Derivata ut Limes Functionis

Summarium:
In hac lectione explorabimus notionem derivatae ut instrumentum mathematicum ad mutationes in functionibus investigandas. Incipiemus a declivitate lineae secantis et, capto limite cum puncta appropinquant, definibimus derivatam ut declivitatem tangenti. Praeterea proprietates eius praecipuas atque regulas, ut additionis, multiplicationis et divisionis, investigabimus, fundamentales ad applicationem derivatarum in analysi functionum et phaenomenorum mutationis.

Proposita Discendi
Ad finem huius lectionis, studiosus poterit:

1. Intellegere derivatam ut limitem qui mutationem instantaneam in functione describit atque ut declivitatem lineae tangentis ad curvam in puncto.
2. Explicare quomodo derivabilitas implicationem habeat continuitatis in functionibus.
3. Demonstrāre regulas fundamentales derivandi ex definitione formali.
4. Adhibere proprietates algebrae derivatarum (additio, multiplicatio et divisio) in problematibus mathematicis.

INDEX CONTENTORUM:
Notio derivatae
Declivitas lineae secantis
Transitus ad limitem: Derivata et declivitas lineae tangentis
Definitio alternativa
Proprietates Derivatarum
Derivabilitas implicat continuitatem
Algebra derivatarum

Notio derivatae

Natura in universum est susceptibilis mutationis, et instrumentum mathematicum praecipuum ad mutationem computandam atque intellegendam est Derivata. Haec oritur ex interrogatione “quid fiet cum valore functionis f(x) cum variabilis x augetur vel minuitur quantitate tam parva quam volumus \Delta x?”. Notio derivatae emergit ut limes functionis dum haec quaestio investigatur.

Declivitas lineae secantis

Consideremus functionem f(x) in duobus punctis aestimatam x_0 et x_0 + \Delta x. Omnis linea quae duos punctos curva intersecat appellatur “linea secans” et apparet sicut in imagine monstratur.

Haec linea secans in specie habet declivitatem

\dfrac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} = \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

Transitus ad limitem: Derivata et declivitas lineae tangentis

Si consideremus lineam secantem curvae y=f(x) quae transit per x_0 et x_0 + \Delta x, deinde capiamus limitem cum \Delta x tendit ad nihilum, quod obtinebimus est linea tangens curvae quae transit per (x_0, f(x_0)).

Ex hoc emergit definitio formalis derivatae functionis f(x) in puncto x_0 ut limes

\displaystyle \dfrac{df(x_0)}{dx}:= \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

quae simul repraesentat declivitatem lineae tangentis quae transit per x_0.

Definitio alternativa

Modus alternativus exhibendi definitionem derivatae ut limitem obtinetur ex hac substitutione:

\begin{array}{rl} x_i &= x_0\\ x_f &= x_i + \Delta x \end{array}

Hoc habebimus \Delta x = x_f - x_i et definitio derivatae se habebit hoc modo

\begin{array}{rl} \displaystyle \dfrac{df(x_i)}{dx} &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{ f(x_i + \Delta x) - f(x_i)}{\Delta x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x_f - x_i \to 0} \dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x_f \to x_i } \dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i} \end{array}

Utraque definitio aequipollens est et adhiberi potest alternatim pro opportunitate.

Proprietates Derivatarum

Dicitur functio derivabilis esse in x_0 cum existat limes

\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

Et dicemus eam derivabilem esse in coniunctione I si limes bene definitus est pro omnibus x_0\in I. Functiones derivabiles has proprietates habent:

Derivabilitas implicat continuitatem

Si functio derivabilis est in x_0, tunc continua est in x_0. Hoc demonstrare possumus per sequentem rationem.

Ut f(x) sit continua in x_0 necesse est ut impleatur:

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)

Si latus sinistrum huius expressionis examinemus habebimus:

\begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[ f(x) + f(x_0) - f(x_0) \right] \\ \\ &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[f(x_0) + \left( f(x) - f(x_0) \right) \right] \\ \\ &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[f(x_0) + \left( \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \right)(x-x_0) \right] \\ \\ &=f(x_0) +\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[ \left( \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \right)(x-x_0) \right] \\ \\ \end{array}

Hinc habetur ut, ut f(x) sit continua in x_0, necesse sit ut limes dexter bene definitus sit; quod fit si et solum si

\displaystyle \lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} =\dfrac{df(x_0)}{dx}

Aliter dicendo, si f(x) derivabilis est in x_0. Consequenter, si f(x) derivabilis est in x_0, tunc continua est in illo puncto.

Algebra derivatarum

Sint f et g functiones derivabiles pro omnibus x\in I, et sint \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Tunc habetur:

1. \dfrac{d}{dx} \left( \alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) = \alpha \dfrac{df(x)}{dx} \pm \beta\dfrac{dg(x)}{dx}
2. \dfrac{d}{dx} \left( f(x) g(x) \right) = \dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x)\dfrac{dg(x)}{dx}
3. Si g(x)\neq 0, tunc \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x) \dfrac{dg(x)}{dx} }{\left[g(x)\right]^2}

Ut videre possumus, algebra derivatarum non est tam intuitiva quam primo aspectu videri potest; tamen demonstratio harum proprietatum sine magna difficultate ex definitione derivatarum ut limitum deduci potest.

DEMONSTRATIO:

Demonstratio derivatae additionis nobis relinquitur hoc ratiocinio sequendo:

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left(\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) & =\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\left[\alpha f(x+\Delta x) \pm \beta g(x+ \Delta x)\right] - \left[\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \left[\alpha f(x+\Delta x) - \alpha f(x)\right] \pm \left[\beta g(x+\Delta x) - \beta g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \alpha \left[ f(x+\Delta x) - f(x)\right] \pm \beta \left[ g(x+\Delta x) - g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \alpha \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \pm \beta \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \alpha \dfrac{df(x)}{dx} \pm \beta \dfrac{dg(x)}{dx} \end{array}

Altero modo, demonstratio derivatae producti paulo difficilior est, sed nihil extraordinarium:

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left[f(x)g(x)\right] &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) g(x+\Delta x) - f(x) g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) g(x+\Delta x) + \color{red}f(x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x+\Delta x) \color{black} - f(x) g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\left[f(x+\Delta x) - f(x) \right] g(x+\Delta x) + f(x) \left[g(x+\Delta x) - g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x) \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ \\ &= g(x) \dfrac{df(x)}{dx} + f(x)\dfrac{dg(x)}{dx} \end{array}

Hic adhibitum est quod, cum g functio derivabilis sit, tunc continua est atque ideo \lim_{\Delta x\to 0 } g(x+\Delta x) = g(x), ut postea conclusa sit demonstratio utens algebra limitum.

Denique, ad demonstrationem derivatae divisionis, possumus uti effectu derivatae multiplicationis. Consideremus functionem huius formae k(x) = f(x)/g(x), cum g(x)\neq 0. Ex hoc habebitur:

\dfrac{df(x)}{dx}= \dfrac{d}{dx}(k(x)g(x)) = \dfrac{dk(x)}{dx}g(x) + k(x)\dfrac{dg(x)}{dx}

Nunc, solvendo \dfrac{dk(x)}{dx} habetur:

\dfrac{dk(x)}{dx}g(x) = \dfrac{df(x)}{dx} - k(x)\dfrac{dg(x)}{dx} = \dfrac{d}{dx}f(x) - \dfrac{f(x)}{g(x)}\dfrac{dg(x)}{dx}

Atque ideo:

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) &= \dfrac{dk(x)}{dx} =\dfrac{1}{g(x)} \dfrac{df(x)}{dx} - \dfrac{f(x)}{\left[g(x)\right]^2}\dfrac{dg(x)}{dx} \\ \\ & = \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x) \dfrac{dg(x)}{dx}}{[g(x)]^2} \end{array}

quod erat demonstrandum.