عند دراسة الفضاءات العينية، نلاحظ أنها يمكن أن تكون من نوعين: منفصلة ومتصلة. عندما يكون الفضاء العيني متصلاً، يمكننا تعريف المتغيرات العشوائية ذات الطبيعة المتصلة، ومن خلالها، يمكننا إنشاء التوزيعات الاحتمالية المنفصلة. لقد استعرضنا بالفعل ما يتعلق بالمتغيرات العشوائية هنا، والآن سنركز على التوزيعات الاحتمالية المنفصلة.

مفهوم التوزيع الاحتمالي المنفصل

نقول إن متغيرًا عشوائيًا X لديه توزيع احتمالي منفصل إذا كان هناك مجموعة C\subset\mathbb{R} محدودة أو غير محدودة تعدديًا بحيث P\left(X\in C\right)=1; بهذه الطريقة، إذا كان لدينا قيم x\in C بحيث p_X(x) = P(X=x), يمكن التحقق من أنه إذا A\subset\mathbb{R}, فإن:

\begin{array}{lr} (*) & P\left(X\in A\right) = \displaystyle \sum_{x\in A \cap C} p_X(x) \end{array}

وبشكل خاص،

\begin{array}{lr} (**) & \displaystyle \sum_{x\in C} p_X(x) = 1. \end{array}

إذا قمنا بحساب P(X\in A) باستخدام A=]-\infty, t], نجد أن:

P(X\in A) = P(X\leq t) = F_X(t) = \displaystyle \sum_{x\leq t}p_X(x)

من هذا الحساب، نستنتج أن F_X هي “سلم” مع قفزات عند x\in C بحجم p_X(x). الوظيفة p_X التي تذهب من C إلى [0,1] هي ما نسميه وظيفة التكرارات. وهكذا، يتم تعريف توزيع منفصل بواسطة مجموعة محدودة أو غير محدودة تعدديًا C\subset \mathbb{R} ووظيفة p_X(x)\geq 0 معرّفة لكل x\in C التي تحقق التعبيرات (*) و(**).

أشهر خمس توزيعات احتمالية منفصلة

في هذا القسم، سنواصل دراستنا حول التوزيعات الاحتمالية المنفصلة. فيما يلي، سنرى أشهر خمس توزيعات احتمالية منفصلة، والتي سيتم توضيحها من خلال نوع المشكلات التي يمكن أن تساعد في حلها.

التوزيع الثنائي أو توزيع برنولي

يأخذ التوزيع الثنائي أو توزيع برنولي كمتغير عشوائي عدد النجاحات أو الفشل (X) في n محاولات مع احتمالية فردية p. يُقال إن المتغير العشوائي X يتبع توزيعًا ثنائيًا، X\sim Bi(n,p), إذا كان:

\displaystyle \large P(X=k)= {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k}

توزيع بواسون

عمليات بواسون تُقسم إلى فئتين: المكان والزمان. ينبع هذا التمييز من تحليل المعلمة \lambda:

• الحالة الزمنية: \lambda=f\cdot T, حيث f هو التردد وT هي الفترة الزمنية.
• الحالة المكانية: \lambda=\rho \cdot V, حيث \rho هو الكثافة وV هو حجم العينة.

من المهم أن نلاحظ أن المعلمة \lambda يجب أن تكون بلا أبعاد في كلا الحالتين. يجب أيضًا تذكر أن عملية بواسون هي حالة حدودية لعملية ثنائية، لذا فإن المتغير العشوائي المرتبط بهذه العملية يرتبط أيضًا بعدد معين من النجاحات أو الفشل. يُقال إن المتغير العشوائي X يتبع توزيع بواسون، X\sim Po(\lambda), إذا تحقق:

\large\displaystyle P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

التوزيع الهندسي

تخيل عملية ثنائية (مثل رمي عملة مرارًا وتكرارًا). إذا بدلًا من أن تسأل عن عدد النجاحات بعد عدد معين من المحاولات، تسأل عن عدد المحاولات التي يجب أن تقوم بها لتحقيق النجاح الأول، فأنت أمام متغير عشوائي منفصل ذو توزيع هندسي. إذا كان المتغير العشوائي X له توزيع هندسي، X\sim Ge(p), فإن:

\displaystyle \large P(X=k)=p(1-p)^{k-1}

التوزيع الثنائي السلبي

مشابه للتوزيع الهندسي هو التوزيع الثنائي السلبي، لكنه أكثر عمومية قليلاً. عند تنفيذ عملية ثنائية (مثل رمي عملة مرارًا وتكرارًا) وبدلاً من أن تسأل عن عدد النجاحات، تسأل عن عدد المحاولات التي تقوم بها لتحقيق النجاح الثالث، فأنت أمام متغير عشوائي منفصل ذو توزيع ثنائي سلبي. إذا كان المتغير العشوائي X له توزيع ثنائي سلبي، X\sim Bn(m,p), فإن:

\displaystyle\large P(X=k)= {{k-1}\choose{m-1}} p^m(1-p)^{k-m}

التوزيع فوق الهندسي

تخيل أن لديك كيسًا يحتوي على N من الكرات الملونة، منها M كرات بيضاء والباقي كرات سوداء. إذا قمت بسحب n من الكرات من هذا الكيس (بدون استبدال)، فإن عدد الكرات البيضاء المسحوبة سيتم ربطه بمتغير عشوائي منفصل ذو توزيع فوق الهندسي. إذا كان المتغير العشوائي X له توزيع فوق الهندسي، X\sim Hg(N,M,n), فإن:

\displaystyle \large P(X=k)=\frac{{{M}\choose{k}} {{N-M}\choose{n-k}}}{{N}\choose{n}}

التمارين المقترحة

1. تبيع متجر ألعاب الطاولة بطاقات عشوائية من دفعة مكونة من 500 بطاقة قابلة للتبديل (تخيل أنها بطاقات خرافية، سحرية، بوكيمون، أو أي لعبة tcg أخرى). إذا تأكد البائع من أن هناك دائمًا 450 بطاقة عادية (منخفضة القيمة) و50 بطاقة نادرة (عالية القيمة)، فما هو احتمال الحصول على 3 بطاقات نادرة عند شراء 20 بطاقة عشوائيًا؟

2. استخدام البطاقة التالية في اللعبة:

   

   ما هو احتمال التخلص من 4 بطاقات من الخصم؟

3. في متجر معين، احتمال بيع جهاز مع خلل في المصنع هو 2%. ما هو احتمال أن يكون الجهاز العاشر المباع هو الثالث مع الخلل في المصنع؟