التصميم بالدوال

التنقيح التدريجي

من نص المسألة إلى main من أسطر قليلة

كُتبت برامج الوحدة 4 كاملةً داخل main. وما دامت تتسع لشاشة واحدة فذلك محتمل؛ غير أن برنامجًا من مئتي سطر مكتوبًا على هذا النحو يقتضي أن يحمل المرء كل شيء في رأسه دفعة واحدة، ولا يقبل إلا اختبار المجموع. أما التنقيح التدريجي، أو التصميم من الأعلى إلى الأسفل، فيقلب ترتيب العمل: يُكتب أولًا ما يفعله البرنامج، بلغة المسألة، في صورة سلسلة من الاستدعاءات لدوال لم توجد بعد؛ ثم تؤخذ كل واحدة من تلك الدوال مسألةً جديدة أصغر، ويُكرَّر الإجراء حتى نبلغ دوال بسيطة إلى حدّ أن جسمها يُكتب من غير تفكيك شيء.

والمسألة الآتية مثال على ذلك. يكون العدد الصحيح $n \geq 1$ تامًّا إذا كان مجموع قواسمه الفعلية (القواسم الموجبة المختلفة عن $n$) مساويًا لـ $n$، وناقصًا إذا كان أصغر، وزائدًا إذا كان أكبر: $28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14$، فالعدد 28 تام؛ و8، مع $1 + 2 + 4 = 7$، ناقص؛ و12، مع $1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16$، زائد. والمطلوب برنامج يقرأ $n$ ويكتب مجموع قواسمه الفعلية وفئته. والمستوى الأول من التصميم هو main، ويُكتب قبل كل شيء:

#include <cstdint>#include <iostream>#include <print>#include <string>​enum class Kind { deficient, perfect, abundant };​// مجموع القواسم الموجبة لـ n.// الشرط المسبق: n >= 1.// الشرط اللاحق: يُعيد مجموع كل القواسم الموجبة لـ n، ومنها n نفسه.std::int64_t divisorSum(int n);​// فئة n بحسب مجموع قواسمه الفعلية.// الشرط المسبق: n >= 1.// الشرط اللاحق: يُعيد deficient أو perfect أو abundant بحسب كون المجموع أصغر من n أو مساويًا له أو أكبر منه.Kind classify(int n);​// اسم الفئة، لكتابته.// الشرط المسبق: لا شيء.// الشرط اللاحق: يُعيد «ناقص» أو «تام» أو «زائد».std::string kindName(Kind kind);​int main(){    int n{};    std::cin >> n;    std::println("القواسم الفعلية للعدد {}: مجموعها {}", n, divisorSum(n) - n);    std::println("{} عدد {}", n, kindName(classify(n)));}

/usr/bin/x86_64-linux-gnu-ld.bfd: main.o: in function `main':main.cpp:27:(.text+0x22a): undefined reference to `divisorSum(int)'/usr/bin/x86_64-linux-gnu-ld.bfd: main.cpp:28:(.text+0x3fd): undefined reference to `classify(int)'/usr/bin/x86_64-linux-gnu-ld.bfd: main.cpp:28:(.text+0x40d): undefined reference to `kindName[abi:cxx11](Kind)'collect2: error: ld returned 1 exit status

يُترجَم البرنامج دون أي تحذير، لأن كل استدعاء يوافق تصريحه، وهذا وحده ما يتحقق منه المترجم، كما علّم الدرس الدوال. أما ما يفشل فهو الربط: يبحث الرابط عن التعريفات فلا يجدها («undefined reference»، أي مرجع بلا تعريف؛ والإضافة [abi:cxx11] علامة داخلية يضعها GCC للدوال التي تُعيد std::string). وهذه الحال هي بالضبط حال التصميم عند هذه النقطة: الواجهات مقرَّرة، والأجسام لا. وإذا كان الأمر كذلك، فإن main تُقرأ منذ الآن على أنها مواصفات البرنامج، والتصريحات الثلاثة هي المهام المعلّقة، وكل واحدة منها أصغر من المسألة الأصلية.

شجرة التفكيك

ينزل المستوى الثاني إلى كل تصريح. فـ kindName قرار من ثلاث حالات. وclassify تستند إلى divisorSum: يكون العدد تامًّا حين يكون مجموع كل قواسمه $2n$. وdivisorSum هي حلقة القواسم في أزواج $(d, n/d)$ من الدرس الخوارزميات العددية، التي تتوقف عند $\sqrt{n}$. وتُرسم النتيجة شجرةً: جذرها المسألة كاملة؛ وأبناء كل عقدة المسائل الفرعية التي تحلّها؛ وأوراقها عمليات توفّرها اللغة أصلًا.

ومع اكتمال الشجرة تُكتب التعريفات من الأسفل إلى الأعلى، بحيث تستند كل دالة إلى دوال كُتبت قبلها:

#include <cstdint>#include <iostream>#include <print>#include <string>​enum class Kind { deficient, perfect, abundant };​// مجموع القواسم الموجبة لـ n.// الشرط المسبق: n >= 1.// الشرط اللاحق: يُعيد مجموع كل القواسم الموجبة لـ n، ومنها n نفسه.std::int64_t divisorSum(int n){    std::int64_t sum{0};    for (int d{1}; d <= n / d; ++d) {        if (n % d == 0) {            sum += d;            if (d != n / d) {                sum += n / d;            }        }    }    return sum;}​// فئة n بحسب مجموع قواسمه الفعلية.// الشرط المسبق: n >= 1.// الشرط اللاحق: يُعيد deficient أو perfect أو abundant بحسب كون المجموع أصغر من n أو مساويًا له أو أكبر منه.Kind classify(int n){    const std::int64_t proper{divisorSum(n) - n};    if (proper < n) {        return Kind::deficient;    }    if (proper == n) {        return Kind::perfect;    }    return Kind::abundant;}​// اسم الفئة، لكتابته.// الشرط المسبق: لا شيء.// الشرط اللاحق: يُعيد «ناقص» أو «تام» أو «زائد».std::string kindName(Kind kind){    if (kind == Kind::deficient) {        return "ناقص";    }    if (kind == Kind::perfect) {        return "تام";    }    return "زائد";}​int main(){    int n{};    std::cin >> n;    std::println("القواسم الفعلية للعدد {}: مجموعها {}", n, divisorSum(n) - n);    std::println("{} عدد {}", n, kindName(classify(n)));}

28

القواسم الفعلية للعدد 28: مجموعها 2828 عدد تام

ثلاث سمات في النتيجة تعود إلى الطريقة. أولاها أن main لم تتغير حين كُتب ما تحتها. والثانية أن المجموع يُعاد بالنوع std::int64_t (من <cstdint>، وهو العدد الصحيح ذو 64 بتًا الذي يستعمله أيضًا الدرس الاستدعاء الذاتي)، لأنه مع $n$ قريب من أكبر قيمة لـ int قد يتجاوزها مجموع قواسمه، واتخاذ القرار في الواجهة يحمي كل من يستدعي. والثالثة أن كل دالة تُختبر على حدة: يجب أن تعطي divisorSum(28) القيمة 56، وأن تعطي divisorSum(1) القيمة 1، وأن تعطي divisorSum(36) القيمة 91، حيث يُحسب الزوج $(6, 6)$ مرة واحدة؛ والقسم الأخير من الدرس يحوّل هذه الاختبارات إلى برنامج.