريفها، من الواضح أن \phi\gt 0. لذلك، يمكن التحقق من أنها كثافة احتمالية ببساطة من خلال التحقق من أن

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{0,1}(x)dx

يمكن إثبات هذه المعادلة الأخيرة بحساب قيمة I^2 عندما I =\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(x)dx=1. في الواقع، لدينا:

\begin{array}{rl} I^2 & = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} dx \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}dx \\ \\ & = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} dx \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/2} dy \\ \\ & = \displaystyle \frac{1}{{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} dxdy \\ \\ \end{array}

ولكن يتضح أن

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} dxdy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{+\infty} e^{-r^2/2} rdr d\theta = 2\pi

وبالتالي I^2 = 1, بحيث I=\int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{0,1}(x)dx = 1.

من الكثافة الطبيعية المعيارية يتم تعريف التوزيع الطبيعي المعياري \Phi_{0,1}(x) = \int_{-\infty}^x\phi_{0,1}(t)dt. إذا كان المتغير العشوائي X له توزيع طبيعي معياري، فإنه يكتب X\sim N(0,1). التوزيع \Phi_{0,1}(x) لا يمكن حسابه بشكل صريح، ولكن هناك جداول تمكن من الحصول على قيم تقريبية بسرعة.

التوزيع الطبيعي بمعلمات \mu و \sigma

من كثافة التوزيع الطبيعي المعياري \phi_{0,1} يمكن بناء الكثافة للتوزيع الطبيعي بمعلمات \mu و \sigma, حيث \mu\in\mathbb{R} و \sigma\gt 0 هي على التوالي، المتوسط والانحراف المعياري. كثافة التوزيع الطبيعي بهذه المعلمات تكتب بالشكل التالي:

\displaystyle\phi_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma}\phi_{0,1}\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)

بحيث أن التوزيع الطبيعي بمعلمات \mu و \sigma, \Phi_{\mu,\sigma}(x)، تكتب بالشكل

\displaystyle \Phi_{\mu,\sigma}(x) = \int_{-\infty}^x\frac{1}{\sigma}\phi_{0,1}\left(\frac{t-\mu}{\sigma} \right)dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt

إذا كان المتغير العشوائي X له توزيع طبيعي بمعلمات \mu, \sigma, فإنه يكتب X\sim N(\mu, \sigma).

توزيع ويبل

توزيع ويبل بمعلمات \alpha,\beta \gt 0 له دالة توزيع بالشكل

F(t) = \left\{\begin{array}{llr} \left(1 - e^{-t/\alpha} \right)^\beta &;& t\geq 0 \\ \\ 0 &;& t\lt 0 \end{array}\right.

إذا كان المتغير العشوائي X له توزيع ويبل بمعلمات \alpha, \beta فإنه يكتب X\sim We(\alpha,\beta). توزيع ويبل هو تعميم للتوزيع الأسي، لاحظ أن We(\alpha,1) = Ex(\alpha).

توزيع جاما

توزيع جاما بمعلمات \beta,\alpha له دالة كثافة بالشكل

f(t) = \left\{\begin{array}{llr} \displaystyle \frac{1}{\alpha \Gamma(\beta)}\left(\frac{t}{\alpha} \right)^{\beta-1}e^{-t/\alpha} &;& t\geq 0 \\ \\ 0 &;& t\lt 0 \end{array}\right.

حيث \Gamma(s) = \displaystyle \int_0^{+\infty}u^{s-1}e^{-u}du هو ما يعرف بـ “دالة جاما”.

إحدى الخصائص الأكثر شهرة لدالة جاما هي أنها تمكن من تعميم العوامل من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد الحقيقية (وحتى الأعداد المركبة). ليس من الصعب التحقق من أن \Gamma(s+1) = s\Gamma(s) بالتكامل بالأجزاء. بالإضافة إلى ذلك، لأن \Gamma(1)=1 نجد أن

\left(\forall n\in\mathbb{N}\right)\left(\Gamma(n) = (n-1)! \right)

إذا كان المتغير العشوائي X له توزيع جاما بمعلمات \beta, \alpha فإنه يكتب X\sim Ga(\alpha,\beta). توزيع جاما هو تعميم آخر للتوزيع الأسي، لاحظ أن Ga(\alpha,1) = Ex(\alpha).

في عملية بواسون بتردد c (مثل التحلل الإشعاعي)، إذا كان T هو المتغير العشوائي الذي يمثل اللحظة التي يحدث فيها الحدث m، إذن، بناءً على t\geq 0 وعدد N من الأحداث التي تحدث في الفترة الزمنية [0,t] سيكون لدينا t\lt T \leftrightarrow N\lt m و، لأن N\sim Po(ct), يكون:

1-F_T(t) = P(T\gt t) = \displaystyle \sum_{k=0}^{m-1}Po(k; ct)=e^{-ct}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{(ct)^k}{k!}

وبالتالي، إذا قمنا باشتقاق هذا، سنكتشف أن دالة الكثافة هي

\displaystyle f(t) = ce^{-ct}\frac{(ct)^{m-1}}{(m-1)!}

وبالتالي، T\sim Ga(1/c, m).

تمارين

1. العثور على الثابت c بحيث \displaystyle f(x) = \frac{c}{x^2+1} هو كثافة احتمالية وحساب دالة التوزيع الاحتمالي المناظرة (توزيع كوشي)
2. من دالة الكثافة للتوزيع Un(a.b), تحديد دالة التوزيع المناظرة.
3. إثبات أن دالة \Phi_{\mu,\sigma}(x) هي دالة توزيع احتمالي.