ما هي المعادلة التفاضلية العادية (EDO)؟

الملخص:
في هذه الحصة، يتم استكشاف المعادلات التفاضلية العادية (EDO) من الرتبة k، بدءًا من تعريفها وتمثيلها بالشكلين العادي والعام. من خلال مفاهيم مثل مصفوفة يعقوبي ومبرهنة الدالة الضمنية، يتم وضع الأساس لفهم حلول هذه المعادلات والخصائص المرتبطة بها، مثل مجال التعريف والحلول الصريحة والضمنية.

أهــداف التعلــم

عند نهاية هذه الحصة سيكون الطالب قادرًا على:

1. استذكار تعريف وخصائص المعادلة التفاضلية العادية (EDO) الأساسية.
2. شرح العلاقة بين المعادلة التفاضلية العادية وحلولها الممكنة.

الفهرس
المعادلة التفاضلية العادية من الرتبة k
مبرهنة الدالة الضمنية
حل المعادلة التفاضلية العادية
تنبيه بخصوص مجال تعريف الحلول
الحل الممتد والحل الأقصى
الحل الصريح والحل الضمني

بما رأيناه حتى الآن، أصبح لدينا فكرة واضحة إلى حد كبير حول ماهية المعادلة التفاضلية والتطبيقات المتعددة التي يمكن أن تكون لها. سنتوقف الآن لدراسة بعض التعاريف والخصائص بهدف تأسيس قاعدة مشتركة قوية لمواصلة هذا الدرس.

المعادلة التفاضلية العادية من الرتبة k

المعادلة التفاضلية العادية (EDO) هي معادلة تتضمن متغيرًا مستقلاً x، ودالة y(x)، وبعض مشتقاتها العادية. تُكتب المشتقات العادية من الرتبة الأولى لـ y(x) باستخدام رموز مثل \frac{dy(x)}{dx} أو y'(x)، ومن الرتبة الثانية مثل \frac{d^2y(x)}{dx^2} أو y''(x)، وبشكل عام من الرتبة n مثل \frac{d^ny(x)}{dx^n} أو y^{(n)}(x). إن القيمة العظمى لـ k التي يظهر فيها y^{(k)}(x) في المعادلة تُسمى رتبة المعادلة. وبهذا، فإن الشكل العام لمعادلة تفاضلية عادية من الرتبة k هو:

F\left(x,y(x),y'(x), \cdots, y^{(k)}(x)\right)=0.

يُقال إن المعادلة التفاضلية العادية من الرتبة k في الشكل الطبيعي إذا تمت صياغتها بحيث تكون y^{(k)}(x) معزولة في طرف المعادلة، أي:

y^{(k)}(x) = f\left(x,y(x),y'(x), \cdots, y^{(k-1)}(x)\right).

بشكل عام، تكون الدالة y دالة من \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^n, بحيث تكون هذه الدالة وجميع مشتقاتها عند أي نقطة x\in\mathbb{R} عبارة عن متجهات في \mathbb{R}^n. وبناءً على ذلك، ولأن الدالة F التي تصف المعادلة من الرتبة k تعتمد على 1+(k+1) متغيرًا، فإن \text{Dom}(F)\subset \mathbb{R}^{1+n(k+1)} و \text{Rec}(F)\subset \mathbb{R}؛ وبشكل مماثل، \text{Dom}(f) = \mathbb{R}^{1+nk} و \text{Rec}(f)\subset \mathbb{R}^n.

إن الانتقال من الشكل العام للمعادلة التفاضلية العادية من الرتبة k إلى شكلها الطبيعي ممكن بفضل مبرهنة الدالة الضمنية.

مبرهنة الدالة الضمنية

لتكن F دالة من الصنف \mathcal{C}^1 على مجموعة مفتوحة U \subset \mathbb{R}^n ذات قيم حقيقية. ولنفرض أن (a_1,\cdots, a_n) \in U بحيث F(a_1,\cdots, a_n) = 0 و

\displaystyle \frac{\partial F(a_1,\cdots, a_n)}{\partial x_n} \neq 0

إذًا، يوجد حيّ V للنقطة (a_1, \cdots, a_{n-1}) \in \mathbb{R}^{n-1} ودالة \varphi:V \longrightarrow \mathbb{R} تحقق ما يلي:

1. V \times \varphi(V) \subset U
2. F(x_1,\cdots,x_{n-1},x_n) = 0 \leftrightarrow x_n = \varphi(x_1,\cdots, x_{n-1})
3. \varphi قابلة للاشتقاق و

   \displaystyle\dfrac{\partial \varphi (a_1,\cdots, a_{n-1})}{\partial x_i} = - \dfrac{ \dfrac{\partial F (a_1,\cdots, a_n)}{\partial x_i} }{ \dfrac{\partial F (a_1,\cdots, a_n)}{\partial x_n} }

برهان مبرهنة الدالة الضمنية

تطوير انطلاقًا من مصفوفة يعقوبي

لتكن \psi(x_1,\cdots,x_{n-1}, x_n) = (x_1,\cdots,x_{n-1}, F(x_1,\cdots, x_n)). إذا حسبنا مصفوفة يعقوبي الخاصة بها، كما هو موضح أدناه:

\displaystyle \left( \dfrac{\partial \psi(x_1,\cdots, x_n)}{\partial(x_1,\cdots, x_n)} \right) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & \vdots \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ \displaystyle \dfrac{\partial F(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_1} & \dfrac{\partial F(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial F(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_n} \end{array}\right),

سنلاحظ أن المحدد لها غير صفري في (a_1,\cdots, a_n)، وذلك بالضبط لأنه، كما تم إثباته في البداية، \partial F(a_1,\cdots, a_n)/\partial x_n \neq 0. وبناءً على ذلك، يمكننا القول إن \psi تمتلك معكوسًا على مجموعة مفتوحة W تحتوي على (a_1,\cdots, a_n).

تطوير الحل

الآن، لنعتبر مجموعة

\tilde{V}=\psi(W)\ni \psi(a_1,\cdots,a_{n}) = (a_1,\cdots,a_{n-1},F(a_1,\cdots,a_{n}))=(a_1,\cdots,a_{n-1},0).

ومن هنا، يمكننا تعريف مجموعة أخرى

V=\{(x_1,\cdots,x_{n-1}) \;|\; (x_1,\cdots,x_{n-1},0)\in \tilde{V}\}\ni (a_1,\cdots,a_{n-1})

إن المجموعة V هي بالتالي مجموعة مفتوحة تحتوي على (a_1,\cdots,a_{n-1})\in\mathbb{R}^{n-1}.

وبما أن \psi تمتلك معكوسًا (في W)، فهناك عنصر وحيد (y_1,\cdots,y_n)\in W يحقق \psi(y_1,\cdots,y_n) = (x_1,\cdots,x_{n-1},0). وهذا يعني أن:

\begin{array}{rl} y_1 &= x_1 \\ \\ \vdots & \vdots \\ \\ y_{n-1} &= x_{n-1} \\ \\ F(x_1,\cdots,x_{n-1},y_n) &= 0 \end{array}

وبالتالي، يمكننا تعريف \varphi(x_1,\cdots,x_{n-1}) = y_n بحيث:

\psi^{-1}(x_1,\cdots,x_{n-1},0) = (x_1,\cdots,x_{n-1},\varphi(x_1,\cdots,x_{n-1}))

و

F(x_1,\cdots,x_{n-1},\varphi(x_1,\cdots,x_{n-1})) = 0

وبالتالي، لدينا أن \varphi(V)\ni a_n, وبناءً عليه V\times\varphi(V) \subset U, وكذلك:

F(x_1,\cdots,x_{n-1},x_n) = 0 \leftrightarrow x_n = \varphi(x_1,\cdots,x_{n-1})

القابلية للاشتقاق

وأخيرًا، فإن قابلية \psi للاشتقاق تؤدي إلى قابلية \psi^{-1} للاشتقاق، مما يؤدي بدوره إلى قابلية \varphi للاشتقاق على V. وبناءً على ذلك، يمكننا تعريف دالة g من خلال العلاقة:

g(x_1, \cdots,x_{n-1}) = F(x_1,\cdots,x_{n-1},\varphi(x_1,\cdots,x_{n-1})) = 0

ثم باستخدام قاعدة السلسلة، نحصل على:

\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x_i} = \frac{\partial F}{\partial x_i} + \frac{\partial F}{\partial x_n}\frac{\partial \varphi }{\partial x_i} = 0,

حيث i=1,\cdots, n-1. ومن هذه المعادلة الأخيرة نستنتج:

\displaystyle \dfrac{\partial \varphi(a_1,\cdots,a_{n-1})}{\partial x_i} = - \dfrac{\dfrac{\partial F(a_1,\cdots,a_{n})}{\partial x_i}}{\dfrac{\partial F(a_1,\cdots,a_{n})}{\partial x_n}}

وبذلك نكون قد أثبتنا كل ما أردنا إثباته ■

حل المعادلة التفاضلية العادية

لننظر في معادلة تفاضلية عادية مكتوبة بالشكل الطبيعي

y^{(n)} = f(x,y(x),y^\prime(x),\cdots,y^{(n-1)(x)})

إذًا، فإن دالة \varphi : I_\phi \longmapsto \mathbb{R}^n, حيث I_\phi هو فترة ضمن \mathbb{R}, تُسمى حلاً للمعادلة التفاضلية العادية إذا تحقق:

\left(\forall x \in I_\phi \right) \left(\varphi^{(n)}(x) = f(x,\varphi(x),\varphi^\prime(x),\cdots,\varphi^{(n-1)(x)}\right)

انتباه إلى مجال تعريف الحلول

في هذه المرحلة، من الضروري التأكيد على أهمية التصريح بشكل صريح عن مجال تعريف حل المعادلة التفاضلية. على سبيل المثال، فإن مجال الدالة \phi التي تحدثنا عنها في الفقرة السابقة هو الفترة I_\phi. وهذا أمر مهم لأن خطأً شائعًا في التعامل مع المعادلات التفاضلية هو اعتبار حلين \phi_1 و \phi_2 متساويين فقط لأن \left(\forall x \in I_{\phi_1}\cap I_{\phi_2}\right)\left(\phi_1(x) = \phi_2(x)\right), بالرغم من أن I_{\phi_1}\neq I_{\phi_2}. لشرح هذه النقطة، لنفحص المعادلة التفاضلية التالية:

y^\prime = -y^2.

أحد الحلول الممكنة لهذه المعادلة هو الدالة \psi_1 : ]0,+\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}^+\setminus\{0\} المعرفة على النحو التالي \psi_1(x)=1/x, لأن \psi_1^{\prime} = -1/x^2 = -\psi_1^2 لكل x\in]0,+\infty[. ولكن مع بعض التلاعب الجبري، يمكننا أن ننتقل من هذا إلى حل آخر مختلف تمامًا إذا لم نكن منتبهين للتفاصيل. على سبيل المثال، من الواضح أن:

\displaystyle \frac{1}{x} = \frac{1}{1 - (1-x)},

والجانب الأيمن من هذه المساواة هو نتيجة متسلسلة هندسية:

\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (1-x)^n = \frac{1}{1 - (1-x)}

لذا قد يظن شخص غير متمرس في هذه الأمور أن الدالتين \psi_1 و \psi_2 = \sum_{n=0}^{+\infty} (1-x)^n تقدمان نفس الحل للمعادلة التفاضلية المطروحة في البداية، لأن نتائجهما تبدو متطابقة؛ ومع ذلك، يغفل عن أن هذه السلسلة الهندسية صحيحة فقط عندما |1-x| \lt 1، أي عندما x\in]0,2[). ولكن هناك ما هو أكثر، نظرًا لأن ]0,2[\subset]0,+\infty[، فإن \psi_1 تُعد امتدادًا لـ \psi_2 لأنه في النطاق الذي تكون فيه \psi_2 صالحة، تكون \psi_1 كذلك وأيضًا خارج هذا النطاق.

الحل الممتد والحل الأقصى

لننظر في دالتين \phi_1 و \phi_2 معرفتين على الفترتين I_{\phi_1} و I_{\phi_2}, على التوالي، واللتين هما حلّان لمعادلة تفاضلية. إذا كان I_{\phi_1}\subset I_{\phi_2}, فإننا نقول إن الحل \phi_2 يُمدد الحل \phi_1, أو أن الحل \phi_2 أكثر عمومية من الحل \phi_1. يُطلق على الحل \phi اسم “الأقصى” إذا لم يكن هناك حل آخر يمدده بشكل غير تافه.

الحل الصريح والحل الضمني

تُعتبر الدالة \phi حلًا للمعادلة التفاضلية العادية من الرتبة n (المكتوبة بالشكل الطبيعي)

y^{(n)}(x)=f(x,y(x),y^\prime(x),\cdots,y^{(n-1)}(x)),

ضمن فترة I إذا تحقق

(\forall x\in I)\left(\phi^{n}(x) = f(x,\phi(x),\phi^\prime(x),\cdots,\phi^{(n-1)}(x))\right)

ما رأيناه سابقًا هو ما يُعرف بـ الحل الصريح للمعادلة التفاضلية على الفترة I. وكما يشير الاسم، هناك أيضًا طريقة ضمنية لتعريف الحلول. تُقال علاقة \Phi(x,y)=0 أنها حل ضمني للمعادلة التفاضلية على I إذا كانت تُعرّف حلين أو أكثر بشكل ضمني في I.

الخاتمة

في هذه الحصة قمنا بتفكيك مفهوم المعادلة التفاضلية العادية بنظرة دقيقة ولكن يسيرة، واضعين الأسس الشكلية التي تُمكننا ليس فقط من التعرف على EDO، بل أيضًا من فهم المنطق الكامن وراء حلولها. وبفضل مبرهنة الدالة الضمنية، كان من الممكن تبرير الانتقال بوضوح بين شكلها العام وشكلها الطبيعي، مما يُترجم إلى قدرة تقنية أساسية لمعالجة المسائل التطبيقية.

بالإضافة إلى ذلك، ميّزنا بدقة بين الطرق المختلفة التي يمكن أن يُفهم بها الحل: كحل صريح أو ضمني، ممتد أو أقصى، وأبرزنا أهمية —غالبًا ما يُستهان بها— في التصريح بشكل مناسب عن مجاله. هذه التمييزات ليست فقط شكلية: إنها عملية. إن تجاهلها قد يقودنا، كما رأينا، إلى أخطاء مفاهيمية جسيمة عند تفسير النتائج المحصّلة.