प्राकृत संख्याएँ और पियानो के अभिगृहीत

प्राकृत संख्याओं के लिए पियानो के अभिगृहीत

प्राकृत संख्याएँ, जिन्हें धन पूर्णांक भी कहा जाता है, वे संख्याएँ हैं जिनका प्रयोग गिनने और मापने के लिए किया जाता है। वे सबसे स्वाभाविक रूप से गिनने की संक्रिया में प्रकट होती हैं, जो अंकगणित की सबसे सरल संक्रिया है। उन्हें पियानो के अभिगृहीतों द्वारा परिभाषित किया जाता है: यह स्वीकार किया जाता है कि एक समुच्चय है, जिसे $\mathbb{N}$ से निरूपित किया जाता है और जिसके अवयव प्राकृत संख्याएँ कहलाते हैं, जिसमें एक विशिष्ट अवयव $1$ है और एक फलन $S$ है, जिसे परवर्ती कहते हैं, जो प्रत्येक प्राकृत संख्या $n$ को एक अन्य प्राकृत संख्या $S(n)$ निर्दिष्ट करता है, और यह कि निम्नलिखित पाँच अभिगृहीत सत्य हैं। इनमें आने वाली समुच्चय, फलन और एकैकी फलन की अवधारणाएँ समुच्चय, संबंध और फलन पर पाठ में परिभाषित की गई हैं।

1. $1$ एक प्राकृत संख्या है: $1 \in \mathbb{N}$।
2. $S$ एक फलन है जो $\mathbb{N}$ से $\mathbb{N}$ में है: यदि $n$ एक प्राकृत संख्या है, तो उसका परवर्ती $S(n)$ भी प्राकृत संख्या है।
3. $1$ किसी भी प्राकृत संख्या का परवर्ती नहीं है: $S(n) \neq 1$, प्रत्येक $n$ के लिए जो $\mathbb{N}$ में है।
4. $S$ एकैकी है: यदि $S(n) = S(m)$, तो $n = m$।
5. यदि प्राकृत संख्याओं का एक समुच्चय $A$, $1$ को समाहित करता है और प्रत्येक $k$ के लिए जो $A$ में है, $S(k)$ को भी समाहित करता है, तो $A$ सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है: $A = \mathbb{N}$।

पियानो के अभिगृहीतों का अध्ययन करते समय ध्यान में आता है कि प्रतीक $1$ केवल एक निरूपण है जो एक विशिष्ट प्राकृत संख्या को इंगित करता है: वह संख्या जो इन गुणों को संतुष्ट करती है। जिस प्रकार $1$ पहली प्राकृत संख्या को निरूपित करता है, उसी प्रकार उसके परवर्तियों को निरूपित करने के लिए परिचित प्रतीकों का प्रयोग किया जाता है:

इस प्रकार प्रतीक $2, 3, 4, \ldots$ अमूर्त सत्ताएँ हैं जो $1$ के क्रमिक परवर्तियों को निरूपित करती हैं। $1$ और इन सभी से बना संग्रह प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है:

यह भी कहा जाता है कि प्राकृत संख्याएँ एक अनुक्रम में व्यवस्थित होती हैं, प्राकृत संख्याओं का अनुक्रम: