الجبر والإسقاطات في Rn، حاصل الضرب الاتجاهي في {\mathbb{R}^3}

ملخص:
تشكل هذه السلسلة متابعة مباشرة للسلسلة حول الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n. هنا سنراجع بعض مفاهيم الجبر الخطي التي تساعد على فهم أفضل للفضاء الإقليدي n-الأبعاد، وسنراجع مفاهيم إسقاط متجه على آخر، ونبرهن على نظرية فيثاغورس، ونختتم بمراجعة لحاصل الضرب الاتجاهي في \mathbb{R}^3 وعلاقته مع العمليات الأخرى في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد.

الفهرس
الاستقلالية الخطية، التعامد والإسقاطات
نظرية فيثاغورس والإسقاط على فضاء جزئي
الحاصل النقطي والاتجاهي في \mathbb{R}^3

الاستقلالية الخطية، التعامد والإسقاطات

المزج الخطي والاستقلالية الخطية

متجه غير صفري \vec{z} يمكن بناؤه كـ مزج خطي بالنسبة لمتجهات غير صفرية أخرى \vec{x} و\vec{y} إذا وُجد زوج من الأعداد الحقيقية \alpha و\beta، ليس كلاهما صفرياً في آن واحد، بحيث:

\vec{z} = \alpha \vec{x} + \beta\vec{y}

أي أن المتجه \vec{z} يمكن بناؤه كمجموع موزون للمتجهين \vec{x} و\vec{y}.

وبالمثل يقال إن المتجهين \vec{x} و\vec{y} هما مستقلان خطياً إذا

(\alpha \vec{x} + \beta\vec{y} = \vec{0} ) \longleftrightarrow (\alpha=0 \wedge \beta=0 )

إن الاستقلالية الخطية بين المتجهين \vec{x} و\vec{y} تعني أن \vec{y} لا يمكن الحصول عليه كمضاعف عددي (غير صفري) لـ\vec{x} ولا العكس.

يمكن توسيع مفهوم الاستقلالية الخطية الذي راجعناه للتو إلى مجموعات أكبر من المتجهات. فيقال إن مجموعة المتجهات غير الصفرية \{\vec{x}_1, \cdots, \vec{x}_n\} مستقلة خطياً عندما

\displaystyle \left[\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{x}_i \right) = \vec{0} \right] \longleftrightarrow \left[\bigwedge_{i=1}^n (\alpha_i = 0) \right]

الزاوية المتشكلة بين متجهين والتعامد

إذا تذكرنا متباينة كوشي-شفارتس، فإنها تخبرنا أن (\forall \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n)(|\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\| \|\vec{y}\|). وبأخذ هذا بعين الاعتبار، من السهل التأكد من أنه لأي زوج من المتجهات \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\} تتحقق العلاقة:

\displaystyle -1 \leq \frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|}\leq 1

يمكننا الآن استنتاج وجود علاقة بين الحاصل النقطي والزاوية التي يشكلها المتجهان \vec{x} و\vec{y}، لأنهما يولدان مستوى متطابق الشكل مع \mathbb{R}^2. ولهذا، ومن دون فقدان العمومية، يمكننا تخيلهما كعناصر في \mathbb{R}^2 مع زوايا بالنسبة للمحور \hat{x} قدرها \theta_x و\theta_y, على التوالي، بحيث تُكتب المتجهات بالشكل القطبي كما يلي:

\begin{array}{rl} \vec{x} &= \|\vec{x}\|(\cos(\theta_x) , \sin(\theta_x)) \\ \\ \vec{y} &= \|\vec{y}\|(\cos(\theta_y) , \sin(\theta_y)) \end{array}

وبالتالي يمكننا أن نفترض (دون فقدان العمومية، مرة أخرى) أن \theta_x \lt \theta_y, لنحسب بعد ذلك الحاصل النقطي \vec{x}\cdot\vec{y}. عند القيام بذلك نحصل على النتيجة التالية:

\begin{array}{rl}\vec{x}\cdot \vec{y} &= \|\vec{x}\| \|\vec{y}\| (\cos(\theta_x)\cos(\theta_y) + \sin(\theta_x)\sin(\theta_y)) \\ \\ &= \|\vec{x}\| \|\vec{y}\| \cos(\theta_y-\theta_x) \end{array}

الآن، وبأخذ الفرق بين الموضع الزاوي الأكبر والأصغر نحصل على الزاوية المحصورة بين المتجهين، \angle(\vec{x},\vec{y})=\theta_y - \theta_x. ومن هنا يمكننا كتابة:

\displaystyle \cos\left(\angle(\vec{x},\vec{y}) \right) = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|}

هنا يجب أن نؤكد أن \angle(\vec{x},\vec{y})\in [0, \pi]

انطلاقاً من هذا يمكننا ربط متباينة كوشي-شفارتس مع هندسة الزوايا، كما يسمح لنا ذلك بالحصول على مفهوم صارم للتعامد. يقال عن متجهين أنهما متعامدان عندما يشكلان فيما بينهما زاوية مقدارها \pi/2 راديان، بالمعنى الموضح في الفقرة السابقة. وهذا مكافئ للقول إن \cos\left(\angle(\vec{x},\vec{y})\right) = 0, وهو بدوره مكافئ للقول إن \vec{x}\cdot\vec{y} = 0. ولهذا السبب فإن تأكيد تعامد المتجهين \vec{x} و\vec{y} يعادل القول بأن \vec{x}\cdot\vec{y}=0.

إذا كان متجهان غير صفريين متعامدين، فإنهما مستقلان خطياً

هذه خاصية يمكن اعتبارها بديهية نوعاً ما للمتجهات في \mathbb{R}^n، إلا أن برهانها الرسمي ليس مباشراً، وهي أيضاً خاصية قد تسبب أحياناً بعض الالتباس: إن تعامد متجهين يعني استقلالهما الخطي، ولكن استقلالهما الخطي لا يعني بالضرورة أنهما متعامدان. ولرؤية هذا يكفي مثال معاكس بسيط:

إذا أخذنا المتجهين \vec{A}=(1,0) و\vec{B}=(1,1), اللذين من الواضح أنهما غير متعامدين لأن \vec{A}\cdot\vec{B}=1, سنرى أنه إذا قمنا بالعملية

\alpha\vec{A} + \beta\vec{B} = \vec{0}

إذن لدينا

\begin{array}{rl} \alpha + \beta &= 0 \\ \beta &= 0 \end{array}

وبالتالي: \alpha = 0 \wedge \beta=0. وبهذا نستنتج أن:

\alpha\vec{A} + \beta\vec{B} = \vec{0} \longleftrightarrow \alpha = 0 \wedge \beta=0

وهذا مكافئ للقول إن \vec{A} و\vec{B} مستقلان خطياً. ومن هنا يتضح بشكل صريح جداً أن الاستقلالية الخطية لا تعني بالضرورة التعامد. ومع ذلك فإن التعامد يعني الاستقلالية الخطية، وهو ما سأبرهنه رسمياً فيما يلي، ولأجل ذلك لننظر إلى مجموعة الفرضيات التالية:

\mathcal{H}= \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\cdot\vec{y}=0, \alpha\vec{x}+\beta\vec{y} = \vec{0}\}

انطلاقاً من هذا يمكننا بناء الاستدلال التالي:

\begin{array}{rll} (1) &\mathcal{H}\vdash \vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\} &{;\;افتراض}\\ \\ (2) &\mathcal{H}\vdash \vec{x}\cdot\vec{y}=0 &{\;افتراض} \\ \\ (3) &\mathcal{H}\vdash \alpha\vec{x} + \beta\vec{y} = \vec{0} &{\;افتراض} \\ \\ (4) &\mathcal{H}\vdash (\alpha\vec{x} + \beta\vec{y})\cdot\vec{x} = \alpha\|\vec{x}\|^2 + \beta(\vec{x}\cdot\vec{y}) &{;\; ثنائية الخطية} \\ \\ (5) &\mathcal{H}\vdash \alpha\|\vec{x}\|^2 = 0 & {;\; من (2,3,4)} \\ \\ (6) &\mathcal{H}\vdash \alpha = 0 & {;\; من (1,5)} \\ \\ (7) &\mathcal{H}\vdash (\alpha\vec{x} + \beta\vec{y})\cdot\vec{y} = \alpha(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \beta\|\vec{y}\|^2 & {;\;ثنائية الخطية} \\ \\ (8) &\mathcal{H}\vdash \beta\|\vec{y}\|^2 = 0 &{;\;من (2,3,7)} \\ \\ (9) &\mathcal{H}\vdash \beta = 0 &{;\;من (1,8)} \\ \\ (10) &\mathcal{H}\vdash \alpha= 0 \wedge \beta = 0 &{;\;\wedge-int(6,9)} \end{array}

وبذلك نستنتج أن

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\cdot\vec{y}=0, \alpha\vec{x}+\beta\vec{y} = \vec{0}\} \vdash \alpha= 0 \wedge \beta = 0

وأخيراً، بتطبيق مبرهنة الاستنتاج على هذه الصياغة الأخيرة نحصل على:

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\cdot\vec{y}=0\} \vdash (\alpha\vec{x}+\beta\vec{y} = \vec{0}) \rightarrow (\alpha= 0 \wedge \beta = 0)

البرهان الذي يعطي السهم في الاتجاه المعاكس بديهي.

أي أنه إذا كان \vec{x} و\vec{y} متجهين غير صفريين ومتعامدين، فإنهما مستقلان خطياً.

إسقاط متجه على آخر

لنفترض أن لدينا متجهين غير صفريين \vec{x} و\vec{y} يشكلان فيما بينهما زاوية \angle(\vec{x},\vec{y}) ونتساءل: “بأي مقدار يوجد المتجه \vec{x} على المتجه \vec{y}؟” أو “ما حجم ظل المتجه \vec{x} عند إسقاطه على اتجاه المتجه \vec{y}؟”. يمكننا حل هذا السؤال باستخدام علم المثلثات، وبذلك نعرّف إسقاط المتجه \vec{x} على متجه آخر \vec{y}, Proy_{\vec{y}}(\vec{x}), من خلال التعبير:

Proy_{\vec{y}}(\vec{x}) = \| \vec{x}\| \cos(\angle(\vec{x},\vec{y})) \hat{y}

وإذا جمعنا هذا مع ما رأيناه في الفقرات السابقة يمكننا كتابة:

\displaystyle Proy_{\vec{y}}(\vec{x}) = {\| \vec{x}\|} \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{{\|\vec{x}\|} \|\vec{y}\|}\right)\color{red}{\hat{y}} = \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{y}\|} \right)\color{red}{\frac{\vec{y}}{\|\vec{y}\|}} = \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{y}\|^2}\right)\vec{y} = \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\vec{y}\cdot\vec{y}}\right)\vec{y}

لأننا نتذكر

\displaystyle \cos(\angle(\vec{x},\vec{y})) = \frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{x}\| \|\vec{y}\|}

تُعتبر الإسقاطات مهمة لأنها تسمح لنا بتمثيل المتجهات بدلالة أي قاعدة على أنها مجموع إسقاطاتها:

\vec{x} = \displaystyle \sum_{i=1}^n \alpha_i \hat{u}_i

حيث إن \{\vec{u}_i\}_{i=1,\cdots, n} هي قاعدة لمتجهات مستقلة خطياً في \mathbb{R}^n، والمعاملات \alpha_i = (\vec{x}\cdot\vec{u}_i)/\|\vec{u}_i\| هي بالضبط الإسقاطات على كل عنصر من عناصر القاعدة وتشكل إحداثيات \vec{x} بالنسبة للقاعدة \{\hat{u}_i\}_{i=1,\cdots, n} في \mathbb{R}^n.

نظرية فيثاغورس والإسقاط على فضاء جزئي

نظرية فيثاغورس هي نتيجة معروفة لدى الجميع ولها عدد لا يحصى من البراهين. أحد البراهين الممكنة لهذه النظرية يظهر بالضبط من الموضوعات التي طورناها للفضاء الإقليدي مع ميزة إضافية هي صلاحيته لأي عدد من الأبعاد.

برهنة نظرية فيثاغورس

إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية بأضلاع a وb, والوتر c, فإن نظرية فيثاغورس تخبرنا أن a^2+b^2=c^2.وبناءً على ذلك يمكننا تمثيل كل ضلع بواسطة زوج من المتجهات المتعامدة \vec{x} و\vec{y} وكتابة نظرية فيثاغورس بالشكل التالي:

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} \leftrightarrow (\|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2)

حيث إن التعبير \vec{x}\bot\vec{y} يشير إلى أن كلا المتجهين متعامدان، أي غير صفريين ومثل أن \vec{x}\cdot\vec{y}=0. وبهذا يتم تأسيس علاقة ثنائية الشرط بين التعامد وجمع مربعات القيم العددية لمتجهين.

يمكن برهنة هذه الصياغة المتجهية لنظرية فيثاغورس من خلال الاستدلالين التاليين:

أولاً في اتجاه الذهاب:

\begin{array}{rll} (1) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} & {;\;افتراض} \\ \\ (2) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \vec{x}\cdot\vec{y}= 0 & {;\;من (1)} \\ \\ (3) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = (\vec{x} + \vec{y})\cdot(\vec{x} + \vec{y}) = \|\vec{x}\|^2 + 2(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \|\vec{y}\|^2 & \\ &;\; خاصية\;المعيار\;الإقليدي\;والحاصل\;النقطي & \\ \\ (4) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2 & {;\;من (2,3)} \\ \\ (5) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} \rightarrow ( \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2) & {;\;TD(4)} \end{array}

والآن في الاتجاه العكسي:

\begin{array}{rll} (1) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2 & {;\;افتراض} \\ \\ (2) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 +2(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \|\vec{y}\|^2 & \\ &;\; خاصية\;المعيار\;الإقليدي\;والحاصل\;النقطي &\\ \\ (3) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \vec{x}\cdot\vec{y}=0 & {;\;من (1,2)} \\ \\ (4) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} & {;\;من (3)} \\ \\ (5) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash (\|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2) \rightarrow \vec{x}\bot\vec{y} & {;\;TD(4)} \end{array}

وأخيراً، بضم الاستدلالين نحصل على ما كنا نريد برهنته:

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} \leftrightarrow (\|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2)

إسقاط متجه على فضاء جزئي من \mathbb{R}^n

لنعتبر فضاءً جزئياً H من \mathbb{R}^n يتكون من قاعدة من المتجهات الوحدة \{\hat{v}_1, \cdots, \hat{v}_k\}. إذا أخذنا متجهاً \vec{x}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, فإن إسقاط المتجه \vec{x} على الفضاء H يُعرّف بواسطة التعبير:

Proy_{H}(\vec{x}) = \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j

إن كون مجموعة ما متعامدة-مقننة يعني أن جميع عناصرها متعامدة فيما بينها وكل منها له معيار يساوي الواحد.

أي أن هذا، إن صح التعبير، هو الظل الذي يلقيه متجه على كل من مكونات الفضاء الجزئي H من \mathbb{R}^n

المسافة بين نقطة أو متجه من \mathbb{R}^n وفضاء جزئي من \mathbb{R}^n

انطلاقاً من إسقاط متجه \vec{x}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\} على فضاء جزئي H من \mathbb{R}^n يمكننا بناء متجه على النحو التالي

\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})

المتجه المشكل بهذه الطريقة سيكون متجهاً يصل بين نقطة من الفضاء الجزئي H والنقطة ذات الإحداثيات \vec{x}, بحيث يخرج عمودياً على الفضاء الجزئي H. وهذا ليس صعب البرهان، فإذا أخذنا متجهاً كيفياً \vec{z}\in H وحسبنا الحاصل النقطي (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z}, يكفي أن نرى أن نتيجة هذه العملية هي الصفر. لنقم بالحساب للتأكد من ذلك:

إذا كان \vec{z}\in H, فسيكون من الشكل

\vec{z}=\displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j

حيث إن \{\hat{v}_j\}_{j=1}^k هي قاعدة متعامدة-مقننة لـH و\beta_j \in\mathbb{R} هي معاملات \vec{z} في H. ومع أخذ هذا بعين الاعتبار فإن حساب الحاصل النقطي (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z}, سيعطي:

\begin{array}{rl} (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z} &= \left(\vec{x} - \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \right) \cdot \displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= \vec{x} \cdot \displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j - \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \end{array}

ولكن بما أن \vec{x} متجه في \mathbb{R}^n حيث H فضاء جزئي منه، فمن الممكن إيجاد مجموعة من n-k متجهات متعامدة-مقننة فيما بينها وفي الوقت نفسه متعامدة-مقننة مع جميع متجهات H, لنقل \{\hat{v}_{k+1}, \cdots, \hat{v}_n\}, بحيث تشكل مع قاعدة H قاعدة لـ\mathbb{R}^n ويمكن كتابة

\vec{x} = \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j + \sum_{j=k+1}^n \alpha_j \hat{v}_j

وبذلك يتابع التطوير أعلاه على الشكل التالي:

\begin{array}{rl} (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z} &= \displaystyle \left( \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j + \sum_{j=k+1}^n \alpha_j \hat{v}_j\right) \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j - \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j + \underbrace{\color{red}{\sum_{j=k+1}^n \alpha_j \hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j}}_{(*)} - \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j - \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= 0 \end{array}

(*) مجموع يساوي صفراً لأن \{v_j\}_{j=1}^n قاعدة متعامدة-مقننة لـ\mathbb{R}^n.

انطلاقاً من هذا يمكننا أن نبرهن أن المسافة بين الفضاء الجزئي H والمتجه \vec{x} تُعطى بـ:

\|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\|

برهان

لبرهنة هذه النتيجة سنبين أنه لأي \vec{z}\in H سيتحقق دائماً أن \|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\| \leq \|\vec{x} - \vec{z}\|, ولأجل ذلك سنستخدم نظرية فيثاغورس على النحو التالي:

\begin{array}{rl} \|\vec{x} - \vec{z}\|^2 &= \| \left(\vec{x} -Proy_{H}(\vec{x}) \right) + \left(Proy_{H}(\vec{x}) - \vec{z}\right)\|^2 \\ \\ &= \| \vec{x} -Proy_{H}(\vec{x}) \|^2 + \|Proy_{H}(\vec{x}) - \vec{z}\|^2 \\ \\ \end{array}

تُستنتج هذه المساواة الأخيرة لأن المتجهين \vec{x} -Proy_{H}(\vec{x}) وProy_{H}(\vec{x}) - \vec{z} متعامدان. وبالتالي:

\|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\|^2 \leq \|\vec{x} - \vec{z}\|^2

وهو ما كان مطلوباً برهنته.

وبهذا تكون لدينا النتيجة التي تمكّننا من القول إن المسافة بين نقطة \vec{x}\in\mathbb{R}^n وفضاء جزئي H من \mathbb{R}^n مولَّد بالمتجهات المتعامدة-المقننة \{\hat{v}_1, \cdots, \hat{v}_k\} تُعطى بـ:

dist(\vec{x},H) =\left\|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\right\|= \left\|\vec{x} - \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j\right\|

الحاصل النقطي والاتجاهي في \mathbb{R}^3

سنغير الآن تركيزنا قليلاً لنتوجه نحو متجهات \mathbb{R}^3. هنا، بالإضافة إلى العمليات التي راجعناها سابقاً عموماً في \mathbb{R}^n, يمكن أيضاً تعريف الحاصل الاتجاهي الذي يعطي كنتيجة متجهاً آخر انطلاقاً من حاصل ضرب متجهين. هذا حاصل ضرب خاص بـ\mathbb{R}^3 (وربما \mathbb{R}^7، وهو ما لن نناقشه هنا). وغالباً ما يُمثَّل متجهو القاعدة القياسية لـ\mathbb{R}^3 بواسطة الرموز \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} أو \hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}. وتبقى الأفضلية بينهما شخصية.

\begin{array}{rl} \hat{\imath} = \hat{x}&=(1,0,0)\\ \hat{\jmath} =\hat{y}&=(0,1,0)\\ \hat{k} =\hat{z}&=(0,0,1)\\ \end{array}

وهكذا، إذا كان لدينا متجه من الشكل (a,b,c), فيمكن كتابته في الصورة الجبرية كما يلي:

(a,b,c) = a\hat{x} + b\hat{y} + c\hat{z}

الحاصل الاتجاهي في \mathbb{R}^3

لتكن \vec{x}=(x_1,x_2,x_3) و\vec{y}=(y_1,y_2,y_3) متجهين في \mathbb{R}^3. يُعرَّف الحاصل الاتجاهي لـ\vec{x} مع \vec{y}, \vec{x}\times\vec{y} على النحو التالي:

\begin{array}{rl} \vec{x}\times\vec{y} &= \left|\begin{array}{ccc} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \end{array}\right| \\ \\ &=\hat{x}x_2y_3 + \hat{y}x_3y_1 + \hat{z} x_1y_2 - \left( \hat{z} x_2 y_1 + \hat{y} x_1 y_3 + \hat{x}x_3y_2\right) \\ \\ &=\hat{x}(x_2y_3 - x_3y_2) + \hat{y}(x_3y_1 - x_1y_3) + \hat{z}(x_1y_2 - x_2y_1) \end{array}

هوية لاغرانج

في حالة المتجهات في \mathbb{R}^3 يمكننا التعرف على ثلاثة أنواع من “الضرب”: النقطي \vec{x}\cdot\vec{y}, والاتجاهي \vec{x}\times\vec{y}, وضرب المعايير \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|. هذه الأنواع الثلاثة من الضرب مرتبطة فيما بينها من خلال هوية لاغرانج

\|\vec{x}\times\vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2- (\vec{x}\cdot\vec{y})^2

برهان هوية لاغرانج

لتكن \vec{x}=(x_1,x_2,x_3) و\vec{y}=(y_1,y_2,y_3) متجهين في \mathbb{R}^3, إذن لدينا:

\begin{array}{rl} \vec{x}\times\vec{y} &=(x_2y_3 - x_3y_2) \hat{x} + (x_3y_1 - x_1y_3)\hat{y} + (x_1y_2 - x_2y_1)\hat{z} \end{array}

وبالتالي:

\begin{array}{rl} \|\vec{x}\times\vec{y}\|^2 &=(x_2y_3 - x_3y_2)^2 + (x_3y_1 - x_1y_3)^2 + (x_1y_2 - x_2y_1)^2 \\ \\ &= \color{green}{x_2^2y_3^2 - 2x_2x_3y_3y_2 + x_3^2y_2^2} + \cdots\\ \\ &\cdots + \color{blue}{x_3^2y_1^2 - 2x_3x_1y_1y_3 + x_1^2y_3^2} + \cdots \\ \\ &\cdots + \color{red}{x_1^2y_2^2 - 2x_1x_2y_2y_1 + x_2^2y_1^2} \end{array}

من ناحية أخرى:

\begin{array}{rl} \|\vec{x}\|^2 \|\vec{y}\|^2 - (\vec{x}\cdot\vec{y})^2 &= (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2+y_2^2 + y_3^2) - (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3 y_3)^2 \\ \\ \\ &= {x_1^2y_1^2} + \color{red}{x_1^2y_2^2} + \color{blue}{x_1^2y_3^2} + \cdots \\ \\ &\cdots + \color{red}{x_2^2y_1^2} + {x_2^2y_2^2} + \color{green}{x_2^2y_3^2} + \cdots \\ \\ &\cdots + \color{blue}{x_3^2y_1^2} + \color{green}{x_3^2y_2^2} + {x_3^2y_3^2} + \cdots \\ \\ &\cdots - \left[ {x_1^2y_1^2} + {x_2^2y_2^2} + {x_3^2y_3^2} + \right. \cdots \\ \\ &\cdots + 2\left(\color{red}{x_1x_2y_1y_2} + \color{blue}{x_1x_3y_1y_3} + \color{green}{x_2x_3y_2y_3} \right)\left.\right] \\ \\ \\ &= \color{red}{x_1^2y_2^2 - 2x_1x_2y_2y_1 + x_2^2y_1^2} + \cdots \\ \\ & \cdots + \color{blue}{x_1^2y_3^2 - 2x_1x_3y_3y_1 + x_3^2y_1^2} + \cdots \\ \\ & \cdots + \color{green}{x_2^2y_3^2 - 2x_2x_3y_3y_2 + x_3^2y_2^2} \end{array}

وأخيراً، بمقارنة التعابير الملونة نحصل على ما كان مطلوباً برهنته.

الحاصل الاتجاهي والزاوية بين المتجهات

رأينا سابقاً أن هناك علاقة وثيقة بين الزاوية التي يشكلها متجهان ونتيجة الحاصل النقطي، وهذا يُعطى بالعلاقة \vec{x}\cdot\vec{y} = \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|\cos(\angle(\vec{x},\vec{y})). ويتضح أن شيئاً مشابهاً يحدث مع الحاصل الاتجاهي ويُعطى بالعلاقة التالية:

\|\vec{x}\times\vec{y}\| = \|\vec{x}\|\|\vec{y}\| \sin(\angle(\vec{x},\vec{y}))

وهذا التعبير هو نتيجة مباشرة لهوية لاغرانج التي برهناها أعلاه، ويكون البرهان تقريباً على النحو التالي:

\begin{array}{rl} \|\vec{x}\times\vec{y}\|^2 &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 - (\vec{x}\cdot\vec{y})^2 \\ \\ &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 - (\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|\cos(\angle(\vec{x},\vec{y})))^2 \\ \\ &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 - \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2\cos^2(\angle(\vec{x},\vec{y})) \\ \\ &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 (1 - \cos^2(\angle(\vec{x},\vec{y}))) \\ \\ &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 \sin^2(\angle(\vec{x},\vec{y})) \end{array}

وأخيراً، بأخذ الجذور نصل إلى:

\|\vec{x}\times\vec{y}\| = \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|\; |\sin(\angle(\vec{x},\vec{y}))|

لكن لنتذكر أن \angle(\vec{x},\vec{y})\in[0,\pi], وفي هذا النطاق تكون دالة الجيب دائماً غير سالبة، وبذلك يمكننا إزالة القيمة المطلقة ونصل إلى ما كان مطلوباً برهنته.

وانطلاقاً من هذا التعبير يمكننا أن نستنتج أن نتيجة العملية \|\vec{x}\times\vec{y}\| تعطينا مساحة المتوازي الناتج عن المتجهين \vec{x} و\vec{y}.