الفضاء الإقليدي {\mathbb{R}^n}

في هذه الدرس، نستكشف الفضاء الإقليدي \mathbb{R}^n، هيكله الجبري وخصائصه المترية. ستتعلم عن العمليات المتجهية، حاصل الضرب القياسي، المعيار والمسافة الإقليدية، وهي مفاهيم أساسية في الهندسة والتحليل. مع شروحات واضحة وأمثلة توضيحية، سيمكنك هذا المحتوى من فهم كيفية تمثيل الفضاء رياضيًا في أبعاد متعددة.

أهداف التعلم:
بعد الانتهاء من هذا الدرس، سيكون الطالب قادرًا على:

1. تعريف الفضاء الإقليدي \mathbb{R}^n وخصائصه الأساسية.
2. شرح البنية المتجهية لـ \mathbb{R}^n من خلال عملياته الأساسية.
3. تطبيق حاصل الضرب القياسي لحساب الزوايا والإسقاطات بين المتجهات.
4. إثبات الخصائص الجبرية والمترية لحاصل الضرب القياسي في \mathbb{R}^n.
5. استخدام المعيار الإقليدي لتحديد مقدار المتجه.
6. حساب المسافة الإقليدية بين نقطتين في \mathbb{R}^n وتحليل معناها الهندسي.
7. التحقق من صحة المتباينات الأساسية مثل متباينة كوشي-شوارتز ومتباينة المثلث.

الفهرس
الفضاء \mathbb{R}^n
حاصل الضرب القياسي
المعيار والمسافة الإقليدية
الخاتمة

الفضاء المتجهي \mathbb{R}^n

من المحتمل أنك كنت على دراية مسبقة بخصائص \mathbb{R}, أو المستوي \mathbb{R}^2, أو الفضاء \mathbb{R}^3. كل هذه الأفكار مفيدة لفهم الفضاء \mathbb{R}^n. بشكل عام، المجموعة \mathbb{R}^n = \{\vec{x} = (x_1, \cdots, x_n) | x_1, \cdots, x_n \in \mathbb{R}\}, مع العمليات المعتادة لجمع المتجهات والضرب العددي هو فضاء متجهي. دعونا نستكشف هذا بمزيد من التفاصيل من خلال مراجعة العمليات الأساسية في \mathbb{R}^n.

العمليات الأساسية في \mathbb{R}^n

إذا كان \vec{x}=(x_1, \cdots, x_n), \vec{y}=(y_1, \cdots, y_n) متجهين في \mathbb{R}^n و \alpha عدد حقيقي، فإن عمليات جمع المتجهات والضرب العددي تُعرّف كما يلي:

جمع المتجهات: يُوصف جمع المتجهات بالدالة التالية:

\begin{array}{rcrl} +:& \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n & \longrightarrow & \mathbb{R}^n \\ & (\vec{x},\vec{y}) & \longmapsto & \vec{x}+\vec{y} = (x_1+y_1, \cdots, x_n + y_n) \end{array}

الضرب العددي: يُوصف الضرب العددي بالدالة التالية:

\begin{array}{rcrl} ():& \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n & \longrightarrow & \mathbb{R}^n \\ & (\alpha,\vec{x}) & \longmapsto & (\alpha\vec{x}) = (\alpha x_1, \cdots, \alpha x_n) \end{array}

خصائص الفضاء المتجهي \mathbb{R}^n

الفضاء \mathbb{R}^n مع العمليات المذكورة أعلاه هو فضاء متجهي، لأن عمليات الجمع والضرب العددي تحقق الخصائص التالية:

أولًا، لدينا خاصيتا التبادل والتجميع.

\vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x} \\ \vec{x} + (\vec{y} + \vec{z}) = (\vec{x} + \vec{y}) + \vec{z} \\ (\alpha \beta) \vec{x} = \alpha (\beta \vec{x}) = \beta (\alpha \vec{x}) = (\beta\alpha) \vec{x}

يتم توزيع جمع الأعداد الحقيقية بالنسبة للضرب العددي، ويتم توزيع جمع المتجهات بالنسبة للضرب العددي؛ بمعنى أن المعادلات التالية تتحقق:

(\alpha + \beta) \vec{x} = \alpha\vec{x} + \beta\vec{x} \\ \alpha(\vec{x} + \vec{y}) = \alpha\vec{x} + \alpha\vec{y}

يوجد عنصر محايد جمعي \vec{0}=(0,\cdots, 0) يحقق الخاصية:

\vec{x} + \vec{0} = \vec{x}

يوجد عنصر محايد ضربي لعملية الضرب العددي:

1 \vec{x} = \vec{x}

وكل متجه \vec{x}\in\mathbb{R}^n لديه معكوس جمعي -\vec{x}, يحقق الخاصية:

\vec{x} + -\vec{x} = \vec{0}

حاصل الضرب القياسي

إذا نظرنا إلى \mathbb{R}^n كفضاء متجهي، سنلاحظ أنه يفتقر إلى عملية ضرب بين المتجهات؛ في البداية، لا يمكننا “ضرب” المتجهات ببعضها كما نفعل مع الأعداد الحقيقية. ومع ذلك، يمكن تعريف عملية الضرب بين المتجهات بطريقة تعرف بـ حاصل الضرب القياسي.

لا يجب الخلط بين حاصل الضرب القياسي والضرب العددي، حيث أن الأول هو حاصل ضرب بين متجهين يعطي عددًا حقيقيًا، بينما الثاني هو ضرب عدد حقيقي في متجه ينتج عنه متجه آخر. لنأخذ متجهين في \mathbb{R}^n: \vec{x}=(x_1, \cdots, x_n) و \vec{y}=(y_1, \cdots, y_n). بناءً على ذلك، يتم تعريف حاصل الضرب القياسي لـ \vec{x} مع \vec{y}, \vec{x}\cdot\vec{y}, باستخدام الصيغة التالية:

\vec{x}\cdot\vec{y} =\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i y_i = x_1y_1 + \cdots x_ny_n

هناك عدة طرق لتمثيل حاصل الضرب القياسي بين المتجهات في \mathbb{R}^n, إحداها هي الصيغة التي ذكرناها للتو، وأخرى تعتمد على قاعدة \mathbb{R}^n واتفاقية جمع أينشتاين: إذا كانت \{\hat{e}_i\}_{i=\overline{1,n}} قاعدة لـ \mathbb{R}^n (عادةً القاعدة القياسية)، فإنه يمكن التعبير عن المتجهين \vec{x} و \vec{y} بالشكل التالي:

\vec{x}=\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i\hat{e}_i = x_1\hat{e}_1 + \cdots x_n\hat{e}_n

\vec{y}=\displaystyle\sum_{i=1}^n y_i\hat{e}_i = y_1\hat{e}_1 + \cdots y_n\hat{e}_n

توضح هذه الصيغة أن المعاملات x_i و y_i الخاصة بالمتجهات تُحدد بالنسبة إلى قاعدة الفضاء.

اتفاقية جمع أينشتاين

اتفاقية جمع أينشتاين تسهل تمثيل المتجهات بشكل عام وحاصل الضرب القياسي بشكل خاص. إذا لاحظنا التعبيرين السابقين، سنجد أن الفهرس i يتكرر في معامل المتجه وكذلك في عنصر القاعدة المتجهية؛ بالنسبة لأينشتاين، وجود الفهارس المتكررة كافٍ لافتراض وجود عملية الجمع في التعبير، مما يسمح لنا بكتابة:

\vec{x}= x_i\hat{e}_i

\vec{y}= y_i\hat{e}_i

وباستخدام هذه الاتفاقية، يصبح حاصل الضرب القياسي بالصورة:

\vec{x}\cdot\vec{y} = x_i\hat{e}_i \cdot y_i\hat{e}_i = x_iy_i \underbrace{(\hat{e}_i \cdot \hat{e}_i)}_{=1} = x_iy_i

في هذه المساواة الأخيرة، تم افتراض أننا نعمل باستخدام القاعدة القياسية.

ترميز آخر لحاصل الضرب القياسي

لا يكون الترميز المستخدم للمتجهات وعملياتها موحدًا في جميع السياقات، الترميز الذي استخدمته في الفقرات الأولى هو الأكثر شيوعًا في حساب التفاضل والتكامل. في الجبر الخطي، يتم أحيانًا التمييز بين المتجهات والمشاهدات المشتركة:

عندما نتحدث عن المتجهات، فإننا نشير إلى ما يُعرف بـ “المتجه العمودي”، والذي يُمثل بالشكل المصفوفي التالي:

\alpha^i = \left( \begin{array}{c}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{array} \right)

أما عندما نتحدث عن المشاهدات المشتركة (covectors)، فإننا نشير إلى “المتجه الصفّي”، والذي يُمثل بالشكل:

\beta_i = \left( \beta_1 \; \cdots \; \beta_n \right)

بهذه الطريقة، يمكن تفسير حاصل الضرب القياسي بين متجهين \vec{x}=(x_1,\cdots,x_n) و\vec{y}=(y_1,\cdots,y_n) على أنه ضرب مصفوفي بين “المشاهدة المشتركة” x_i والمتجه y^i, مما يؤدي إلى العدد الحقيقي التالي:

\left( x_1 \; \cdots \; x_n \right) \left( \begin{array}{c}y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right) = x_iy^i

لاحظ أن هذه المساواة الأخيرة تتضمن مرة أخرى اتفاقية جمع أينشتاين، حيث يشير تكرار المؤشرات إلى أن النتيجة النهائية هي مجموع.

الترميز الذي يميز بين المتجهات والمشاهدة المشتركة من خلال الفهارس الفوقية والتحتية يُعرف بـ “الترميز التوافقي” أو “ترميز التنسور”، وهو شائع في دراسة نظرية النسبية الخاصة والعامة. كما أن لهذا الترميز فائدة في تسهيل التعامل مع التنسورات، وهو مفهوم عام يشمل جميع ما ناقشناه وسنتطرق إليه بمزيد من التفاصيل في وقت لاحق. في مجالات أخرى مثل ميكانيكا الكم، يتم تفضيل ترميز برا-كيت، حيث:

\left< x \right| =\left( x_1 \; \cdots \; x_n \right) \\ \\ \left|y\right> = \left( \begin{array}{c}y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right)

وبهذه الطريقة، يتم تمثيل حاصل الضرب القياسي بالشكل \left<x|y\right>.

خصائص حاصل الضرب القياسي

انطلاقًا من تعريف حاصل الضرب القياسي، يمكننا استخلاص مجموعة من الخصائص التي ستكون ذات أهمية كبيرة في المستقبل.

إذا استخدمنا حاصل الضرب القياسي لتعريف الدالة \tilde{\omega}(\vec{x})=\vec{\omega} \cdot \vec{x} = \omega_i x^i, فسنرى أن الدالة \tilde{\omega} المعرفة بهذه الطريقة تمتلك جميع خصائص الدوال الخطية، حيث يمكن بسهولة إثبات أن:

\begin{array}{rl} \tilde{\omega}(\alpha \vec{x} + \beta\vec{y}) = \alpha \tilde{\omega}(\vec{x}) + \beta\tilde{\omega}(\vec{y}) \end{array}

ولهذا السبب، فإن الكيانات مثل \tilde{\omega} التي تُعرف باستخدام حاصل الضرب القياسي تُسمى دوال خطية. كما نعلم، \vec{x} هو متجه ينتمي إلى الفضاء المتجهي \mathbb{R}^n, وكما سنرى لاحقًا، فإن \tilde{\omega} هو كيان ينتمي إلى الفضاء المزدوج لـ\mathbb{R}^n.

بناءً على ذلك، هناك علاقة وثيقة بين حاصل الضرب القياسي والدوال الخطية؛ في الواقع، تعبير واحد يمكنه تلخيص جميع الخصائص المهمة لحاصل الضرب القياسي هو: “حاصل الضرب القياسي هو شكل خطي مزدوج، متماثل، موجب وغير منحل”. دعونا نستكشف معنى كل جزء من هذا التعريف:

عندما نقول إن حاصل الضرب القياسي هو شكل خطي مزدوج، فإننا نعني أنه إذا كان \vec{x},\vec{y} و \vec{z} متجهات في \mathbb{R}^n و\alpha,\beta \in \mathbb{R}, فإن المساواتين التاليتين تتحققان:

\begin{array}{rl} \vec{x}\cdot(\alpha \vec{y} + \beta\vec{z}) = \alpha (\vec{x}\cdot\vec{y}) + \beta(\vec{x}\cdot\vec{z}) \\ \\ (\alpha \vec{x} + \beta\vec{y})\cdot\vec{z} = \alpha (\vec{x} \cdot \vec{z}) + \beta(\vec{y}\cdot\vec{z}) \end{array}

حاصل الضرب القياسي متماثل لأنه:

\forall(\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n)(\vec{x}\cdot\vec{y} = \vec{y}\cdot\vec{x})

يكون مُعرفًا إيجابيًا لأنه:

(\forall\vec{x}\in\mathbb{R}^n)(\vec{x}\cdot\vec{x} \geq 0)

وأخيرًا، يكون غير متحلل لأنه:

\vec{x}\cdot\vec{x} = 0 \leftrightarrow \vec{x}=\vec{0}

المعيار والمسافة الإقليدية

المعيار هو طريقة لقياس مقدار المتجه، عندما يكون الفضاء المتجهي مزودًا بمعيار، فإنه يُسمى فضاء متجهي معياري. إذا كان \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n و \lambda\in\mathbb{R}, فإن الدالة Norm( . ) تُعتبر معيارًا إذا حققت الخصائص التالية:

1. Norm(\vec{x})\geq 0
2. Norm(\vec{x}) = 0 \leftrightarrow \vec{x}=\vec{0}
3. Norm(\lambda\vec{x}) = |\lambda| Norm(\vec{x})
4. Norm(\vec{x} + \vec{y}) \leq Norm(\vec{x}) + Norm(\vec{y})

من الخصائص المهمة لحاصل الضرب القياسي أنه مفيد بشكل خاص لتعريف مفهوم رياضي للمسافة يتوافق مع فهمنا الطبيعي للمسافات بين نقطتين. لكل \vec{x}\in\mathbb{R}^n، يتم تعريف المعيار الإقليدي، \|\vec{x}\| وفقًا للمعادلة:

\|\vec{x}\| = \sqrt{\vec{x}\cdot\vec{x}}

من هنا، نقول إن المعيار الإقليدي هو المعيار المستحث بواسطة حاصل الضرب القياسي.

المسافة، أو المترية، هي دالة تحدد “مدى الفصل بين عنصرين في مجموعة”. إذا كان \vec{x}, \vec{y}, \vec{z}\in\mathbb{R}^n و \lambda\in\mathbb{R}, فإن الدالة Dist( . ) تُعتبر مسافة إذا استوفت الخصائص التالية:

1. Dist(\vec{x},\vec{y})=0 \leftrightarrow \vec{x}=\vec{y}
2. Dist(\vec{x},\vec{y})=Dist(\vec{y},\vec{x})\geq 0
3. Dist(\vec{x},\vec{z})\leq Dist(\vec{x},\vec{y}) + Dist(\vec{y},\vec{z})

المعادلة الأخيرة تُعرف بـ عدم المساواة المثلثية، وإذا لم تتحقق، فإن الدالة Dist(.) تُعرف بأنها “شبه مسافة” أو “شبه مترية”. الفضاء المتجهي الذي يتضمن مفهوم المسافة يُسمى فضاء متري.

استنادًا إلى المعيار الإقليدي، يتم تعريف المسافة الإقليدية بين متجهين. إذا كان لدينا متجهان \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n, فإن المسافة الإقليدية بينهما، dist_e(\vec{x},\vec{y}) تُعطى بواسطة:

dist_e(\vec{x},\vec{y}) = \|\vec{x} - \vec{y}\|

إذا كان \vec{x}=(x_1,\cdots,x_n) و\vec{y}=(y_1,\cdots, y_n), فمن السهل إثبات، استنادًا إلى خصائص حاصل الضرب القياسي والمقدار، أن:

dist_e(\vec{x},\vec{y}) = \sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}

إذا زودنا الفضاء المتجهي \mathbb{R}^n بالمسافة الإقليدية، نحصل على فضاء إقليدي.

بناءً على ذلك، نقول إن المترية في الفضاء الإقليدي هي المترية المستحثة من المعيار الإقليدي.

خصائص المعيار الإقليدي

بما أن دراستنا تركز تحديدًا على الفضاء الإقليدي، سيكون من المفيد مراجعة خصائص المعيار الإقليدي.

متباينة كوشي-شوارتز

إذا كان \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n, فإن الخاصية التالية تتحقق:

|\vec{x}\cdot\vec{y}|\leq \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|

الإثبات:

لتكن \lambda = (\vec{x}\cdot\vec{y})/\|\vec{y}\|^2, عندها لدينا:

\begin{array}{rl} 0\leq \|\vec{x} - \lambda \vec{y}\|^2 &= (\vec{x} - \lambda\vec{y}) \cdot (\vec{x} - \lambda\vec{y}) \\ \\ \displaystyle &= \vec{x}\cdot\vec{x} - \lambda\vec{x}\cdot\vec{y} + \lambda\vec{y}\cdot\vec{x} + \lambda^2(\vec{y}\cdot\vec{y})\\ \\ &= \|\vec{x}\|^2 - 2\lambda(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \lambda^2 \|\vec{y}\|^2 \\ \\ \displaystyle &= \|\vec{x}\|^2 - 2\left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{y}\|^2}\right)(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{{\|\vec{y}\|^2}}\right)^2 {\|\vec{y}\|^2}\\ \\ \displaystyle &= \|\vec{x}\|^2 - 2\left(\frac{(\vec{x}\cdot\vec{y})^2}{\|\vec{y}\|^2}\right) + \frac{\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2}{\|\vec{y}\|^2}\\ \\ &= \|\vec{x}\|^2 - \frac{\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2}{\|\vec{y}\|^2} \end{array}

وبالتالي يمكننا القول:

\displaystyle 0 \leq \|\vec{x}\|^2 - \frac{\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2}{\|\vec{y}\|^2}

وبالتالي:

\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2 \leq \|\vec{x}\|^2 \|\vec{y}\|^2

وأخيرًا، بأخذ الجذر التربيعي، نحصل على النتيجة المطلوبة:

|\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\| \|\vec{y}\| ⬛

متباينة المثلث

لتكن \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n, فإن هذين المتجهين يحققان العلاقة التالية:

\|\vec{x} + \vec{y}\| \leq \|\vec{x}\| + \|\vec{y}\|

الإثبات:

أولاً، نلاحظ أن:

\begin{array}{rl} \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 &= (\vec{x} + \vec{y})\cdot(\vec{x} + \vec{y}) \\ \\ &=\|\vec{x}\|^2 + 2(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \|\vec{y}\|^2 \end{array}

ونظرًا للعلاقات التالية:

\vec{x}\cdot\vec{y}\leq |\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|

يمكننا كتابة ما يلي:

\begin{array}{rl} \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 &\leq \|\vec{x}\|^2 + 2\|\vec{x}\|\|\vec{y}\| + \|\vec{y}\|^2 \\ \\ &\leq \left(\|\vec{x}\| + \|\vec{y}\| \right)^2 \end{array}

وأخيرًا، بأخذ الجذر التربيعي نحصل على النتيجة المطلوبة:

\|\vec{x} + \vec{y}\|\leq \|\vec{x}\| + \|\vec{y}\| ⬛

الخاتمة

على مدار هذا الدرس، استكشفنا الخصائص الأساسية للفضاء الإقليدي \mathbb{R}^n، متناولين بنيته الجبرية والمترية. بدأنا بتعريف العمليات الأساسية، مثل جمع المتجهات وحاصل الضرب العددي، مما يثبت أنه فضاء متجهي. بعد ذلك، تعمقنا في مفهوم حاصل الضرب القياسي وأهميته في الهندسة داخل \mathbb{R}^n، مع التركيز على تفسيره المصفوفي وعلاقته بالوظائف الخطية.

ثم انتقلنا إلى دراسة المعيار الإقليدي والمسافة التي يُحدثها، مسلطين الضوء على كيفية استخدام هذه الأدوات لقياس الأطوال والمسافات في هذا الفضاء. كما استعرضنا خصائص أساسية مثل متباينة كوشي-شوارتز:

|\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\| \|\vec{y}\|

ومتباينة المثلث:

\|\vec{x} + \vec{y}\|\leq \|\vec{x}\| + \|\vec{y}\|

والتي تعتبر أساسًا مهمًا لتطوير نظريات أكثر تقدمًا في التحليل والهندسة.