命題論理における5つの対称性
要約：
本講義では、二重否定、仮言三段論法、含意の対偶、推論定理、および論理結合子の定義がどのように組み合わさって命題論理の対称性を形成するかを探究します。明快かつ簡潔な証明を通じて、等価性を習得し、論理的課題への応用方法を学びます。
本講義で扱う対称性には、\downarrow対称性、\vee対称性、\wedge対称性、\leftrightarrow対称性、\veebar対称性が含まれます。また、各証明が前の結果に基づいて将来の推論を簡略化する相互作用にも注目します。本講義は、命題論理の深い理解を提供するだけでなく、過去の証明を活用して学習プロセスを最適化する方法も教えます。
学習目標：
この講義を終えた時点で、学生は次のことができるようになります。
- 想起する： 仮言三段論法や二重否定など、命題論理の基本概念を思い出す。
- 認識する： 命題論理における5つの対称性を識別する。
- 理解する： 対称性の等価性の証明過程を理解する。
- 応用する： 推定、公理的推論定理およびその逆を証明において用いる。
- 関連付ける： 論理結合子の定義と対称性を関連付ける。
- 評価する： 一度のみ証明し、それを将来の証明で再利用する重要性を認識する。
- 育成する： 論理的証明を行う際の分析的かつ批判的な能力を発展させる。
目次
\vee – 対称性
\downarrow – 対称性
\wedge – 対称性
\leftrightarrow – 対称性
\veebar – 対称性
最後の考察
仮言三段論法、二重否定、含意の対偶、公理的推論定理、および論理結合子の定義の直接的な結果として、以下に示す命題論理における5つの対称性が導かれます。
| (\alpha \downarrow \beta) \dashv\vdash (\beta\downarrow \alpha) | \downarrow対称性 |
| (\alpha \vee \beta) \dashv\vdash (\beta\vee \alpha) | \vee対称性 |
| (\alpha \wedge \beta) \dashv\vdash (\beta\wedge \alpha) | \wedge対称性 |
| (\alpha \leftrightarrow \beta) \dashv\vdash (\beta\leftrightarrow \alpha) | \leftrightarrow対称性 |
| (\alpha \veebar \beta) \dashv\vdash (\beta\veebar\alpha) | \veebar対称性 |
これらの等価性の証明は必ずしも自明ではありませんが、これまで見てきた証明と比べると比較的簡単です。以下に各対称性の一方向の証明を示します。逆方向の証明はほぼ同一であり、読者の演習課題とします。
\vee 対称性
| [/latex] | \{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\alpha \vee\beta) | ; 仮定 |
| [/latex] | \{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\neg \alpha \rightarrow \beta) | ; なぜなら (\alpha \vee \beta) := (\neg \alpha \rightarrow \beta) |
| (3) | \{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\neg \beta \rightarrow \alpha) | ; CPI(2) |
| [/latex] | \boxed{\{(\alpha \vee \beta)\}\vdash ( \beta \vee \alpha)} | ; なぜなら ( \beta \vee \alpha) := (\neg\beta\rightarrow\alpha) |
逆方向の推論は、仮定 \{(\beta\vee\alpha)\}\vdash (\beta\vee\alpha) から始めることで、わずかな変更で得られます。
\downarrow 対称性
| [/latex] | \{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash \neg(\alpha \downarrow \beta) | ; 仮定 |
| [/latex] | \{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash (\alpha \vee \beta) | ; (1)より、なぜなら (\alpha\vee\beta) := \neg(\alpha \downarrow \beta) |
| [/latex] | \{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash (\beta \vee \alpha) | ; \vee 対称性 |
| [/latex] | \vdash (\neg(\alpha \downarrow \beta) \rightarrow (\beta \vee \alpha)) | ; 推論定理(3) |
| [/latex] | \vdash (\neg(\beta \vee \alpha) \rightarrow (\alpha \downarrow \beta)) | ; CPI(4) |
| [/latex] | \vdash ((\beta \downarrow \alpha) \rightarrow (\alpha \downarrow \beta)) | ; (5)より、なぜなら (\beta\vee\alpha) := \neg(\beta \downarrow \alpha) |
| [/latex] | \boxed{\{(\beta \downarrow \alpha) \} \vdash (\alpha \downarrow \beta)} | ; RTD(6) |
最後に、仮定 \{\neg(\beta\downarrow\alpha)\}\vdash \neg(\beta\downarrow\alpha) から始めることで、逆方向の推論が得られます。
\wedge 対称性
| [/latex] | \{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\alpha \wedge \beta) | ; 前提 |
| [/latex] | \{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\neg\alpha \downarrow \neg\beta) | ; (1)より、なぜなら (\alpha \wedge \beta) := (\neg\alpha \downarrow \neg\beta) |
| [/latex] | \{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\neg\beta \downarrow \neg\alpha) | ; \downarrow 対称性 (2) |
| [/latex] | \boxed{\{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash ( \beta \wedge \alpha)} | ; (3)より、なぜなら (\beta \wedge \alpha) := (\neg\beta \downarrow \neg\alpha) |
前項と同様に、仮定 \{( \beta \wedge \alpha)\}\vdash ( \beta \wedge \alpha) から始めれば、逆方向の推論もほとんど変化なく得られます。
\leftrightarrow 対称性
| [/latex] | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\alpha \leftrightarrow \beta) | ; 前提 |
| [/latex] | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ((\alpha \rightarrow \beta) \wedge (\alpha \rightarrow \beta)) | ; (1)より、なぜなら (\alpha \leftrightarrow \beta) := ((\alpha \rightarrow \beta) \wedge (\beta \rightarrow \alpha)) |
| [/latex] | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ((\beta \rightarrow \alpha) \wedge (\alpha \rightarrow \beta)) | ; \wedge 対称性 (2) |
| [/latex] | \boxed{\{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\beta \leftrightarrow \alpha)} | ; (3)より、なぜなら (\beta \leftrightarrow \alpha) := ((\beta \rightarrow \alpha) \wedge (\alpha \rightarrow \beta)) |
前項と同様に、仮定 \{( \beta \leftrightarrow \alpha)\}\vdash ( \beta\leftrightarrow \alpha) から始めることで逆方向の推論も可能です。
\veebar 対称性
| [/latex] | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\alpha \leftrightarrow \beta) | ; 前提 |
| [/latex] | \{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ( \beta \leftrightarrow \alpha) | ; \leftrightarrow 対称性(1) |
| [/latex] | \vdash ((\alpha \leftrightarrow \beta) \rightarrow ( \beta \leftrightarrow \alpha)) | ; 推論定理 TD(2) |
| [/latex] | \vdash (\neg ( \beta \leftrightarrow \alpha) \rightarrow \neg (\alpha \leftrightarrow \beta)) | ; CPI(3) |
| [/latex] | \{\neg ( \beta \leftrightarrow \alpha)\} \vdash \neg (\alpha \leftrightarrow \beta) | ; 逆推論定理 RTD(4) |
| [/latex] | \boxed{\{ ( \beta \veebar \alpha)\} \vdash (\alpha \veebar \beta)} | ; (5) より、なぜなら ( \beta \veebar \alpha) := \neg(\beta \leftrightarrow \alpha) および (\alpha \veebar \beta) := \neg (\alpha \leftrightarrow \beta) |
他のすべてのケースと同様に、逆方向の前提 \{(\beta \leftrightarrow \alpha)\} \vdash (\beta \leftrightarrow \alpha) を示すことで、同様の推論が得られます。
最終的な考察
読者が注意を払うべき点 は、命題論理におけるこれら5つの対称性を証明する際に選ばれた順序です。それぞれの証明が、以前に行った証明を利用するように構成されていることに注目してください。これは証明を行う際に従うべきアプローチを反映しています：証明は一度だけ行い（決して繰り返さず！）、その後は以前の証明を活用して、将来の推論を簡素化することに集中すべきです。