Евклидово пространство {\mathbb{R}^n}
В этом уроке мы изучим евклидово пространство \mathbb{R}^n, его алгебраическую структуру и метрические свойства. Вы узнаете о векторных операциях, скалярном произведении, норме и евклидовом расстоянии — ключевых концепциях геометрии и анализа. Четкие объяснения и наглядные примеры помогут вам понять, как математически моделировать пространство в нескольких измерениях.
Цели обучения:
После этого урока студент сможет:
- Определять евклидово пространство \mathbb{R}^n и его основные свойства.
- Объяснять векторную структуру \mathbb{R}^n с помощью его базовых операций.
- Применять скалярное произведение для вычисления углов и проекций между векторами.
- Доказывать алгебраические и метрические свойства скалярного произведения в \mathbb{R}^n.
- Использовать евклидову норму для определения длины вектора.
- Вычислять евклидово расстояние между двумя точками в \mathbb{R}^n и анализировать его геометрический смысл.
- Проверять справедливость таких фундаментальных неравенств, как неравенство Коши-Буняковского-Шварца и треугольное неравенство.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Евклидово пространство \mathbb{R}^n
Скалярное произведение
Норма и евклидово расстояние
Заключение
Векторное пространство \mathbb{R}^n
Вероятно, перед изучением этого материала вы уже знакомы со свойствами \mathbb{R}, плоскости \mathbb{R}^2, или пространства \mathbb{R}^3. Все эти идеи полезны для понимания пространства \mathbb{R}^n. Прежде всего, множество \mathbb{R}^n = \{\vec{x} = (x_1, \cdots, x_n) | x_1, \cdots, x_n \in \mathbb{R}\}, снабженное обычными операциями сложения векторов и умножения на скаляр, является векторным пространством. Рассмотрим подробнее эти основные операции в \mathbb{R}^n.
Основные операции в \mathbb{R}^n
Пусть \vec{x}=(x_1, \cdots, x_n), \vec{y}=(y_1, \cdots, y_n) — векторы из \mathbb{R}^n, а \alpha — произвольный действительный скаляр, тогда операции сложения векторов и умножения на скаляр определяются следующим образом:
Сложение векторов: Операция сложения определяется функцией:
\begin{array}{rcrl} +:& \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n & \longrightarrow & \mathbb{R}^n \\ & (\vec{x},\vec{y}) & \longmapsto & \vec{x}+\vec{y} = (x_1+y_1, \cdots, x_n + y_n) \end{array}
Умножение на скаляр: Операция умножения определяется функцией:
\begin{array}{rcrl} ():& \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n & \longrightarrow & \mathbb{R}^n \\ & (\alpha,\vec{x}) & \longmapsto & (\alpha\vec{x}) = (\alpha x_1, \cdots, \alpha x_n) \end{array}
Свойства векторного пространства \mathbb{R}^n
Пространство \mathbb{R}^n, снабженное описанными выше операциями является векторным пространством, поскольку его операции сложения и умножения на скаляр удовлетворяют следующим свойствам:
Во-первых, выполняются свойства коммутативности и ассоциативности.
\vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x} \\ \vec{x} + (\vec{y} + \vec{z}) = (\vec{x} + \vec{y}) + \vec{z} \\ (\alpha \beta) \vec{x} = \alpha (\beta \vec{x}) = \beta (\alpha \vec{x}) = (\beta\alpha) \vec{x}
Сумма скаляров распределяется относительно умножения на скаляр, а векторное сложение распределяется относительно умножения на скаляр; то есть выполняются следующие равенства:
(\alpha + \beta) \vec{x} = \alpha\vec{x} + \beta\vec{x} \\ \alpha(\vec{x} + \vec{y}) = \alpha\vec{x} + \alpha\vec{y}
Существует нулевой вектор \vec{0}=(0,\cdots, 0), который удовлетворяет свойству:
\vec{x} + \vec{0} = \vec{x}
Существует мультипликативный нейтральный элемент для умножения на скаляр:
1 \vec{x} = \vec{x}
И для любого вектора \vec{x}\in\mathbb{R}^n существует аддитивный обратный -\vec{x}, который удовлетворяет свойству:
\vec{x} + -\vec{x} = \vec{0}
Скалярное произведение
Если рассмотреть построение \mathbb{R}^n как векторного пространства, можно заметить, что в нем отсутствует операция произведения между векторами; вначале мы не можем «перемножать» векторы так, как обычно умножаем два действительных числа. Однако можно определить такую операцию, и одним из способов является скалярное произведение.
Скалярное произведение не следует путать с умножением на скаляр, первое является произведением двух векторов, которое дает скаляр, тогда как второе представляет собой умножение скаляра на вектор, результатом которого является новый вектор. Рассмотрим два вектора из \mathbb{R}^n: \vec{x}=(x_1, \cdots, x_n) и \vec{y}=(y_1, \cdots, y_n). Тогда их скалярное произведение \vec{x}\cdot\vec{y}, определяется следующим образом:
\vec{x}\cdot\vec{y} =\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i y_i = x_1y_1 + \cdots x_ny_n
Существует множество способов записи скалярного произведения векторов из \mathbb{R}^n, один из них — тот, который мы только что рассмотрели, другой связан с базисом \mathbb{R}^n и соглашением Эйнштейна о суммировании: если \{\hat{e}_i\}_{i=\overline{1,n}} — базис \mathbb{R}^n (обычно канонический базис), тогда векторы \vec{x} и \vec{y} можно записать следующим образом:
\vec{x}=\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i\hat{e}_i = x_1\hat{e}_1 + \cdots x_n\hat{e}_n
\vec{y}=\displaystyle\sum_{i=1}^n y_i\hat{e}_i = y_1\hat{e}_1 + \cdots y_n\hat{e}_n
Здесь явно указывается, что коэффициенты x_i и y_i векторов относятся к базису пространства.
Соглашение Эйнштейна о суммировании
Соглашение Эйнштейна о суммировании позволяет упростить запись векторов в общем случае, а также скалярного произведения в частности. Если взглянуть на приведенные выше выражения, можно заметить, что индекс i повторяется как в коэффициентах вектора, так и в элементах базиса. Согласно соглашению Эйнштейна, повторяющиеся индексы автоматически подразумевают наличие суммы, поэтому выражение можно записать так:
\vec{x}= x_i\hat{e}_i
\vec{y}= y_i\hat{e}_i
Используя это соглашение, скалярное произведение можно записать в следующем виде:
\vec{x}\cdot\vec{y} = x_i\hat{e}_i \cdot y_i\hat{e}_i = x_iy_i \underbrace{(\hat{e}_i \cdot \hat{e}_i)}_{=1} = x_iy_i
В этом последнем равенстве предполагается, что используется канонический базис.
Другие обозначения для скалярного произведения
Обозначения для векторов и их операций могут различаться в зависимости от контекста, то, которое использовалось в первых абзацах этого материала, наиболее распространено в математическом анализе. Однако в линейной алгебре часто проводится различие между векторами и ковекторами:
Под векторами подразумеваются так называемые «вектор-столбцы», которые записываются в матричной форме так:
\alpha^i = \left( \begin{array}{c}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{array} \right)
В то время как ковекторы — это «вектор-строки», записываемые в виде:
\beta_i = \left( \beta_1 \; \cdots \; \beta_n \right)
Таким образом, скалярное произведение двух векторов \vec{x}=(x_1,\cdots,x_n) и \vec{y}=(y_1,\cdots,y_n) можно интерпретировать как матричное произведение «ковектора» x_i на вектор y^i, которое дает следующее действительное число:
\left( x_1 \; \cdots \; x_n \right) \left( \begin{array}{c}y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right) = x_iy^i
Заметьте, что в этом последнем выражении снова используется соглашение Эйнштейна о суммировании: повторяющиеся индексы указывают на необходимость суммирования.
Обозначение, которое различает векторы и ковекторы с помощью нижних и верхних индексов, называется ковариантным обозначением или тензорным обозначением и широко используется в специальной и общей теории относительности. Оно также упрощает работу с тензорами — концепцией, которая является обобщением рассмотренных нами объектов. В других дисциплинах, таких как квантовая механика, используется обозначение Бра-Кет, где:
\left< x \right| =\left( x_1 \; \cdots \; x_n \right) \\ \\ \left|y\right> = \left( \begin{array}{c}y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right)
Таким образом, скалярное произведение записывается как \left<x|y\right>.
Свойства скалярного произведения
Из определения скалярного произведения можно вывести множество полезных свойств, которые окажутся важными в дальнейшем.
Если использовать скалярное произведение для определения функции \tilde{\omega}(\vec{x})=\vec{\omega} \cdot \vec{x} = \omega_i x^i, можно увидеть, что функция \tilde{\omega}, определенная таким образом, обладает всеми свойствами линейных функций, так как легко проверить, что
\begin{array}{rl} \tilde{\omega}(\alpha \vec{x} + \beta\vec{y}) = \alpha \tilde{\omega}(\vec{x}) + \beta\tilde{\omega}(\vec{y}) \end{array}
По этой причине объекты типа \tilde{\omega}, которые определяются через скалярное произведение, называются линейными функционалами. Как известно, \vec{x} является вектором из векторного пространства \mathbb{R}^n, а \tilde{\omega} принадлежит двойственному пространству \mathbb{R}^n.
Из этого следует, что существует тесная связь между скалярным произведением и линейными функциями. На самом деле, утверждение, которое обобщает все важные свойства скалярного произведения, звучит так: «Скалярное произведение — это билинейная, симметричная, положительная и невырожденная форма». Давайте разберем, что означает каждая часть этого утверждения:
Когда говорится, что скалярное произведение является билинейной формой, это означает, что если \vec{x},\vec{y} и \vec{z} — векторы из \mathbb{R}^n, а \alpha,\beta \in \mathbb{R}, то выполняются следующие равенства:
\begin{array}{rl} \vec{x}\cdot(\alpha \vec{y} + \beta\vec{z}) = \alpha (\vec{x}\cdot\vec{y}) + \beta(\vec{x}\cdot\vec{z}) \\ \\ (\alpha \vec{x} + \beta\vec{y})\cdot\vec{z} = \alpha (\vec{x} \cdot \vec{z}) + \beta(\vec{y}\cdot\vec{z}) \end{array}
Скалярное произведение симметрично, так как:
\forall(\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n)(\vec{x}\cdot\vec{y} = \vec{y}\cdot\vec{x})
оно положительно определено, так как:
(\forall\vec{x}\in\mathbb{R}^n)(\vec{x}\cdot\vec{x} \geq 0)
и, наконец, оно невырожденное, так как:
\vec{x}\cdot\vec{x} = 0 \leftrightarrow \vec{x}=\vec{0}
Норма и евклидово расстояние
Норма — это способ измерения длины вектора, если векторное пространство наделено нормой, то оно называется нормированным векторным пространством. Если \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n и \lambda\in\mathbb{R},, то функция Norm( . ) является нормой, если выполняются следующие свойства:
- Norm(\vec{x})\geq 0
- Norm(\vec{x}) = 0 \leftrightarrow \vec{x}=\vec{0}
- Norm(\lambda\vec{x}) = |\lambda| Norm(\vec{x})
- Norm(\vec{x} + \vec{y}) \leq Norm(\vec{x}) + Norm(\vec{y})
Важным аспектом скалярного произведения является то, что оно особенно полезно для математического определения расстояния, соответствующего интуитивному представлению о расстоянии между двумя точками. Для каждого \vec{x}\in\mathbb{R}^n определяется его евклидова норма, \|\vec{x}\|, с помощью уравнения:
\|\vec{x}\| = \sqrt{\vec{x}\cdot\vec{x}}
Исходя из этого, говорят, что евклидова норма — это норма, индуцированная скалярным произведением.
Расстояние, или метрика, — это функция, описывающая «разделение между двумя элементами множества». Если \vec{x}, \vec{y}, \vec{z}\in\mathbb{R}^n и \lambda\in\mathbb{R},, то функция Dist( . ) является расстоянием, если выполняются следующие свойства:
- Dist(\vec{x},\vec{y})=0 \leftrightarrow \vec{x}=\vec{y}
- Dist(\vec{x},\vec{y})=Dist(\vec{y},\vec{x})\geq 0
- Dist(\vec{x},\vec{z})\leq Dist(\vec{x},\vec{y}) + Dist(\vec{y},\vec{z})
Последнее выражение известно как треугольное неравенство, и если оно не выполняется, то функция Dist(.) называется «псевдорасстоянием» или «псевдометрикой». Векторное пространство, снабженное расстоянием, называется метрическим пространством.
На основе евклидовой нормы определяется евклидово расстояние между двумя векторами. Если даны два вектора \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n, то евклидово расстояние между ними, dist_e(\vec{x},\vec{y}), задается формулой:
dist_e(\vec{x},\vec{y}) = \|\vec{x} - \vec{y}\|
Если \vec{x}=(x_1,\cdots,x_n) и \vec{y}=(y_1,\cdots, y_n), то легко доказать, используя свойства скалярного произведения и нормы, что:
dist_e(\vec{x},\vec{y}) = \sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}
Если векторное пространство \mathbb{R}^n снабжено евклидовым расстоянием, то оно называется Евклидовым пространством.
Таким образом, говорят, что метрика евклидова пространства — это метрика, индуцированная евклидовой нормой.
Свойства евклидовой нормы
Поскольку наше исследование сосредоточено на евклидовом пространстве, будет полезно рассмотреть свойства евклидовой нормы.
Неравенство Коши-Буняковского-Шварца
Если \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n, то выполняется следующее неравенство:
|\vec{x}\cdot\vec{y}|\leq \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть \lambda = (\vec{x}\cdot\vec{y})/\|\vec{y}\|^2, тогда имеем:
\begin{array}{rl} 0\leq \|\vec{x} - \lambda \vec{y}\|^2 &= (\vec{x} - \lambda\vec{y}) \cdot (\vec{x} - \lambda\vec{y}) \\ \\ \displaystyle &= \vec{x}\cdot\vec{x} - \lambda\vec{x}\cdot\vec{y} + \lambda\vec{y}\cdot\vec{x} + \lambda^2(\vec{y}\cdot\vec{y})\\ \\ &= \|\vec{x}\|^2 - 2\lambda(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \lambda^2 \|\vec{y}\|^2 \\ \\ \displaystyle &= \|\vec{x}\|^2 - 2\left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{y}\|^2}\right)(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{{\|\vec{y}\|^2}}\right)^2 {\|\vec{y}\|^2}\\ \\ \displaystyle &= \|\vec{x}\|^2 - 2\left(\frac{(\vec{x}\cdot\vec{y})^2}{\|\vec{y}\|^2}\right) + \frac{\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2}{\|\vec{y}\|^2}\\ \\ &= \|\vec{x}\|^2 - \frac{\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2}{\|\vec{y}\|^2} \end{array}
Отсюда следует:
\displaystyle 0 \leq \|\vec{x}\|^2 - \frac{\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2}{\|\vec{y}\|^2}
Следовательно:
\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2 \leq \|\vec{x}\|^2 \|\vec{y}\|^2
И, наконец, извлекая корень, получаем требуемое неравенство:
|\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\| \|\vec{y}\| ⬛
Треугольное неравенство
Пусть \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n, тогда выполняется следующее неравенство:
\|\vec{x} + \vec{y}\| \leq \|\vec{x}\| + \|\vec{y}\|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Сначала заметим, что:
\begin{array}{rl} \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 &= (\vec{x} + \vec{y})\cdot(\vec{x} + \vec{y}) \\ \\ &=\|\vec{x}\|^2 + 2(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \|\vec{y}\|^2 \end{array}
Так как выполняются следующие неравенства:
\vec{x}\cdot\vec{y}\leq |\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\|\vec{y}\|
то можно записать:
\begin{array}{rl} \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 &\leq \|x\|^2 + 2\|\vec{x}\|\vec{y}\| + \|\vec{y}\|^2 \\ \\ &\leq \left(\|\vec{x}\| + \|\vec{y}\| \right)^2 \end{array}
Наконец, извлекая корень, получаем требуемое утверждение:
\|\vec{x} + \vec{y}\|\leq \|\vec{x}\| + \|\vec{y}\| ⬛
Заключение
В ходе этого урока мы изучили основные свойства евклидова пространства \mathbb{R}^n, рассмотрев его алгебраические и метрические структуры. Мы начали с определения его базовых операций, таких как сложение векторов и умножение на скаляр, что позволило нам установить его векторное пространство. Затем мы углубились в понятие скалярного произведения и его важность для геометрии \mathbb{R}^n, подчеркнув его матричную интерпретацию и связь с линейными функциями.
Далее мы проанализировали евклидову норму и расстояние, индуцированное ею, отметив, как эти инструменты позволяют количественно оценивать длины и расстояния в данном пространстве. Кроме того, мы рассмотрели фундаментальные свойства, такие как неравенство Коши-Буняковского-Шварца:
|\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\| \|\vec{y}\|
и треугольное неравенство:
\|\vec{x} + \vec{y}\|\leq \|\vec{x}\| + \|\vec{y}\|
которые являются ключевыми для развития более сложных теорий в анализе и геометрии.