الانكسار في الواجهات الكروية
الملخص:
في هذا الدرس، سنقوم بتحليل الانكسار في الواجهات الكروية، مع التركيز على كيفية تصرف الضوء عند مروره عبر الأسطح الكروية وكيفية تكوين الصور. يتم تقديم المعادلات الرئيسية لحساب موضع الصور وحجمها. كما يتم استكشاف الحالات العملية، مثل العدسات وتقدير الأعماق الظاهرة.
أهداف التعلم:
بنهاية هذا الدرس، سيكون الطالب قادرًا على:
- فهم انكسار الضوء عند مروره عبر الواجهات الكروية.
- استنتاج واستخدام علاقة الجسم بالصورة للواجهات الكروية.
- تطبيق قانون سنيل في سياق الواجهات الكروية.
- تحديد موضع الصورة المتكونة عن طريق واجهة كروية.
- حساب التكبير للصورة من خلال الانكسار عند الأسطح الكروية.
- فهم الاتفاقية الخاصة بالإشارات لموضع وحجم الأجسام والصور.
- ربط الواجهات الكروية بالواجهات المستوية كحالة حدودية.
- تحليل تكوين الصور الممتدة من خلال الواجهات الكروية.
فهرس المحتويات
المقدمة
علاقة الجسم بالصورة للانكسار في الواجهات الكروية
استخراج العلاقات بين الزوايا
تقديم قانون سنيل
تكوين الصور الممتدة من خلال الانكسار على الجانب الآخر من الواجهات الكروية
الخلاصة
الواجهات المستوية كحالة حدودية للواجهات الكروية
تمارين
المقدمة
لقد درسنا بالفعل كيف يعمل الانكسار؛ أي ما يحدث عندما ينتقل الضوء من وسط إلى آخر. ولكن كل هذا قمنا بدراسته على افتراض أن السطح الفاصل بين الأوساط هو سطح مستوٍ. ومع ذلك، سواء في الطبيعة أو في التطبيقات العملية، ليس من الصعب العثور على عمليات انكسار في الواجهات الكروية. تشمل أمثلة ذلك العين البشرية (وكذلك عيون معظم الحيوانات) ومعظم الأجهزة البصرية المستخدمة في الحياة اليومية وفي التطبيقات الصناعية.
في الشكل التالي، نرى كيفية تكوين عدسة من خلال سطحين كرويين.
لدراسة تفصيلية لهذا النوع من الأجهزة، من الضروري مراجعة كيفية تصرف الضوء عند مروره من وسط إلى آخر عبر واجهة كروية.
علاقة الجسم بالصورة للانكسار في الواجهات الكروية
سنبدأ دراستنا بالتحقيق في كيفية تصرف الضوء عند مروره من وسط إلى آخر عبر واجهة كروية. للقيام بذلك، سننظر في كرة نصف قطرها R مصنوعة من مادة ذات معامل انكسار n_b مغمورة في وسط ذو معامل انكسار n_a.
استخراج العلاقات بين الزوايا
إذا قمنا بتحليل الزوايا في هذا الشكل، سنلاحظ ما يلي:
\begin{array}{rll} {(1)}& \theta_a & =\alpha + \phi \\ \\ {(2)}& \phi & =\beta + \theta_b \end{array}
البرهان
يتم الحصول على المعادلة الأولى من حقيقة أن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي زاويتين قائمتين:
\begin{array}{rl} & \alpha + \phi + (\pi - \theta_a) = \pi\\ \\ \equiv & \alpha + \phi - \theta_a = 0 \\ \\ \equiv & \color{blue}{\theta_a = \alpha + \phi} \end{array}
يتم الحصول على المعادلة الثانية بطريقة مماثلة:
\begin{array}{rl} & \beta + \theta_b + (\pi - \phi) = \pi\\ \\ \equiv & \beta + \theta_b - \phi = 0\\ \\ \equiv & \color{blue}{\phi = \beta + \theta_b } \end{array}
تقديم قانون سنيل
من الشكل، يمكننا أيضًا الحصول على التعبيرات التالية:
\begin{array}{rll} {(3)}&\tan(\alpha) &=\displaystyle \frac{h}{s+\delta}\\ \\ {(4)}&\tan(\beta) &=\displaystyle \frac{h}{s^\prime - \delta}\\ \\ {(5)}&\tan(\phi) &=\displaystyle \frac{h}{R - \delta} \end{array}
وبناءً على قانون سنيل، لدينا
\begin{array}{rl} {(6)} & n_a\sin(\theta_a) = n_b \sin(\theta_b)\end{array}
الآن، إذا أخذنا التقريب حيث \theta_a و\theta_b صغيرتان، فإن \alpha, \beta و\phi سيكونون أيضًا صغيرين، وسيكون لدينا:
من الشكل، يمكننا أيضًا الحصول على التعبيرات التالية:
\begin{array}{rl} \sin(\theta_a) &\approx \theta_a \\ \\ \sin(\theta_b) &\approx \theta_b \\ \\ \delta &\approx 0 \\ \\ \tan(\alpha) &\approx \alpha \\ \\ \tan(\beta) &\approx \beta \\ \\ \tan(\phi) &\approx \phi \end{array}
ثم من هذا ومن قانون سنيل، نحصل على:
\begin{array}{rl} {(7)} & n_a \theta_a \approx n_b \theta_b \\ \\ \equiv & \theta_b \approx \displaystyle \frac{n_a}{n_b} \theta_a \end{array}
الآن، من (7)، (1) و(2) نحصل على
\begin{array}{rl} {(8)} & \phi - \beta \approx \displaystyle \frac{n_a}{n_b}(\alpha + \phi) \\ \\ \equiv & \phi \approx \beta + \displaystyle \frac{n_a}{n_b}(\alpha + \phi) \\ \\ {}\equiv & n_b\phi \approx n_b\beta + n_a \alpha + n_a\phi \\ \\ \equiv & \color{blue}{n_a \alpha + n_b\beta \approx (n_b - n_a) \phi } \end{array}
وأخيرًا، من (8) والتقريبات والمعادلات (3)، (4) و(5)، نحصل على:
\begin{array}{rl} {(9)} & \displaystyle n_a \left( \frac{\color{red}{h}}{S + \underbrace{\delta}_{\to 0}} \right) + n_b \left(\frac{\color{red}{h}}{S^\prime - \underbrace{\delta}_{\to 0} } \right) \approx (n_b - n_a) \left(\frac{\color{red}{h}}{R-\underbrace{\delta}_{\to 0}}\right) \\ \\ \equiv & \displaystyle \color{blue}{\frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime } \approx \frac{n_b - n_a}{R} } \end{array}
هذه الأخيرة هي ما نسميه علاقة الجسم بالصورة للانكسار في الواجهات الكروية.
تكوين الصور الممتدة من خلال الانكسار على الجانب الآخر من الواجهات الكروية
الآن دعونا نرى ما يحدث عندما نغير مصدر الضوء النقطي إلى جسم ممتد. هذا موضح في الشكل التالي:
التحليل السابق يشير بالفعل إلى العلاقة بين S وS^\prime, الآن نحتاج فقط إلى إيجاد العلاقة بين أحجام الجسم والصورة.
من الشكل، لدينا:
\begin{array}{rl} \tan(\theta_a) & =\displaystyle \frac{y}{S} \\ \\ \tan(\theta_b) & =\displaystyle - \frac{y^\prime}{S^\prime} \end{array}
سنجمع هذا مع قانون سنيل
n_a\sin(\theta_a) = n_b\sin(\theta_b).
ولذلك، سنعتمد على حقيقة أنه بالنسبة للزوايا الصغيرة، ينطبق التقريب
\begin{array}{rl} \sin(\theta_a) & \approx \tan(\theta_a) \\ \\ \sin(\theta_b) & \approx \tan(\theta_b) \end{array}
وبالتالي يمكننا كتابة
\begin{array}{rl} &\displaystyle n_a \frac{y}{S} \approx- n_b \dfrac{y^\prime}{S^\prime} \\ \\ \equiv & \displaystyle \dfrac{y^\prime}{y} \approx - \dfrac{n_a S^\prime}{n_b S} \\ \\ \end{array}
الآن، بالرجوع إلى ما رأيناه بالنسبة للمرايا الكروية، لدينا شيء مشابه. في هذه المرحلة، يمكننا (إعادة) تعريف عامل التكبير m على النحو التالي:
m=\displaystyle \frac{y^\prime}{y}
وبالتالي:
\displaystyle \color{blue}{m\approx -\frac{n_a S^\prime}{n_b S}}
الخلاصة
باختصار، حتى الآن استخرجنا نتيجتين تسمحان لنا باستنتاج تكوين الصور عندما يمر الضوء المنبعث من جسم ما عبر واجهة كروية. هذه المعادلات هي كما يلي:
\begin{array}{rl} \displaystyle \dfrac{n_a}{S} + \dfrac{n_b}{S^\prime} & \approx \dfrac{n_b - n_a}{R} \\ \\ m & \displaystyle \approx - \dfrac{n_a S^\prime}{n_b S} \end{array}
من خلال هاتين المعادلتين، يمكنك حساب موضع الصورة، وكذلك اتجاه الصورة وحجمها، وستعملان بغض النظر عما إذا كان السطح المحدد مقعرًا أو محدبًا. ومع ذلك، في هذه المرحلة، من الضروري توضيح اتفاقية الإشارات.
اتفاقية الإشارات
من خلال هاتين المعادلتين، يمكنك حساب موضع الصورة، وكذلك اتجاه الصورة وحجمها، وستعملان بغض النظر عما إذا كان السطح المحدد مقعرًا أو محدبًا. ومع ذلك، في هذه المرحلة، من الضروري توضيح اتفاقية الإشارات.
يقسم السطح الفاصل الفضاء إلى منطقتين، واحدة يمكن أن يوجد فيها الجسم والأخرى يوجد فيها الصورة. بناءً على ذلك، لدينا:
- موضع الجسم S: موجب إذا كان على جانب الجسم، وسالب إذا كان على جانب الصورة.
- موضع الصورة S^\prime ونصف قطر الانحناء R: موجب إذا كان على جانب الصورة، وسالب إذا كان على جانب الجسم.
- حجم الجسم والصورة، y وy^\prime: موجب إذا كان فوق المحور البصري، وسالب إذا كان تحت المحور البصري.
الواجهات المستوية كحالة حدودية للواجهات الكروية
كل ما طورناه للواجهات الكروية يساعد أيضًا على فهم أفضل للواجهات المستوية. في الواقع، يمكننا أن نفهم السطح المستوي على أنه جزء من واجهة كروية ذات نصف قطر انحناء كبير جدًا؛ في الواقع، إذا أخذنا الحدود على علاقة الجسم بالصورة للواجهات الكروية عندما يميل نصف القطر إلى ما لا نهاية، لدينا:
\displaystyle \frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime} = \lim_{R\to \infty} \frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime } \approx \lim_{R\to \infty} \frac{n_b - n_a}{R} = 0
وإذا حسبنا عامل التكبير بناءً على هذا، نحصل على:
m=1
أي أن الصورة تحافظ على حجمها واتجاهها، ما يتغير هو موضعها الملحوظ.
تمارين
- أمام قضيب زجاجي أسطواني، يتم وضع جسيم كما هو موضح أدناه
- لنعتبر نفس القضيب من التمرين السابق، ولكن الآن هو تحت الماء. إذا وضعت إبرة بطول 1[سم] على نفس المسافة 30[سم], فاحسب موقع وارتفاع الصورة.
- ينظر شخص إلى قاع مسبح بهدف تقدير عمقه. كدليل، يستخدم سهمًا مرسومًا في القاع. ما العلاقة بين العمق الحقيقي والعمق الظاهر؟
