विभाजन का एल्गोरिद्म

इस कक्षा में हम विभाजन के एल्गोरिद्म को उस सिद्धांत के रूप में विकसित करेंगे जो पूर्णांकों के लिए अद्वितीय विघटन b=qa+r को औपचारिक रूप देता है, जहाँ 0\le r<|a| होता है। पहले भागफल और शेष की अस्तित्व को सिद्ध किया जाता है और उसके बाद उनकी एकात्मकता को। अंततः, शेष के अर्थ की व्याख्या की जाती है, सिद्धांत को गणना की प्रक्रिया के रूप में लंबे विभाजन के एल्गोरिद्म से जोड़ा जाता है, और मॉड्यूलर अंकगणित तथा संगणकीय अनुप्रयोगों के साथ इसके स्वाभाविक संबंध का पूर्वानुमान किया जाता है।

अधिगम उद्देश्य

इस कक्षा को पूरा करने पर विद्यार्थी सक्षम होगा:

1. पहचानने के लिए पूर्णांक विभाजन के मूलभूत संकल्पनाओं और भूमिकाओं (भाज्य, भाजक, भागफल, शेष) तथा विभाज्यता की धारणा को एक सटीक स्थिति के रूप में।
2. समझाने के लिए यूक्लिडीय विभाजन के एल्गोरिद्म/प्रमेय के कथन को, जिसमें शेष को निर्धारित करने वाली शर्तें (0\le r<|a|) तथा अस्पष्टताओं से बचने के लिए उनका उद्देश्य शामिल है।
3. लागू करने के लिए यूक्लिडीय विघटन b=qa+r का, ताकि ठोस उदाहरणों में q और r निर्धारित किए जा सकें और शेष की सीमा की पुष्टि की जा सके।
4. विश्लेषण करने के लिए भाज्य और भाजक के चिन्ह के अनुसार मामलों के उपचार का, यह औचित्य प्रस्तुत करते हुए कि यूक्लिडीय परंपरा शेष को गैर-ऋणात्मक क्यों बनाए रखती है।
5. निष्पादित करने के लिए लंबे विभाजन के एल्गोरिद्म को, स्थानिक निरूपण पर आधारित एक यांत्रिक प्रक्रिया के रूप में, ताकि q और r प्राप्त किए जा सकें।

विषयवस्तु सूची:
विभाजन और विभाज्यता
यूक्लिडीय विभाजन का प्रमेय
यूक्लिडीय विभाजन का प्रमाण
भागफल और शेष की व्याख्या
लंबा विभाजन एल्गोरिद्म
निष्कर्ष
प्रस्तावित और हल किए गए अभ्यास

विभाजन और विभाज्यता

अंकगणित में, विभाज्यता «सटीक» स्थिति का वर्णन करती है: a\mid b का अर्थ है कि b को ठीक-ठीक a के गुणज के रूप में लिखा जा सकता है। तथापि, यद्यपि किसी भी दो पूर्णांकों के बीच हमेशा विभाज्यता नहीं होती, फिर भी हम यह पूछ सकते हैं कि «एक संख्या दूसरी में कितनी बार समाहित होती है और, यदि वह ठीक-ठीक न हो, तो क्या शेष बचता है»। यही वह संदर्भ है जिसमें विभाजन का एल्गोरिद्म उत्पन्न होता है, जो यह सुनिश्चित करता है कि कोई भी पूर्णांक b को a के गुणज के साथ एक «शेष» जोड़कर लिखा जा सकता है।

उदाहरण के रूप में, a=3 और b=16 पर विचार करें। यह स्पष्ट है कि 3, 16 को विभाजित नहीं करता। फिर भी, विभाजन की क्रिया के लिए एक भागफल और एक शेष प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि

16 = 5\cdot 3 + 1

परिणामस्वरूप, b=16 को a=3 से विभाजित करने पर (जहाँ b भाज्य है और a भाजक है), जिसे 16/3 या 16\div 3 द्वारा निरूपित किया जाता है, भागफल के रूप में q=5 तथा शेष के रूप में r=1 प्राप्त होता है। सामान्य रूप में, विभाजन का एल्गोरिद्म यह कथन करता है कि किसी भी पूर्णांक a (भाजक) और b (भाज्य) के लिए, जहाँ a\neq 0, अद्वितीय पूर्णांक q और r अस्तित्व में होते हैं, ऐसे कि

b=qa+r,\qquad 0\le r<|a|

इस उदाहरण में, 16=3\cdot 5+1 है, और शर्त 0\le r<|a| इसलिए पूरी होती है क्योंकि 0\le 1<3। यह सूत्रीकरण तब अस्पष्टताओं से बचाता है जब भाजक (या भाज्य) ऋणात्मक हो सकता है, और यह सुनिश्चित करता है कि शेष हमेशा गैर-ऋणात्मक हो तथा भाजक के परिमाण से सख्ती से छोटा हो।

यूक्लिडीय विभाजन का प्रमेय

विभाजन के एल्गोरिद्म को लागू करने का परिणाम वही है जिसे यूक्लिडीय विभाजन कहा जाता है, और यह निम्नलिखित परिणाम पर आधारित है।

प्रमेय: मान लें कि a,b\in\mathbb{Z} हैं और a\neq 0। तब अद्वितीय q,r\in\mathbb{Z} अस्तित्व में होते हैं, ऐसे कि

b=qa+r,\qquad 0\le r<|a|.

पूर्णांक q को भागफल और r को शेष कहा जाता है, जो b को a से विभाजित करने पर प्राप्त होते हैं।

यूक्लिडीय विभाजन का प्रमाण

यह प्रमाण दो भागों में विभाजित है: पहले यह दिखाया जाता है कि भागफल और शेष अस्तित्व में हैं; और फिर, यह मानते हुए कि वे अस्तित्व में हैं, यह सिद्ध किया जाता है कि वे अद्वितीय हैं।

अस्तित्व

मान लें कि a,b\in\mathbb{Z} हैं और a\neq 0। d=|a| परिभाषित करें, ताकि d>0 हो। पहले हम b\ge 0 का मामला सिद्ध करेंगे: हम यह दिखाएँगे कि ऐसे q,r\in\mathbb{Z} अस्तित्व में हैं कि b=dq+r तथा 0\le r<d। इसके बाद हम b<0 के मामले पर विचार करेंगे। अंत में, हम d को |a| से प्रतिस्थापित करेंगे ताकि रूप b=qa+r प्राप्त हो, जहाँ 0\le r<|a|।

b\in\mathbb{Z} के लिए जहाँ b\ge 0 हो, हम प्रतिज्ञप्ति P(b) स्थापित करते हैं: «ऐसे q,r\in\mathbb{Z} अस्तित्व में हैं कि b=dq+r तथा 0\le r<d»। हम आगमन द्वारा सिद्ध करेंगे कि P(b) प्रत्येक b\ge 0 के लिए सत्य है।

आधार मामला: b=0 के लिए, q=0 और r=0 लेने पर 0=d\cdot 0+0 तथा 0\le 0<d प्राप्त होता है। अतः P(0) सत्य है।

आगमन चरण: मान लें कि k\ge 0 है और यह मान लें कि P(k) सत्य है। तब ऐसे q,r\in\mathbb{Z} अस्तित्व में हैं कि

k=dq+r,\qquad 0\le r<d.

दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर प्राप्त होता है

k+1=dq+(r+1).

इसके अतिरिक्त, 0\le r<d से यह निष्कर्ष निकलता है कि r+1\le d। परिणामस्वरूप, केवल दो स्थितियाँ संभव हैं: r+1<d या r+1=d।

स्थिति 1: यदि r+1<d हो, तो हम q'=q और r'=r+1 परिभाषित करते हैं। तब

k+1=dq'+r',\qquad 0\le r'<d.

स्थिति 2: यदि r+1=d हो, तो k+1=dq+d=d(q+1)+0। हम q'=q+1 और r'=0 परिभाषित करते हैं, और तब

k+1=dq'+r',\qquad 0\le r'<d.

दोनों स्थितियों में हमने ऐसे पूर्णांक q',r' निर्मित किए हैं कि k+1=dq'+r' तथा 0\le r'<d। अतः P(k+1) सत्य है। हम आगमन द्वारा निष्कर्ष निकालते हैं कि P(b) प्रत्येक b\ge 0 के लिए मान्य है।

अब b<0 के मामले पर विचार करें। तब -b>0 होता है। उपर्युक्त परिणाम को -b पर लागू करने से ऐसे q,r\in\mathbb{Z} अस्तित्व में हैं कि

-b=dq+r,\qquad 0\le r<d.

-1 से गुणा करने पर प्राप्त होता है

b=-dq-r.

यदि r=0 हो, तो q_1=-q और r_1=0 लेना पर्याप्त है, जिससे b=dq_1+r_1 तथा 0\le r_1<d प्राप्त होता है।

यदि r>0 हो, तो हम q_1=-q-1 और r_1=d-r परिभाषित करते हैं। चूँकि 0<r<d, इसलिए 0<d-r<d होता है, अर्थात् 0\le r_1<d। इसके अतिरिक्त,

dq_1+r_1=d(-q-1)+(d-r)=-dq-d+d-r=-dq-r=b.

परिणामस्वरूप, प्रत्येक b\in\mathbb{Z} के लिए ऐसे q_1,r_1\in\mathbb{Z} अस्तित्व में हैं कि b=dq_1+r_1 तथा 0\le r_1<d।

अंततः, स्मरण करें कि d=|a| है। यदि a>0, तो d=a और समानता b=dq_1+r_1 को b=aq_1+r_1 के रूप में लिखा जाता है, जहाँ 0\le r_1<|a|।

यदि a<0, तो d=-a और b=dq_1+r_1=(-a)q_1+r_1=a(-q_1)+r_1। q=-q_1 और r=r_1 परिभाषित करने पर प्राप्त होता है

b=qa+r,\qquad 0\le r<|a|.

इस प्रकार, किसी भी a,b\in\mathbb{Z} के लिए, जहाँ a\neq 0, q और r के अस्तित्व का प्रमाण पूर्ण हो जाता है।

एकात्मकता

मान लें कि ऐसे q,q',r,r'\in\mathbb{Z} अस्तित्व में हैं कि

b=qa+r=q'a+r',\qquad 0\le r,r'<|a|.

दोनों व्यंजकों को घटाने पर प्राप्त होता है

a(q-q')=r'-r.

चूँकि 0\le r,r'<|a|, इसलिए |r'-r|<|a| होता है। दूसरी ओर, बायाँ पक्ष a का गुणज है, और इसलिए |a| का भी गुणज है। |a| का एकमात्र पूर्णांक गुणज जिसका परिमाण |a| से सख्ती से छोटा हो, 0 है; वास्तव में, यदि |a| m \neq 0 हो और m\in\mathbb{Z}, तो \big| |a| m \big| \ge |a| होता है। अतः r'-r=0, अर्थात् r=r', और इसे b=qa+r में प्रतिस्थापित करने पर q=q' निष्कर्ष निकलता है। इस कारण यह विघटन एकात्मक है।

भागफल और शेष की व्याख्या

• «शेष» का अर्थ क्या है। यदि b=qa+r, तो r=b-qa वह है जो b से qa गुणज घटाने पर «बचता» है। दूसरे शब्दों में, r, a के गुणजों की जाली पर b को समायोजित करने का अवशेष है।
• क्यों आवश्यक है 0\le r<|a|। इस शर्त के बिना, युग्म (q,r) एकात्मक नहीं होता। वास्तव में, यदि b=qa+r, तो b=a(q+1)+(r-a) भी सत्य है। शर्त 0\le r<|a| शेष को एक स्थिर खिड़की \{0,1,2,\dots,|a|-1\} में सीमित करती है, और इस प्रकार उसी संख्या की अनंत «पुनः-लेबलिंग» को रोकती है।
• यदि a ऋणात्मक हो तो क्या होता है। प्रमेय बिना किसी परिवर्तन के मान्य रहता है: शेष गैर-ऋणात्मक रहता है और |a| से सीमित होता है। यह इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि कुछ प्रोग्रामिंग भाषाएँ शून्य की ओर ट्रंकेशन का उपयोग करती हैं और ऋणात्मक शेष उत्पन्न कर सकती हैं, जबकि गणित में शेष को «मानक» प्रतिनिधि बनाने के लिए परंपरा 0\le r<|a| अपनाई जाती है।

  इसके अतिरिक्त, जब a>0 हो, तो भागफल फ़्लोर के साथ मेल खाता है:

  q=\left\lfloor \frac{b}{a}\right\rfloor,\qquad r=b-a\left\lfloor \frac{b}{a}\right\rfloor.

लंबा विभाजन एल्गोरिद्म

यूक्लिडीय विभाजन के आधार पर संख्याओं के स्थानिक निरूपण का उपयोग करते हुए लंबे विभाजन के एल्गोरिद्म को लागू किया जा सकता है। यह एल्गोरिद्म एक गणनात्मक तकनीक है जो a,b\in\mathbb{Z} और a\neq 0 के साथ b\div a की गणना करते समय q और r के मानों को शीघ्रता से प्राप्त करने की अनुमति देता है।

इसे वर्णित करने के लिए, पहले हम कुछ उदाहरणों की समीक्षा करेंगे जो प्रक्रिया और एल्गोरिद्म के निष्पादन के दौरान संभावित स्थितियों को स्पष्ट करते हैं।

1. मान लें कि हम 57\div 4 की गणना करना चाहते हैं। यहाँ 57 भाज्य है और 4 भाजक है। इसे करने के लिए हम निम्नलिखित गणनाओं का क्रम अपनाएँगे:

   \begin{array}{rll} (1) & \color{red}57 \div 4 =\color{black} \\ & \text{विभाजन की क्रिया लिखें।} \\ \\ (2) & \color{red}5'\color{black}7 \div 4 = \\ & \text{भाज्य का पहला उपसर्ग (बाएँ से) अलग करें जो}\\ &\text{भाजक के बराबर या उससे बड़ा हो; इस स्थिति में 5।} \\ \\ (3) & 5'7 \div 4 = \color{red}1\color{black} \\ & \text{उस सबसे बड़े संख्या के बारे में सोचें जो $4$ से गुणा करने पर}\\ &\text{$5$ से कम या बराबर हो और उसे समानता के दाएँ लिखें। यह 1 है।} \\ \\ (4) & \begin{array}{ll}\phantom{-|}5'7 \div 4 &= 1 \\ \color{red}-|\underline{4}\color{black} & \\ \color{red}\phantom{-|}1\color{black} & \end{array} \\ & \text{परिणाम को भाजक से गुणा करें और चयनित मान से घटाएँ।} \\ \\ (5) & \begin{array}{ll}\phantom{-|}5'\color{red}7'\color{black} \div 4 &= 1 \\ -|\underline{4} & \\ \phantom{-|}1\color{red}7\color{black} & \end{array} \\ & \text{अगले अंक का चयन करें और उसे «नीचे उतारें»।} \\ \\ (6) & \begin{array}{ll}\phantom{-|}5'7' \div 4 &= 1\color{red}4\color{black} \\ -|\underline{4} & \\ \phantom{-|}17 & \\ \color{red}-|\underline{16}\color{black} & \\ \color{red}\phantom{-|}1\color{black} \end{array} \\ & \text{अंतिम प्राप्त संख्या के साथ क्रम को दोहराएँ।} \end{array}

   एल्गोरिद्म तब समाप्त होता है जब «नीचे उतारने» के लिए अंक समाप्त हो जाते हैं, और परिणामस्वरूप भागफल q=14 तथा शेष r=1 प्राप्त होता है। विशेष रूप से, शेष हमेशा भाजक से छोटा होगा।

2. मान लें कि हम 132\div 5 की गणना करना चाहते हैं। इसे करने के लिए हम निम्नलिखित गणनाओं का क्रम अपनाएँगे:

   \begin{array}{rl} (1) &1'32 \div 5 = \\ & \text{भाज्य का पहला उपसर्ग अलग करें और किसी प्राकृतिक संख्या को खोजें जो}\\ & \text{5 से गुणा करने पर उससे कम या बराबर हो। यदि संभव न हो,}\\ & \text{तो अगले अंक को शामिल करें जब तक कि यह संभव न हो जाए।} \\ \\ (2) &\begin{array}{ll}\phantom{-|}13'2 \div 5 &= 2 \\ -|\underline{10} & \\ \phantom{-|1}3 & \end{array}\\ & \text{जब पिछला चरण कार्य करे, तो एल्गोरिद्म को सामान्य रूप से निष्पादित करें।} \\ \\ (3) &\begin{array}{ll}\phantom{-|}13'2' \div 5 &= 26 \\ -|\underline{10} & \\ \phantom{-|1}32 & \\ \phantom{\,} -|\underline{30} & \\ \phantom{-|30} 2 & \end{array} \end{array}

3. यदि भाज्य में अधिक अंक हों, तो प्रक्रिया उसी प्रकार निष्पादित की जाती है। उदाहरण के लिए, 3521\div 12 की गणना करने पर प्राप्त होता है:

   \begin{array}{ll} \phantom{-|}35'2'1' \div 12 & = 293 \\ -|\underline{24} & \\ \phantom{-|}112 & \\ -|\underline{108} & \\ \phantom{-|10}41 & \\ \phantom{0}-|\underline{36} & \\ \phantom{10-|}5 & \\ \end{array}

4. यदि संख्याओं में से कोई एक ऋणात्मक हो, तो परिणाम प्रस्तुत करने के दो स्वीकार्य तरीके होते हैं। तथापि, संख्या सिद्धांत में मानक रूप वह है जिसमें शेष धनात्मक हो और इस प्रकार यूक्लिडीय विभाजन के अनुरूप हो। उदाहरण के लिए, यदि हम -598\div 21 की गणना करें, तो निम्नलिखित संभावित विकास प्राप्त होते हैं, जो दोनों ही पहचान के रूप में सही हैं:

   • ऋणात्मक शेष के साथ: यह क्रिया की शुरुआत में चिह्न हटाकर और अंत में उसे पुनः स्थापित करके प्राप्त किया जाता है।

     \begin{array}{ll} \phantom{-}59'8' \div 21 &= 28 \\ -|\underline{42} & \\ \phantom{-|'}178 & \\ \phantom{\,}-|\underline{168} & \\ \phantom{-|00}10 & \\ \end{array}

     इससे प्राप्त होता है कि:

     598 = 21 \times 28 + 10

     फिर, यदि हम पूरी समानता को -1 से गुणा करें, तो प्राप्त होता है:

     -598 = 21 \times (-28) - 10

     अतः, इस निरूपण में -598\div 21 का परिणाम भागफल q=-28 और शेष r=-10 होता है।

     और यदि हम पूरी समानता को पुनः -1 से गुणा करें, तो प्राप्त होता है:

     598 = (-21)\times(-28) + 10

     अतः 598\div (-21) का परिणाम भागफल q=-28 और शेष r=10 होता है।

   • धनात्मक शेष के साथ और यूक्लिडीय विभाजन के अनुरूप: पूर्ववर्ती विकास से प्राप्त होता है:

     -598 = 21 \times (-28) - 10

     फिर, इस समानता के दाएँ पक्ष में 0=21-21 जोड़ने पर प्राप्त होता है:

     -598 = 21 \times (-28) - 10 \color{red}+ 21 - 21\color{black} = 21\times(-29) + 11

     अतः, यूक्लिडीय विभाजन के अनुरूप रहते हुए, -598\div 21 की गणना का परिणाम भागफल q=-29 और शेष r=11 देता है।

   यूक्लिडीय विभाजन की परंपरा के अनुसार, केवल धनात्मक शेष वाला परिणाम ही यूक्लिडीय भागफल और शेष के अनुरूप होता है। तथापि, दोनों अभिव्यक्तियाँ सही पहचानें हैं और विभिन्न संदर्भों में उपयोगी हो सकती हैं। यद्यपि लंबा विभाजन एल्गोरिद्म ऋणात्मक शेष उत्पन्न कर सकता है, यह यांत्रिक रूप से परिणाम प्राप्त करने और अतिरिक्त चरणों के बिना बीजीय हेरफेर करने के लिए व्यावहारिक होता है। दूसरी ओर, धनात्मक शेष वाले परिणाम, जो यूक्लिडीय विभाजन के अनुरूप होते हैं, प्रत्येक अवशिष्ट वर्ग के लिए एक कैनोनिकल प्रतिनिधि निर्धारित करने की अनुमति देते हैं (उदाहरण के लिए, \{0,1,\dots,n-1\} में), जिससे पूर्णांकों का सटीक और अस्पष्टता-रहित वर्गीकरण संभव होता है। यह भी उल्लेखनीय है कि प्रतिनिधियों की अन्य परंपराएँ भी मौजूद हैं, जैसे सममित अवशेष, जो एक बार नियम निर्धारित हो जाने पर समान रूप से मान्य होती हैं।

निष्कर्ष

विभाजन का एल्गोरिद्म यह सुनिश्चित करता है कि प्रत्येक पूर्णांक विभाजन को अद्वितीय रूप से b=qa+r के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ 0\le r<|a| होता है। इससे भागफल और शेष की व्याख्या के लिए एक मानक मानदंड स्थापित होता है, यहाँ तक कि जब ऋणात्मक संख्याएँ सम्मिलित हों। लंबा विभाजन एल्गोरिद्म इस विघटन का केवल एक व्यावहारिक कार्यान्वयन है, जो स्थानिक निरूपण पर आधारित है और q तथा r की गणना यांत्रिक रूप से करने की अनुमति देता है। अंततः, यह यूक्लिडीय रूप न केवल अस्पष्टताओं से बचाता है, बल्कि मॉड्यूलर अंकगणित के साथ भी स्वाभाविक रूप से जुड़ता है: शेष r, a मापांक के अनुसार b की अवशिष्ट श्रेणी का एक कैनोनिकल प्रतिनिधि के रूप में कार्य करता है, जो संख्या सिद्धांत तथा संगणकीय अनुप्रयोगों की अनेक तकनीकों का आधार है, जिन्हें आगामी प्रस्तुतियों में देखा जाएगा।

प्रस्तावित और हल किए गए अभ्यास

यूक्लिडीय विभाजन

1. (हल किया गया) ऐसे q और r ज्ञात करें कि

   137 = 9q + r,\qquad 0\le r\lt 9.

   समाधान: उस सबसे बड़े संख्या को खोजें जो 9 से गुणा करने पर 137 से अधिक न हो। हमारे पास 15\times 9 = 135 और 16\times 9 = 144 हैं, अतः वांछित भागफल q=15 है। अब शेष r=137-9q की गणना करें और जाँचें कि 0\le r\lt 9। सत्यापन करने पर प्राप्त होता है:

   r=137-9\cdot 15=137-135=2.

   अतः 137=9\cdot 15+2 है, जहाँ 0\le 2\lt 9।

2. (हल किया गया) ऐसे q और r ज्ञात करें कि

   2025 = 37q + r,\qquad 0\le r\lt 37.

   समाधान: उस सबसे बड़े संख्या को खोजें जो 37 से गुणा करने पर 2025 से अधिक न हो। ध्यान दें कि 37\times 54 = 1998 और 37\times 55 = 2035 हैं, अतः वांछित भागफल q=54 है। अब शेष r=2025-37q की गणना करें और जाँचें कि 0\le r\lt 37। सत्यापन करने पर प्राप्त होता है:

   r=2025-37\cdot 54=2025-1998=27.

   अतः 2025=37\cdot 54+27 है, जहाँ 0\le 27\lt 37।

3. ऐसे q और r ज्ञात करें कि

   745 = 23q + r,\qquad 0\le r\lt 23.

4. ऐसे q और r ज्ञात करें कि

   -314 = 11q + r,\qquad 0\le r\lt 11.

5. ऐसे q और r ज्ञात करें कि

   598 = (-21)q + r,\qquad 0\le r\lt |-21|.

6. नियत शेष और पूर्णांकों की खोज। मान लें कि a=12 है।

   (a) उन सभी पूर्णांकों b के समुच्चय का वर्णन करें जिनकी 12 से यूक्लिडीय विभाजन में शेष r=5 है।

   (b) ऐसा न्यूनतम पूर्णांक b\gt 1000 ज्ञात करें जो उपर्युक्त शर्त को पूरा करता हो और संबंधित भागफल q निर्धारित करें।

लंबा विभाजन एल्गोरिद्म

प्रत्येक मामले में, भागफल q और शेष r की गणना करने के लिए लंबे विभाजन के एल्गोरिद्म को लागू करें। जब एल्गोरिद्म ऋणात्मक शेष प्रदान करे, तब परिणाम को यूक्लिडीय विभाजन के रूप में परिवर्तित करें।

1. 84\div 6.
2. 197\div 8.
3. 1256\div 7.
4. -3521\div 12.
5. -98765\div 24.
6. 845\div -13.
7. -12345\div -37.