序論

微積分における最も特徴的な要素の一つは、無限大および無限大における極限である。 無限大の概念は実数を指すものではなく、むしろあらゆる実数の上界を超える大きさを記述しようとするものである。例えば、関数 f(x) = 1/x があり、x がいくらでも大きくなるとき、すなわち x\to \infty のとき、その挙動を考えると、f(x) はいくらでもゼロに近づくことが観察される。このとき次のように書く：

\displaystyle \lim_{x\to + \infty}\dfrac{1}{x} = 0

図的には、この事象は次のように表される：

無限大における極限の定義

先ほど導入したこの考えから 無限大における極限の数学的定義を定式化することができる：

\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x) = L := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})(M\lt x \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon )

\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = L := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists N\in\mathbb{R})(x\lt N \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon )

この極限の直感的な概念は、f(x) が原点からいくらでも遠ざかるとき、右に行く場合も左に行く場合も、どのような挙動を示すかを示している。無限大における極限の計算方法は、有限の極限を計算する際の方法と大きくは異ならない。なぜなら、その代数はほぼ同じであり、次の結果を考慮すればよいからである。

無限大における基本的な極限

これらの定義から、次の基本的な極限を証明することができる。

1. \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}k = k
2. \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}\dfrac{1}{x} = 0

証明:

1. 無限大における極限の定義によれば、\displaystyle \lim_{x\to +\infty}k = k は次のように言い換えられる：(\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})\left(M\lt x \rightarrow \left|k-k\right|\lt \epsilon \right)。しかし \left|k-k\right|=0\lt \epsilon は常に、任意の \epsilon \gt 0 について成り立ち、M の値に依存しない。したがって、この極限は保証される。

    

2. 定義により、\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x} = 0 は次のように言い換えられる：(\forall\epsilon\gt 0) (\exists M\in\mathbb{R})\left(M\lt x \rightarrow \left|\dfrac{1}{x}\right|\lt \epsilon \right)。この含意は M=1/\epsilon を考えれば直ちに満たされる。したがって、この極限は保証される。

    

これらの証明は、x\to -\infty の場合についても同様に行われる。

無限大における極限の代数

無限大における極限の代数は有限の極限の代数と類似している。 もし \displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}f(x) = L および \displaystyle \lim_{x\to \pm \infty}g(x) = M であるなら、次の規則が成り立つ：

1. 極限の和と差: \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}(f(x)\pm g(x)) = L \pm M
2. 定数倍: \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}cf(x) = cL
3. 極限の積: \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)g(x) = LM
4. 極限の商: M\neq 0 のとき、\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}f(x)/g(x)=L/M
5. 極限のべき乗: p,q \in\mathbb{Z} かつ q\neq 0 のとき、\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}[f(x)]^{p/q} = L^{p/q}。
   q が偶数の場合、L\geq 0 であることが前提となる。

実際には、これらすべての性質の証明は 有限の極限 の場合と類似している。

有理関数における無限大の極限

有理関数とは、二つの多項式の商として表すことができる関数である。 この種の関数に対して無限大における極限を計算すると、非常に有用な性質が観察される。

次を計算したいと仮定する：\displaystyle \lim_{x\to \infty}P(x)/Q(x)

• P(x) の次数が Q(x) の次数より大きい場合、x\to\infty のとき関数 f(x) の大きさは無限に増大し、極限は存在しない。
• P(x) の次数が Q(x) の次数より小さい場合、極限はゼロとなる。
• 最後に、P(x) の次数が Q(x) の次数と等しい場合、極限は最高次の項に付随する係数の比に等しくなる。

この結果の最も優れた点は、次に示す例で見るように、関与するべき乗が整数でない場合でも同様に機能することである。

無限大における極限の例

1. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x+1}{x^2+3} [解答]
2. \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x^3 + 7}{x^3 - x^2 + x + 7} [解答]
3. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{9x^4 + x}{2x^4 + 5x^2 - x + 6} [解答]
4. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{10x^5 + x4 + 31}{x^4 - 7x^3 + 7x^2 + 9} [解答]
5. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{2\sqrt{x}+x^{-1}}{3x - 7} [解答]
6. \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x^{5/3} - x^{1/3} + 7}{x^{8/5}+3x + \sqrt{x}} [解答]
7. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt[3]{x}-5x+3}{2x + x^{2/3} - 4} [解答]
8. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^{8/3}+2x + \sqrt{x}}{x^2+x-3} [解答]