المشتقة كحد لدالة

ملخص:
في هذه الحصة، سنستكشف مفهوم المشتقة كأداة رياضية لتحليل التغيرات في الدوال. سنبدأ من ميل الخط القاطع، ومع أخذ الحد عندما تقترب النقاط، سنعرف المشتقة كميل الخط المماس. بالإضافة إلى ذلك، سندرس خصائصها الأساسية وقواعدها مثل الجمع، والضرب، والقسمة، التي تعد أساسية لتطبيق المشتقات في تحليل الدوال والظواهر المتغيرة.

أهداف التعلم
في نهاية هذه الحصة، سيكون الطالب قادراً على:

1. فهم المشتقة كحد يصف التغير اللحظي في دالة وكميل الخط المماس لمنحنى عند نقطة.
2. شرح كيف أن اشتقاقية الدوال تتضمن استمراريتها.
3. إثبات القواعد الأساسية للاشتقاق باستخدام التعريف الرسمي.
4. استخدام خصائص جبر المشتقات (الجمع، الضرب، والقسمة) في مسائل رياضية.

فهرس المحتويات:
مفهوم المشتقة
ميل الخط القاطع
الانتقال إلى الحد: المشتقة وميل الخط المماس
تعريف بديل
خصائص المشتقات
الاشتقاقية تتضمن الاستمرارية
جبر المشتقات

مفهوم المشتقة

تتميز الطبيعة بالتغير المستمر، والأداة الرياضية الأكثر أهمية لحساب وفهم هذا التغير هي المشتقة. تنبع المشتقة من طرح السؤال “ماذا سيحدث لقيمة دالة f(x) عندما يتم زيادة أو تقليل المتغير x بمقدار صغير جداً \Delta x؟”. يظهر مفهوم المشتقة كحد لدالة أثناء تحليل هذا السؤال.

ميل الخط القاطع

لنأخذ في الاعتبار دالة f(x) مقيمة عند نقطتين x_0 و x_0 + \Delta x. أي خط يقطع نقطتين من منحنى يسمى “الخط القاطع”، كما يظهر في الشكل.

ميل هذا الخط القاطع هو

\dfrac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} = \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

الانتقال إلى الحد: المشتقة وميل الخط المماس

إذا اعتبرنا الخط القاطع لمنحنى y=f(x) الذي يمر عبر x_0 و x_0 + \Delta x، ثم أخذنا الحد حيث \Delta x يميل إلى الصفر، فإننا نحصل على الخط المماس الذي يمر بالنقطة (x_0, f(x_0)).

من هنا تنشأ التعريف الرسمي للمشتقة لدالة f(x) عند نقطة x_0 كحد:

\displaystyle \dfrac{df(x_0)}{dx}:= \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

وهذا يمثل أيضاً ميل الخط المماس الذي يمر بالنقطة x_0.

تعريف بديل

طريقة بديلة لتقديم تعريف المشتقة كحد يمكن الحصول عليها من خلال الاستبدال التالي:

\begin{array}{rl} x_i &= x_0\\ x_f &= x_i + \Delta x \end{array}

وبذلك نجد أن \Delta x = x_f - x_i ويصبح تعريف المشتقة على الشكل التالي:

\begin{array}{rl} \displaystyle \dfrac{df(x_i)}{dx} &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{ f(x_i + \Delta x) - f(x_i)}{\Delta x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x_f - x_i \to 0} \dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x_f \to x_i } \dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i} \end{array}

كل من التعريفين مكافئان ويمكن التبديل بينهما حسب ما يناسب السياق.

خصائص المشتقات

يُقال إن الدالة قابلة للاشتقاق عند x_0 إذا كان الحد التالي موجوداً:

\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

وسنقول إنها قابلة للاشتقاق في مجموعة I إذا كان الحد مُعرَّفاً بشكل جيد لكل x_0 \in I. الدوال القابلة للاشتقاق تمتلك الخصائص التالية:

الاشتقاقية تعني الاستمرارية

إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند x_0، فإنها تكون مستمرة عند x_0. يمكننا إثبات ذلك من خلال الحجة التالية:

لكي تكون f(x) مستمرة عند x_0 يجب أن يتحقق:

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)

إذا فحصنا الجانب الأيسر من هذه المعادلة، سنجد أن:

\begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[ f(x) + f(x_0) - f(x_0) \right] \\ \\ &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[f(x_0) + \left( f(x) - f(x_0) \right) \right] \\ \\ &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[f(x_0) + \left( \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \right)(x-x_0) \right] \\ \\ &=f(x_0) +\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[ \left( \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \right)(x-x_0) \right] \\ \\ \end{array}

<>

من هنا نجد أنه لكي تكون f(x) مستمرة عند x_0، يجب أن يكون الحد على الجهة اليمنى محدداً بشكل جيد؛ وهذا يتحقق إذا وفقط إذا:

\displaystyle \lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} =\dfrac{df(x_0)}{dx}

بعبارة أخرى، إذا كانت f(x) قابلة للاشتقاق عند x_0. وبالتالي، إذا كانت f(x) قابلة للاشتقاق عند x_0، فإنها تكون مستمرة عند تلك النقطة.

جبر المشتقات

لتكن f وg دالتين قابلتين للاشتقاق عند جميع x \in I، ولتكن \alpha,\beta\in\mathbb{R}. إذن يتحقق:

1. \dfrac{d}{dx} \left( \alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) = \alpha \dfrac{df(x)}{dx} \pm \beta\dfrac{dg(x)}{dx}
2. \dfrac{d}{dx} \left( f(x) g(x) \right) = \dfrac{df(x)}{dx}g(x) + f(x)\dfrac{dg(x)}{dx}
3. إذا كان g(x)\neq 0، فإن \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x) \dfrac{dg(x)}{dx} }{\left[g(x)\right]^2}

كما نرى، فإن جبر المشتقات ليس بديهياً كما قد يبدو للوهلة الأولى؛ ومع ذلك، يمكن استنتاج برهان هذه الخصائص بسهولة نسبية من تعريف المشتقات كحدود.

البرهان:

برهان مشتقة الجمع هو كالتالي:

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left(\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) & =\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\left[\alpha f(x+\Delta x) \pm \beta g(x+ \Delta x)\right] - \left[\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \left[\alpha f(x+\Delta x) - \alpha f(x)\right] \pm \left[\beta g(x+\Delta x) - \beta g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \alpha \left[ f(x+\Delta x) - f(x)\right] \pm \beta \left[ g(x+\Delta x) - g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \alpha \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \pm \beta \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \alpha \dfrac{df(x)}{dx} \pm \beta \dfrac{dg(x)}{dx} \end{array}

أما برهان مشتقة الجداء فهو أكثر تعقيداً قليلاً ولكنه مباشر:

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left[f(x)g(x)\right] &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) g(x+\Delta x) - f(x) g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) g(x+\Delta x) + \color{red}f(x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x+\Delta x) \color{black} - f(x) g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\left[f(x+\Delta x) - f(x) \right] g(x+\Delta x) + f(x) \left[g(x+\Delta x) - g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x) \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ \\ &= g(x) \dfrac{df(x)}{dx} + f(x)\dfrac{dg(x)}{dx} \end{array}

هنا استفدنا من حقيقة أن g دالة قابلة للاشتقاق وبالتالي مستمرة، مما يعني أن \lim_{\Delta x\to 0 } g(x+\Delta x) = g(x). واستخدمنا جبر الحدود لاستنتاج البرهان.

أخيراً، برهان مشتقة القسمة يعتمد على نتيجة مشتقة الجداء. لتكن دالة بالشكل k(x) = f(x)/g(x)، حيث g(x)\neq 0. ومن هنا نجد:

\dfrac{df(x)}{dx}= \dfrac{d}{dx}(k(x)g(x)) = \dfrac{dk(x)}{dx}g(x) + k(x)\dfrac{dg(x)}{dx}

الآن، بحل \dfrac{dk(x)}{dx} نجد:

\dfrac{dk(x)}{dx}g(x) = \dfrac{df(x)}{dx} - k(x)\dfrac{dg(x)}{dx} = \dfrac{d}{dx}f(x) - \dfrac{f(x)}{g(x)}\dfrac{dg(x)}{dx}

ومن هنا:

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) &= \dfrac{dk(x)}{dx} =\dfrac{1}{g(x)} \dfrac{df(x)}{dx} - \dfrac{f(x)}{\left[g(x)\right]^2}\dfrac{dg(x)}{dx} \\ \\ & = \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x) \dfrac{dg(x)}{dx}}{[g(x)]^2} \end{array}

وهو المطلوب إثباته.