Cum retractavimus quae ad spatia exemplaria spectant, vidimus haec duo genera habere: alia discreta et alia continua. Item consideravimus quid constituat distributionem probabilitatis discretam. Nunc tempus est distributionum continuarum probabilitatis.

Quid sunt distributiones continuae probabilitatis?

Dicemus variabilem aleatoriam X distributionem continuam probabilitatis habere si exstat functio f_X : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+, quam appellabimus Densitatem X, talis ut \forall A \subseteq \mathbb{R} valeat aequalitas

P(X\in A) = \displaystyle \int_A f_X(x)dx

In specie, si sumimus A=]a,b] habebitur

P(a\lt X \leq b) = \displaystyle \int_a^b f_X(x)dx

et si a=-\infty

F_X(x) = P( X \leq x) = \displaystyle \int_{-\infty}^x f_X(t)dt

Praeterea, ex proprietate (c) distributionum probabilitatis habebitur

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)dt = 1

Applicando theorema fundamentale calculi super hanc ultimam expressionem habetur quod pro distributione continua, F_X(x), continua est pro omnibus x, et eius derivata est f_X(x) pro omnibus valoribus x ubi f_X(x) est continua. Ex continuitate F_X(x) et proprietate (d) (vide hic) deducitur quod:

P(x=X)=0

Et propterea

P(x\leq X)= P(x\lt X)

Si f est quaelibet functio quae satisfacit f\geq 0 et \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1, tunc dicitur densitas.

Quinque distributiones continuae probabilitatis notissimae

Distributio Exponentialis

Functio distributionis exponentialis cum parametro \alpha \gt 0 est functio distributionis F huius formae.

F(t) = \left\{\begin{array}{lll} 1 - e^{-t/\alpha} & ; & t\geq 0 \\ \\ 0 & ; & t\lt 0 \end{array}\right.

Quapropter, eius functio densitatis est huius formae

\displaystyle f(t) = \left\{\begin{array}{lll} \frac{1}{\alpha}e^{-t/\alpha} & ; & t\geq 0 \\ \\ 0 & ; & t\lt 0 \end{array}\right.

Si variabilis aleatoria distributionem exponentialem cum parametro \alpha habet, scribimus X\sim Ex(\alpha).

In contextu distributionis Poisson, si habemus specimen radioactivum quod particulam emittit cum rata emissionis media c, tunc momentum temporis T quo primam particulam emittit distributionem exponentialem cum parametro 1/c. habet. Aliis verbis T\sim Ex(1/c), et proinde:

P(T\geq t)= e^{-ct}

Distributio Uniformis Rectangula

Distributio uniformis rectangula super intervallo [a,b] est ea quae definita est per functionem densitatis

f(x) = \left\{\begin{array}{lll} \displaystyle\frac{1}{b-a} & ; & x\in[a,b] \\ \\ 0 & ; & C.A.S. \end{array}\right.

Si dimittimus parvam sphaerulam in binario cum limitibus in extremis intervalli [a,b], et haec resilit elasticiter cum marginibus colliditur, tunc variabilis aleatoria X quae cum positione quietis sphaerulae propter attritionem associatur distributionem uniformem rectangulam habet et scribitur X\sim Un(a,b).

Distributio Normalis (Gaussiana)

Inter distributiones continuas probabilitatis, distributio normalis est una ex usitatissimis in praxi.

Distributio normalis standardis

Definita est densitas normalis standardis per functionem

\displaystyle \phi_{0,1}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}

Ex definitione sua, manifestum est \phi\gt 0. Quapropter, verificari potest hanc esse densitatem probabilitatis simpliciter comprobando quod

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{0,1}(x)dx

Haec ultima aequalitas demonstrari potest computando valorem I^2 cum I =\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(x)dx=1. Re vera, habetur:

\begin{array}{rl} I^2 & = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} dx \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}dx \\ \\ & = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} dx \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/2} dy \\ \\ & = \displaystyle \frac{1}{{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} dxdy \\ \\ \end{array}

At vero

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} dxdy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{+\infty} e^{-r^2/2} rdr d\theta = 2\pi

Itaque I^2 = 1, unde I=\int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{0,1}(x)dx = 1.

Ex densitate normali standardi definitur distributio normalis standardis \Phi_{0,1}(x) = \int_{-\infty}^x\phi_{0,1}(t)dt. Si variabilis aleatoria X distributionem normalem standardem habet, tunc scribitur X\sim N(0,1). Distributio \Phi_{0,1}(x) explicite computari non potest, attamen tabulae exstant quae permittunt celeriter valores approximatos obtinere.

Distributio normalis cum parametris \mu et \sigma

Ex densitate distributionis normalis standardis \phi_{0,1} fieri potest construere densitatem pro distributione normali cum parametris \mu et \sigma, ubi \mu\in\mathbb{R} et \sigma\gt 0 sunt, respective, media et deviatio standardis. Densitas distributionis normalis his parametris sic scribitur:

\displaystyle\phi_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma}\phi_{0,1}\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)

Ita distributio normalis cum parametris \mu et \sigma, \Phi_{\mu,\sigma}(x), habetur huius formae

\displaystyle \Phi_{\mu,\sigma}(x) = \int_{-\infty}^x\frac{1}{\sigma}\phi_{0,1}\left(\frac{t-\mu}{\sigma} \right)dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt

Si variabilis aleatoria X distributionem normalem cum parametris \mu, \sigma, habet, tunc scribitur X\sim N(\mu, \sigma).

Distributio Weibull

Distributio Weibull cum parametris \alpha,\beta \gt 0 habet functionem distributionis huius formae

F(t) = \left\{\begin{array}{llr} \left(1 - e^{-t/\alpha} \right)^\beta &;& t\geq 0 \\ \\ 0 &;& t\lt 0 \end{array}\right.

Si variabilis aleatoria X distributionem Weibull cum parametris \alpha, \beta habet, scribitur X\sim We(\alpha,\beta). Distributio Weibull est generalizatio ad distributionem exponentialem, animadvertendum est We(\alpha,1) = Ex(\alpha).

Distributio Gamma

Distributio Gamma cum parametris \beta,\alpha habet functionem densitatis huius formae

f(t) = \left\{\begin{array}{llr} \displaystyle \frac{1}{\alpha \Gamma(\beta)}\left(\frac{t}{\alpha} \right)^{\beta-1}e^{-t/\alpha} &;& t\geq 0 \\ \\ 0 &;& t\lt 0 \end{array}\right.

Ubi \Gamma(s) = \displaystyle \int_0^{+\infty}u^{s-1}e^{-u}du est quod “Functio Gamma” appellatur.

Una ex proprietatibus insignissimis functionis Gamma est quod sinit generalizare factoriales numerorum naturalium super reales (atque etiam complexos). Non difficile est verificare \Gamma(s+1) = s\Gamma(s) per integrationem partium. Praeterea, cum \Gamma(1)=1 fit ut

\left(\forall n\in\mathbb{N}\right)\left(\Gamma(n) = (n-1)! \right)

Si variabilis aleatoria X distributionem Gamma cum parametris \beta, \alpha habet, scribitur X\sim Ga(\alpha,\beta). Distributio Gamma est alia generalizatio ad distributionem exponentialem, animadvertendum est Ga(\alpha,1) = Ex(\alpha).

In processu Poisson cum frequentia c (sicut in deiectione radioactiva), si T est variabilis aleatoria quae repraesentat momentum quo fit eventus m-us; tunc, dato t\geq 0 et numero N eventuum qui occurrunt in intervallo temporis [0,t] habebitur t\lt T \leftrightarrow N\lt m et, cum N\sim Po(ct), habetur:

1-F_T(t) = P(T\gt t) = \displaystyle \sum_{k=0}^{m-1}Po(k; ct)=e^{-ct}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{(ct)^k}{k!}

Quare, si hoc derivamus inveniemus functionem densitatis esse

\displaystyle f(t) = ce^{-ct}\frac{(ct)^{m-1}}{(m-1)!}

Itaque, T\sim Ga(1/c, m).

Exercitia

1. Invenire constantem c talem ut \displaystyle f(x) = \frac{c}{x^2+1} sit densitas probabilitatis et computare correspondentem functionem distributionis probabilitatis (distributio Cauchy).
2. Ex functione densitatis distributionis Un(a.b), determinare suam correspondentem functionem distributionis.
3. Demonstrate functionem \Phi_{\mu,\sigma}(x) esse functionem distributionis probabilitatis.