في هذه المرة، لن نراجع فقط النهايات اللانهائية، بل سنتناول النهايات المتباعدة بشكل عام. توضح لنا النهايات المتباعدة كيف أن الدالة لا تبدو وكأنها تتقارب، ويمكن أن يحدث هذا بطرق متعددة.

متى نقول أن النهاية متباعدة؟

نقول أن النهاية متباعدة عندما لا تتقارب إلى أي قيمة حقيقية. وهذا قد يبدو واضحاً، لكنه يمكن أن يحدث بطرق مختلفة:

• عندما تكون النهايات الجانبية مختلفة أو غير موجودة، فإن النهايات الثنائية لا تكون موجودة.
• إذا كانت الدالة غير معرفة بشكل جيد، أو تنمو بلا حدود، أو تتذبذب بشكل لا نهائي عند اقترابها من النقطة التي تُحسب عندها النهاية، فلا يمكن أن توجد النهاية الجانبية.

يمكن أن ينطبق ذلك، مع خصوصياته، على النهايات المحدودة والنهايات عند اللانهاية، وسنحصل حسب الحالة على نوع معين من التباعد.

أنواع التباعد في النهايات

النهايات التي تعاني من مشاكل في المجال

عند محاولة حساب نهاية من نوع \lim_{x\to x_0}f(x) أو \lim_{x\to +\infty}f(x), نتوقع على الأقل أن تكون f(x) معرفة بشكل جيد لقيم قريبة من x_0 أو على بعض الفترات من النوع [a,+\infty[, على التوالي. إن لم يكن هذا متحققاً، فلن يكون لأي من التعريفين أي معنى؛ فلا يمكن للدالة “أن تميل” إلى قيمة معينة إذا كانت غير معرفة عند الاقتراب من هذه القيمة. في مثل هذه الحالات، نكتب ببساطة أن النهاية غير موجودة: \lim_{x\to x_0}f(x)=\cancel{\exists} و \lim_{x\to +\infty}f(x)=\cancel{\exists}, حسبما يقتضي الأمر. ينطبق ذلك أيضاً على النهايات الجانبية، وليس هناك ما يُقال أكثر عن هذا النوع من الحالات.

النهايات الجانبية المختلفة

لنأخذ دالة من النوع f(x) = x/|x| ونحسب النهاية عندما x\to 0. أول ما سنلاحظه هو

\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x) = 1

\displaystyle\lim_{x\to 0^-} f(x) = -1

في هذه الحالة، سنلاحظ أنه على الرغم من أن النهايات الجانبية موجودة، إلا أنها مختلفة. عندما يحدث هذا، نقول ببساطة أن النهاية (الثنائية) غير متقاربة، وبالتالي:

\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = \cancel{\exists}

نهاية الدوال ذات التذبذبات اللانهائية

توجد أيضاً حالات حيث تميل الدوال، بدلاً من الاقتراب من قيمة معينة، إلى التذبذب داخل نطاق معين. مثال على ذلك هو دالة من النوع f(x)= \sin(1/x). إذا تابعنا هذه الدالة عندما x\to 0 سنرى أنها تتذبذب بلا نهاية.

عندما تحدث مثل هذه الحالات، نقول ببساطة أن النهاية غير موجودة.

النهايات اللانهائية

لننظر في ما يحدث مع الدالة f(x) = 1/x. أول ما سنراه هو أنه عندما x\to 0، فإن قيمة f(x) تزداد بلا حدود، ولكن طريقة حدوث ذلك تعتمد على مكان حساب النهاية. سنكتب ذلك بشكل حدسي على النحو التالي:

\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty

\displaystyle\lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty

بهذا الشكل، نحن لا نقول أن النهاية موجودة بأي شكل من الأشكال؛ بل نحن نبين الطريقة التي لا توجد بها النهاية. على عكس الحالات السابقة، حيث لا توجد النهاية ولا تتقارب إلى قيمة محددة؛ في هذه الحالة تتباعد لأن قيمتها تتجاوز أي رقم حقيقي.

يمكننا تلخيص ما راجعناه الآن من خلال التعريفات التالية:

\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \rightarrow M \lt f(x) )

\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \rightarrow M \lt f(x) )

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = +\infty := \left(\lim_{x\to x_0^+}f(x) = +\infty \right) \wedge \left(\lim_{x\to x_0^-}f(x) = +\infty \right)

وبشكل مشابه:

\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) = -\infty := \left(\forall m \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \rightarrow f(x) \lt m )

\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) = -\infty := \left(\forall m \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \rightarrow f(x) \lt m )

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = -\infty := \left(\lim_{x\to x_0^+}f(x) = -\infty \right) \wedge \left(\lim_{x\to x_0^-}f(x) = -\infty \right)

وفي بعض الأحيان يُقال أن النهاية تميل إلى اللانهاية (بدون إشارة):

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = \infty := \lim_{x\to x_0}|f(x)| = +\infty

النهايات اللانهائية عند اللانهاية

على غرار النهايات التي استعرضناها سابقاً، يمكن تعريف النهايات اللانهائية عند اللانهاية. على سبيل المثال:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists N \in\mathbb{R} \right) ( N\lt x \rightarrow M \lt f(x) )

وبهذا، قد استعرضنا جميع الأشكال التي يمكن أن تتباعد فيها النهايات في الدوال.