इस बार, हम केवलअनंत सीमाओं की समीक्षा नहीं करेंगे, बल्कि सामान्य रूप सेविचलित सीमाओं की भी समीक्षा करेंगे। विचलित सीमाएँ हमें बताती हैं कि एक कार्य कैसे अभिसारित नहीं होता है, और यह कई तरीकों से हो सकता है।

हम कब कहते हैं कि एक सीमा विचलित है?

हम कहते हैं कि एक सीमा विचलित है जब वह किसी वास्तविक मान पर अभिसारित नहीं होती है। यह जो सुनने में साधारण लगता है, कई प्रकार से हो सकता है:

• जब पार्श्व सीमाएँ अलग होती हैं या अस्तित्वहीन होती हैं, तो द्विपार्श्व सीमाएँ मौजूद नहीं होतीं।
• यदि कार्य ठीक से परिभाषित नहीं है, अनंत रूप से बढ़ता है या गणना बिंदु के पास अनंत दोलन करता है, तो पार्श्व सीमा मौजूद नहीं हो सकती।

यह विशेषताओं के साथ, सीमित और अनंत दोनों प्रकार की सीमाओं में लागू हो सकता है, और मामले के आधार पर किसी प्रकार का विचलन उत्पन्न होगा।

सीमाओं में विचलन के प्रकार

परिभाषा संबंधी समस्याओं वाली सीमाएँ

जब हम \lim_{x\to x_0}f(x) या \lim_{x\to +\infty}f(x), जैसी सीमा की गणना करने का प्रयास करते हैं, तो हम अपेक्षा करते हैं कि कम से कम f(x) बिंदु x_0 के निकट के मानों या [a,+\infty[, के किसी अंतराल पर अच्छी तरह परिभाषित हो। यदि ऐसा नहीं होता है, तो दोनों सीमाओं की परिभाषा का कोई मतलब नहीं बनता है; कार्य किसी मान पर “झुक” नहीं सकता है, यदि वह उस परिभाषा में नहीं आता। ऐसी स्थिति में, हम बस लिखते हैं कि सीमा अस्तित्वहीन है：\lim_{x\to x_0}f(x)=\cancel{\exists} और \lim_{x\to +\infty}f(x)=\cancel{\exists}, जैसा कि उपयुक्त हो। इसी तरह पार्श्व सीमाओं पर लागू होता है और ऐसी स्थितियों पर और कुछ कहने की आवश्यकता नहीं है।

असमान पार्श्व सीमाएँ

एक कार्य का उदाहरण लेंf(x) = x/|x| और जब x\to 0 हो तब सीमा की गणना करें। पहली चीज़ जो हम देखेंगे वह यह है कि

\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x) = 1

\displaystyle\lim_{x\to 0^-} f(x) = -1

ऐसे मामले में हम देखेंगे कि यद्यपि पार्श्व सीमाएँ मौजूद हैं, वे भिन्न हैं। जब ऐसा होता है, तो हम कहते हैं कि द्विपार्श्व सीमा अभिसारित नहीं होती है, और इसलिए:

\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = \cancel{\exists}

अनंत दोलन वाले कार्यों की सीमाएँ

कुछ कार्य ऐसे भी होते हैं जो किसी निश्चित मान पर जाने की बजाय एक निश्चित सीमा में दोलन करने लगते हैं। इसका उदाहरण एक कार्य f(x)= \sin(1/x) हो सकता है। यदि हम देखें कि x\to 0 होने पर इस कार्य में क्या होता है, तो हम पाएंगे कि यह अनंत रूप से दोलन करता है।

जब इस प्रकार की चीजें होती हैं, हम कहते हैं कि सीमा मौजूद नहीं है।

अनंत सीमाएँ

देखें कि क्या होता है कार्य f(x) = 1/x. के साथ। पहली बात जो हम देखेंगे, वह यह है कि जब x\to 0 होगा, तब f(x) का मान अनंत रूप से बढ़ेगा, लेकिन यह किस प्रकार से बढ़ेगा यह इस बात पर निर्भर करेगा कि सीमा कहां से गणना की जा रही है। सहज रूप में इसे हम यूँ लिखेंगे

\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty

\displaystyle\lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty

इस प्रकार की अभिव्यक्ति के साथ, हम यह नहीं कह रहे हैं कि सीमा किसी प्रकार से मौजूद है; इसके बजाय, हम यह संकेत दे रहे हैं कि यह सीमा किस प्रकार से मौजूद नहीं है। पहले के मामलों से अलग, जहां सीमा मौजूद नहीं है और किसी विशेष मान की ओर अभिसारित नहीं होती; इस मामले में, यह अनंत की ओर बढ़ जाती है क्योंकि इसका मान किसी भी वास्तविक संख्या से अधिक है।

हमने जो अभी-अभी समीक्षा की है, उसे निम्नलिखित परिभाषाओं के माध्यम से औपचारिक रूप दिया जा सकता है:

\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \rightarrow M \lt f(x) )

\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \rightarrow M \lt f(x) )

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = +\infty := \left(\lim_{x\to x_0^+}f(x) = +\infty \right) \wedge \left(\lim_{x\to x_0^-}f(x) = +\infty \right)

और इसी प्रकार से:

\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) = -\infty := \left(\forall m \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \rightarrow f(x) \lt m )

\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) = -\infty := \left(\forall m \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \rightarrow f(x) \lt m )

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = -\infty := \left(\lim_{x\to x_0^+}f(x) = -\infty \right) \wedge \left(\lim_{x\to x_0^-}f(x) = -\infty \right)

कभी-कभी हम अनंत की ओर बढ़ने वाली सीमाओं के बारे में भी बात करते हैं (बिना चिह्न के)

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = \infty := \lim_{x\to x_0}|f(x)| = +\infty

अनंत में अनंत सीमाएँ

जैसे हमने पहले की सीमाओं की समीक्षा की, इसी प्रकार से अनंत में अनंत सीमाओं को परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists N \in\mathbb{R} \right) ( N\lt x \rightarrow M \lt f(x) )

और इसके साथ हमने उन सभी प्रकार की स्थितियों को देख लिया है जिसमें कार्यों की सीमाएँ विचलित हो सकती हैं।