किसी फलन के अधिकतम और न्यूनतम

किसी फलन का “सर्वश्रेष्ठ” बिंदु कहाँ होता है: वह अधिकतम जिसे आप प्राप्त करना चाहते हैं या वह न्यूनतम जिसे आपको टालना है? यह प्रश्न, जो अनुकूलन, भौतिकी, अर्थशास्त्र और अभियांत्रिकी में दिखाई देता है, अवकलन गणित के मुख्य अनुप्रयोगों में से एक है। और यहाँ महत्वपूर्ण बात आती है: वाइयरस्ट्रास का प्रमेय यह सुनिश्चित करता है कि यदि $f$ सतत है और आप एक बंद तथा परिबद्ध अंतराल पर कार्य कर रहे हैं, तो परम चरम मान अस्तित्व में होते हैं। इसके बाद प्रक्रिया व्यावहारिक हो जाती है: आलोचनात्मक बिंदुओं ( $f'(x)=0$ या अस्तित्व में नहीं) के माध्यम से स्थानीय चरम मानों की पहचान करना, और रोल तथा माध्य मान प्रमेय जैसे उपकरणों का उपयोग करके “अंधी” खोज को एक स्पष्ट, सत्यापन योग्य और कुशल विधि में परिवर्तित करना।

अधिगम उद्देश्य:

निष्पादित करना $[a,b]$ में परम चरम मान खोजने की एक पूर्ण प्रक्रिया: आंतरिक आलोचनात्मक बिंदुओं तथा अंतराल के सिरों पर $f$ का मान निकालना, और अधिकतम तथा न्यूनतम परम मान निर्धारित करने हेतु मानों की तुलना करना।
तुलना करना आवश्यक शर्त बनाम पर्याप्त शर्त के मान की: यह पहचानना कि “ $f'(x_0)=0$ ” स्थानीय चरम मान की गारंटी नहीं देता, और यह तय करना कि प्रत्येक स्थिति में कौन से अतिरिक्त प्रमाण (मानों की तुलना, संकेतों का विश्लेषण, स्थानीय व्यवहार) उपयुक्त हैं।
निर्धारित करना समस्या के प्रकार के अनुसार सबसे कुशल रणनीति: सघन अंतरालों में परम चरम मान (वाइयरस्ट्रास + सीमित मूल्यांकन) बनाम आंतरिक बिंदुओं पर स्थानीय चरम मान (आलोचनात्मक बिंदु + स्थानीय विश्लेषण), और चयन का औचित्य प्रस्तुत करना।

विषयवस्तु सूचकांक:
अधिकतम और न्यूनतम, परम और स्थानीय चरम मान
प्रथम अवकलज का मानदंड
रोल का प्रमेय
अवकलन का माध्य मान प्रमेय
वृद्धि और ह्रास के अंतराल

वाइयरस्ट्रास का प्रमेय हमें यह सुनिश्चित करता है कि यदि कोई वास्तविक मान वाला फलन $\mathbb{R}$ के किसी बंद और परिबद्ध उपसमुच्चय पर परिभाषित तथा सतत है, तो वह अनिवार्य रूप से अधिकतम और न्यूनतम मान (परम चरम मान) प्राप्त करता है। किसी फलन के अधिकतम और न्यूनतम की खोज को अनुकूलन समस्या कहा जाता है, और वाइयरस्ट्रास का प्रमेय हमें यह गारंटी देता है कि जब भी फलन सतत हो और डोमेन सघन हो, तब परम चरम मानों के अर्थ में समाधान अस्तित्व में होते हैं। अस्तित्व सुनिश्चित हो जाने के बाद, अब केवल ऐसी रणनीतियाँ विकसित करना शेष रहता है जो इन समाधानों को खोजने में सहायक हों।

अधिकतम और न्यूनतम, परम तथा स्थानीय चरम मान

समीक्षा प्रारंभ करने से पहले अधिकतम और न्यूनतम की खोज की रणनीतियों पर, यह स्पष्ट रूप से परिभाषित कर लें कि हम वास्तव में क्या खोजना चाहते हैं।

परिभाषा:
मान लें कि $f$ एक फलन है जिसका डोमेन $D$ है। हम कहेंगे कि $f$ बिंदु $x_0\in D$ पर परम अधिकतम प्राप्त करता है यदि:

$\left( \forall x \in D \right)\bigl(f(x) \leq f(x_0)\bigr)$

और वह $x_0$ पर परम न्यूनतम प्राप्त करेगा यदि:

$\left( \forall x \in D \right)\bigl( f(x_0) \leq f(x)\bigr)$

इसी प्रकार स्थानीय चरम मान (डोमेन के सापेक्ष) परिभाषित किए जाते हैं।

परिभाषा:
मान लें कि $f$ एक फलन है जिसका डोमेन $D$ है और $x_0\in D$ । हम कहेंगे कि $f$ बिंदु $x_0$ पर स्थानीय अधिकतम प्राप्त करता है यदि:

$(\exists h>0)\left( \forall x\in [x_0-h, x_0+h] \cap D \right)\bigl(f(x) \leq f(x_0)\bigr)$

और वह $x_0$ पर स्थानीय न्यूनतम प्राप्त करेगा यदि:

$(\exists h>0)\left( \forall x\in [x_0-h, x_0+h] \cap D \right)\bigl( f(x_0) \leq f(x)\bigr)$

इससे हम निम्नलिखित परिणाम को प्रस्तुत कर सकते हैं:

प्रमेय:

मान लें कि $x_0$ एक बिंदु है जो एक सघन अंतराल $I$ के आंतरिक भाग में स्थित है। यदि $f$ बिंदु $x_0$ पर एक स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम प्राप्त करता है और $f^\prime(x_0)$ अस्तित्व में है, तो $f^\prime(x_0)=0$ होगा।

प्रमाण:
मान लें कि $f$ बिंदु $x_0$ पर एक स्थानीय अधिकतम प्राप्त करता है। तब कोई $h_0 \gt 0$ अस्तित्व में है ऐसा कि प्रत्येक $h$ के लिए, जहाँ $|h|\lt h_0$ हो और $x_0+h\in I$ हो, यह सत्य है कि:

$f(x_0 + h)\leq f(x_0)$

जो कि निम्नलिखित के समतुल्य है:

$f(x_0 + h) - f(x_0)\leq 0$

अब हम दो स्थितियों पर विचार करें:

यदि $h>0$ हो, तो:
$\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\leq 0$
यदि $h\lt 0$ हो, तो:
$\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\geq 0$

यदि $f^\prime(x_0)$ अस्तित्व में है, तो जब $h\to 0$ हो, तब वृद्धि अनुपात की सीमा अस्तित्व में होती है और उसे दोनों असमानताओं के साथ संगत होना चाहिए, जिससे यह आवश्यक हो जाता है कि:

$\displaystyle f^\prime(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}= 0$

यही सिद्ध करना था।

यह ध्यान देना चाहिए कि यह प्रमाण स्थानीय न्यूनतम के लिए भी मान्य है। उस स्थिति में आरंभ किया जाता है: $f(x_0+h)\ge f(x_0)$ से, जब $|h|$ पर्याप्त रूप से छोटा हो।

प्रथम अवकलज का मानदंड

जिस परिणाम की हमने अभी समीक्षा की है उसे निम्नलिखित निहितार्थ में संक्षेपित किया जा सकता है:

$\left\{\begin{matrix}f \text{ प्राप्त करता है}\\ \text{ }x_0 \text{ पर एक स्थानीय चरम}\end{matrix}\right\} \Longrightarrow \left\{\begin{matrix} \displaystyle f^\prime(x_0) = 0 \\ \\ \vee \\ \\ \text{ }x_0 \text{ पर अवकलज अस्तित्व में नहीं है}\end{matrix}\right\}$

यद्यपि इस निहितार्थ का व्युत्क्रम सामान्यतः सत्य नहीं है, फिर भी यह स्थानीय चरम मानों की खोज को सीमित करने में अत्यंत उपयोगी है। इसी के आधार पर प्रथम अवकलज के आलोचनात्मक बिंदु परिभाषित किए जाते हैं।

परिभाषा:
कहा जाता है कि $x_0$ प्रथम अवकलज का एक आलोचनात्मक बिंदु है यदि $f^\prime(x_0)=0$ हो या यदि $f^\prime(x_0)$ अस्तित्व में न हो।

प्रथम अवकलज के आलोचनात्मक बिंदु महत्त्वपूर्ण होते हैं, क्योंकि जहाँ भी फलन (स्थानीय या परम रूप से) चरम मान प्राप्त करता है, वह बिंदु आलोचनात्मक बिंदुओं के समुच्चय में अवश्य सम्मिलित होता है:

$\left\{\begin{matrix}\text{वे बिंदु जो}\\ \text{परम रूप से चरम बनाते हैं}\end{matrix}\right\} \subseteq \left\{\begin{matrix}\text{वे बिंदु जो}\\ \text{स्थानीय रूप से चरम बनाते हैं}\end{matrix}\right\} \subseteq \left\{\begin{matrix}\text{प्रथम अवकलज के}\\ \text{आलोचनात्मक बिंदु}\end{matrix}\right\}$

इसे ही हम प्रथम अवकलज का मानदंड कहते हैं, जिसे आंतरिक बिंदुओं पर स्थानीय चरम मानों के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त के रूप में समझा जाता है।

रोल का प्रमेय

हम पहले ही देख चुके हैं कि प्रथम अवकलज के आलोचनात्मक बिंदुओं का निर्धारण स्थानीय चरम मानों की खोज में अत्यंत महत्वपूर्ण है। इसी कारण यह स्वाभाविक है कि यह जाँचा जाए कि किन परिस्थितियों में ऐसे आलोचनात्मक बिंदुओं के अस्तित्व की गारंटी दी जा सकती है। इस दिशा में एक महत्वपूर्ण प्रगति रोल के प्रमेय से प्राप्त होती है।

प्रमेय:
मान लें कि $f$ एक फलन है जो $[a,b]$ पर परिभाषित और सतत है, तथा $]a,b[$ पर अवकलनीय है। यदि $f(a)=f(b)$ हो, तो ऐसा एक $c\in]a,b[$ अस्तित्व में है जिसके लिए $f^\prime(c)=0$ होता है।

प्रमाण:
हम दो संभावनाओं का विश्लेषण करेंगे:

यदि प्रत्येक $x\in]a,b[$ के लिए $f(x)=f(a)=f(b)$ हो, तो $f$ स्थिर है और परिणामस्वरूप $f^\prime(x)=0$ प्रत्येक $x\in]a,b[$ के लिए होता है। विशेष रूप से, ऐसा एक $c\in]a,b[$ अस्तित्व में है जिसके लिए $f^\prime(c)=0$ ।
यदि कोई $x\in]a,b[$ ऐसा है कि $f(x)\neq f(a)=f(b)$ , तो $f$ स्थिर नहीं है। चूँकि $f$ $[a,b]$ पर सतत है, वाइयरस्ट्रास के प्रमेय के अनुसार वह $[a,b]$ पर एक परम अधिकतम और एक परम न्यूनतम प्राप्त करता है।
इसके अतिरिक्त, क्योंकि $f(a)=f(b)$ और $f$ स्थिर नहीं है, इन चरम मानों में से कम से कम एक का घटित होना आंतरिक भाग $]a,b[$ में ही होगा।
अतः यदि $c\in]a,b[$ एक आंतरिक बिंदु है जहाँ $f$ एक स्थानीय चरम मान प्राप्त करता है। चूँकि $f$ $]a,b[$ पर अवकलनीय है, विशेष रूप से $f^\prime(c)$ अस्तित्व में है, और पूर्ववर्ती प्रमेय के अनुसार निष्कर्ष निकाला जाता है कि $f^\prime(c)=0$ ।

अवकलन का माध्य मान प्रमेय

एक अन्य परिणाम, जो अभी-अभी देखे गए परिणामों का प्रत्यक्ष परिणाम है और जो फलनों के अध्ययन के लिए उपयोगी जानकारी प्रदान करता है, वह अवकलन के लिए माध्य मान प्रमेय है।

प्रमेय:
मान लें कि $f$ एक फलन है जो $[a,b]$ पर परिभाषित और सतत है, तथा $]a,b[$ पर अवकलनीय है। तब ऐसा एक $c\in]a,b[$ अस्तित्व में है कि:

$f^\prime(c) =\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

प्रमाण:
मान लें कि $F$ वह फलन है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$F(x) = f(x) - \displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b-a}(x-a)$

यह फलन $[a,b]$ पर सतत है और $]a,b[$ पर अवकलनीय है, क्योंकि $f$ भी ऐसा ही है। इसके अतिरिक्त, $F(a)=F(b)$ है, अतः हम रोल के प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं और निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ऐसा एक बिंदु $c\in]a,b[$ अस्तित्व में है जिसके लिए $F^\prime(c)=0$ ।

अब, $F$ का अवकलन करने पर प्राप्त होता है:

$F^\prime(x) = f^\prime(x) - \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

$c$ पर मान निकालते हुए और $F^\prime(c)=0$ का उपयोग करते हुए:

$0=F^\prime(c) = f^\prime(c) - \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

अतः:

$f^\prime(c) = \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

यही सिद्ध करना था।

वृद्धि और ह्रास के अंतराल

प्रमेय:

यदि $f$ एक फलन है ऐसा कि $(\forall x\in ]a,b[)\left(0\lt f^\prime(x)\right)$ , तब $f$ $]a,b[$ में सख्ती से बढ़ने वाला है।
यदि $f$ एक फलन है ऐसा कि $(\forall x\in ]a,b[)\left(f^\prime(x)\lt 0\right)$ , तब $f$ $]a,b[$ में सख्ती से घटने वाला है।

प्रमाण:
मान लें कि $x_1,x_2\in ]a,b[$ ऐसे हैं कि $x_1 \lt x_2$ । चूँकि $f$ $]a,b[$ में अवकलनीय है, हम $f$ पर $[x_1,x_2]\subset ]a,b[$ अंतराल में माध्य मान प्रमेय लागू कर सकते हैं। परिणामस्वरूप, ऐसा एक बिंदु $c\in]x_1,x_2[$ अस्तित्व में है कि:

$f^\prime(c) = \displaystyle\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

इससे:

यदि $f^\prime(c) \gt 0$ , तब $f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)(x_2 - x_1) \gt 0$ ।
अतः $f$ बढ़ने वाला है।
यदि $f^\prime(c) \lt 0$ , तब $f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)(x_2 - x_1) \lt 0$ ।
अतः $f$ घटने वाला है।

अधिकतम और न्यूनतम का अध्ययन केवल “अवकलज निकालना” भर नहीं है, बल्कि एक अस्पष्ट खोज को ऐसी प्रक्रिया में रूपांतरित करना है जिसमें स्पष्ट मानदंड और गारंटियाँ हों। वाइयरस्ट्रास यह बताता है कि कब आप यह भरोसा कर सकते हैं कि किसी सघन अंतराल में एक इष्टतम मान अस्तित्व में है, जबकि प्रथम अवकलज का मानदंड, रोल का प्रमेय और माध्य मान प्रमेय आपको प्रत्याशियों को खोजने और निष्कर्षों को औचित्य प्रदान करने का मानचित्र देते हैं: किसी फलन का चरम कहाँ हो सकता है, कब वह शर्त केवल आवश्यक होती है, और कैसे $f'$ का संकेत वृद्धि और ह्रास को प्रकट करता है। यदि आप इस विचार-श्रृंखला में निपुण हो जाते हैं, तो आप केवल अंतःप्रेरणा से ग्राफ देखने से आगे बढ़कर सत्यापन योग्य तर्कों के साथ अनुकूलन समस्याएँ हल करने लगते हैं, और यही “मुझे लगता है कि सबसे अच्छा बिंदु यहाँ है” तथा “मुझे पता है कि वह यहाँ क्यों होना चाहिए” के बीच का वास्तविक अंतर है।