शब्दार्थीय परिणाम और शब्दार्थीय तुल्यता

पिछले पाठ से क्या उपयोग में आता है

प्रस्तावात्मक तर्क के अर्थविज्ञान पर पाठ ने सूत्रों को अर्थ दिया, और यह पाठ उसे ज्ञात मानता है। एक मान-नियतन एक फलन $v\colon V \to \{0, 1\}$ है, जो प्रत्येक चर को एक सत्यता मान, $1$ (सत्य) या $0$ (असत्य), देता है। आगमन वाले पाठ के सूत्रों पर पुनरावर्तन द्वारा परिभाषा के प्रमेय से, प्रत्येक मान-नियतन संयुक्त निषेध के खंड के द्वारा सभी सूत्रों तक एक ही प्रकार से विस्तारित होता है; केवल यही खंड चाहिए, क्योंकि भाषा में एक ही संयोजक है:

विस्तार की अद्वितीयता के कारण, विस्तार के मान के लिए भी $v(\varphi)$ लिखा जाता है; बिना पादांक का अक्षर $v$ सदा एक मान-नियतन को सूचित करता है (और $v'$, $w$, $u$ दूसरे मान-नियतनों को), जबकि चर सदा अपना पादांक रखते हैं। औपचारिकीकरण वाले पाठ की तरह, $p$, $q$, $r$, $s$ और $t$ चरों $v_1$ से $v_5$ तक के नाम हैं, और $V(\varphi)$, $\varphi$ के चरों का समुच्चय है। कहा जाता है कि $v$, $\varphi$ को संतुष्ट करता है, और लिखा जाता है $v \models \varphi$, जब $v(\varphi) = 1$ हो; और कि वह उसे खंडित करता है, $v \not\models \varphi$, जब $v(\varphi) = 0$ हो। कोई सूत्र वैध (या पुनरुक्ति) है, और लिखा जाता है $\models \varphi$, यदि प्रत्येक मान-नियतन उसे संतुष्ट करता है; संतोषणीय, यदि कोई मान-नियतन उसे संतुष्ट करता है; असंतोषणीय (या व्याघात), यदि कोई भी उसे संतुष्ट नहीं करता; आकस्मिक, यदि वह संतोषणीय है पर वैध नहीं। एक मान-नियतन सूत्रों के एक समुच्चय $\Gamma$ को संतुष्ट करता है, $v \models \Gamma$, जब वह उनमें से प्रत्येक को संतुष्ट करता है, और $\Gamma$ संतोषणीय है यदि कोई मान-नियतन उसे संतुष्ट करता है, अन्यथा असंतोषणीय। अंत में, $\top := (v_1 \rightarrow v_1)$ और $\bot := \neg\top$, जिससे प्रत्येक मान-नियतन के लिए $v(\top) = 1$ और $v(\bot) = 0$।

उस पाठ से दो परिणाम और उपयोग में आते हैं। पहला संपाती प्रमेयिका है: यदि दो मान-नियतन $\varphi$ के चरों पर मेल खाते हैं, तो वे $\varphi$ पर मेल खाते हैं; इसके कारण $n$ चरों वाले सूत्र का मान केवल $2^{n}$ संयोगों पर निर्भर करता है, और उसकी सत्यता सारणी परिमित है। दूसरा व्युत्पन्न संयोजकों के मानों का प्रमेय है, जो आधिकारिक संक्षेपणों से प्रत्येक संयोजक का मान घटकों के मानों में एक बहुपद के रूप में परिकलित करता है। यदि $a = v(\varphi)$ और $b = v(\psi)$:

इस पाठ की उपपत्तियाँ, लगभग सभी, सत्यता मानों की तुलना में हैं, और ये बहुपद यह तुलना स्थितियों को एक-एक करके देखने के बजाय एक परिकलन से करने देते हैं। उनका एकमात्र अतिरिक्त नियम यह है कि $0$ और $1$ ही वे संख्याएँ हैं जो अपने वर्ग के बराबर हैं: यदि $x$ का मान $0$ या $1$ है, तो $x^{2} = x$ और $x(1 - x) = 0$। इसके अतिरिक्त, उन्हीं मानों के तीन अन्य लेखन पास रखना उपयोगी है, जो गुणनफलों को खोलकर प्राप्त होते हैं:

पहला संयुक्त निषेध का खंड है ($1 - a$ और $1 - b$ का गुणनफल $1$ होता है ठीक तब जब $a = b = 0$); दूसरा कहता है कि वियोजन $0$ होता है केवल तब जब दोनों घटक $0$ हों; तीसरा, कि द्विसोपाधिक $1$ होता है यदि $a = b$ (क्योंकि $1 - 2a + 2a^{2} = 1$) और $0$ यदि $a \neq b$ (क्योंकि तब $a + b = 1$ और $ab = 0$)।