平面镜和球面镜的反射
摘要：
本课程将回顾几何光学的基本原理，重点介绍平面镜和球面镜的反射。定义了关键术语如光线、点物体和点像。此外，还讨论了镜子的符号规则以及笛卡尔公式用于计算像的位置。课程还探讨了凹面镜和凸面镜的特性，以及它们对真实和虚拟图像形成的影响。最后，介绍了放大系数，以描述相对于原始物体的图像尺寸和方向的变化。
学习目标
课程结束后，学生将能够：
- 理解几何光学作为电磁光学的简化，通过使用几何学和计算来理解成像的形成。
- 了解反射和折射的规律及其在镜子和透镜成像中的应用。
- 理解和区分关键概念，如光线、投影光线、点物体和点像。
- 应用镜子的符号规则来确定物体和像的位置。
- 分析平面镜中的成像过程，强调图像的对称性和虚拟性质。
内容目录
几何光学的基本概念
定义
镜子的符号规则
平面镜和镜像反射
点物体在平面镜前
扩展物体在平面镜前
球面镜的反射
物体位置与球面镜中像的关系
极限情况，当 s\to +\infty
扩展物体在球面镜中的反射
凹面镜和凸面镜
放大系数及其解释
几何光学的基本概念
几何光学是 电磁光学的一种简化，使我们能够轻松理解图像的形成及其特性。通过几何学和计算，我们可以推断出反射和折射的规律，从而理解镜子和透镜的成像过程。 在本课中，我们将学习几何光学的基本概念，以及平面镜和球面镜的反射。
为了开始讨论这些概念并进行推断，我们将定义一些关键概念：
定义
| 光线 | 表示光传播路径的假想线。如果光源是一个点物体，则光从它发出形成球面电磁波；光线因此表示能量流的方向，或者更准确地说，表示坡印廷矢量的方向。 | |
| 投影光线 | 表示光线延长线的假想线。 | |
| 点物体或点光源 | 空间中的一个点，从中发出或反射光线。物体可以是点状的或扩展的；如果是点状的，则没有形状，只有位置；如果是扩展的，则具有有限且非零的体积和包围它的表面。 | |
| 点像 | 光线或投影光线在空间中的会聚点。 | |
| 反射 | 光线在遇到反射面时改变方向的过程。 | |
| 折射 | 光线在穿过不同介质时改变方向和速度的过程。 |
镜子的符号规则
几何光学中 一个有用的概念是镜子的符号规则：
- 物体位置： 如果物体位于反射面来光一侧，则其位置的量 s 是正数，反之则为负数。
- 像的位置： 如果像位于反射面出光一侧，则其位置的量 s^\prime 为正数，反之则为负数。
在平面镜中，总是满足等式 s=-s^\prime.
平面镜和镜像反射
最简单的反射面 是平面镜。在这些镜子中，可以观察到所有以角度 \theta 相对于镜面法线入射的光线都以角度 \theta^\prime =\theta. 反射。因此，观察者看到反射光线时，会觉得反射的物体位于镜子后面。
点物体在平面镜前
在平面镜中形成的像是对称的且是虚像。对称意味着物体和镜子的距离与像和镜子的距离相同，而虚像意味着像“在镜子后面”。
扩展物体在平面镜前
如果观察者忽略 扩展物体和镜子的存在，在接收反射光线时会将它们解释为来自像的光线，就像像是一个真实物体一样。
球面镜的反射
物体位置与球面镜中像的关系
考虑一个球面镜 半径为 r. 如果将物体放置在距顶点距离 s 处，则像将出现在点 s^\prime, 如图所示：
由于三角形的内角和为 \pi[rad], 我们可以得到：
\begin{array}{lr} \phi + \theta + \pi - \beta =\pi\; &\Longrightarrow {\beta = \phi + \theta}\\ \\ \alpha + \theta + \pi - \phi =\pi\; &\Longrightarrow {\theta = \phi - \alpha} \end{array}
由此可推断出 \beta = 2\phi - \alpha ，因此
\color{blue}{\alpha + \beta = 2\phi}.
通过这些信息，可以推断出物体和像的位置 s 和 s^\prime 之间的关系。我们观察到：
\begin{array}{rl} \tan(\alpha) &\displaystyle = \frac{h}{s - \delta} \\ \\ \tan(\beta) &\displaystyle = \frac{h}{s^\prime - \delta} \\ \\ \tan(\phi) &\displaystyle = \frac{h}{s - \delta} \end{array}
现在，如果物体距离镜子足够远，或曲率半径足够大，可以假设角度 \alpha, \beta 和 \phi 接近于零，在这种情况下，以下近似成立：
\begin{array}{rl} \delta & \approx 0 \\ \\ \alpha &\displaystyle \approx \tan(\alpha) \approx \frac{h}{s} \\ \\ \beta &\displaystyle \approx \tan(\beta) \approx \frac{h}{s^\prime} \\ \\ \phi &\displaystyle \approx \tan(\phi) \approx \frac{h}{r} \end{array}
将这些近似代入绿色高亮的方程中，我们得到：
\displaystyle \frac{h}{s}+\frac{h}{s^\prime}\approx\frac{2h}{r}
最后，简化 h 并替换 \displaystyle f = \frac{r}{2} 得到：
\displaystyle\color{blue}{\frac{1}{s}+\frac{1}{s^\prime}\approx\frac{1}{f}}
这就是所谓的“笛卡尔公式”，适用于开口较小的球面镜，其中 f 是镜子的焦距。
极限情况，当 s\to+\infty
如果计算 s^\prime 的值并求 s\to+\infty 时的极限值，则得到：
\displaystyle s^\prime = \frac{1}{\frac{1}{f}-\frac{1}{s}} =\frac{sf}{s-f}
\displaystyle\lim_{s\to +\infty}s^\prime = \lim_{s\to +\infty}\frac{sf}{s-f}=f
换句话说，如果将光源放置在非常远的地方，则从光源发出的光线到达镜子时将沿水平路径传播，并在镜子反射时通过焦点，如图所示：
扩展物体在球面镜中的反射
我们迄今为止 讨论的结果将帮助我们几何地找到扩展物体在球面镜中的成像位置。只需注意所有水平光线反射后经过焦点，所有经过焦点的光线反射后水平，局部来看（光线撞击球面镜的点），球面镜的行为如同平面镜，因此入射角等于反射角。
扩展物体的每个点发出的光线在经过镜子反射后，会聚于像的对应点。
凹面镜和凸面镜
我们迄今为止 讨论的球面镜都是凹面镜的例子。这些镜子具有曲率面朝向入射光线的一侧。如果曲率面朝向相反方向，则称为凸面镜。当分析这种镜子中的成像时，首先注意到反射光线不是会聚在一个点，而是发散开来；因此，为找到像的位置，需要投影反射光线，从而得到虚像。
在这一点上，我们必须注意以下术语：
- 真实像： 当像由反射光线形成时，它位于镜子前面。
- 虚像： 当像由投影光线形成时，它“位于镜子后面”。
放大系数及其解释
如前所述，当在球面镜（凹面或凸面）中反射时，图像的大小或方向可能会相对于原始物体发生变化。那么，是否存在一种方法可以对这种放大或缩小以及图像方向的变化进行建模？答案是肯定的，这可以通过在任何我们已经讨论过的图像中利用相似三角形的关系来推导。以下将展示凹面镜的分析，对于凸面镜，推理类似。请记住，我们在开始时讨论的镜子的符号规则。
由于蓝色和绿色三角形相似，放大系数 m=y^\prime/y，表示相对于原始物体放大的图像大小，可以通过以下关系计算：
\displaystyle \frac{y}{s} = \frac{-y^\prime}{s^\prime}
由于图像是倒立的，因此 y^\prime 带有负号，并且根据镜子的符号规则， s 和 s^\prime 都为正数。因此：
\displaystyle \color{blue}{m=\frac{y^\prime}{y} = - \frac{s^\prime}{s}}
也就是说，知道物体和图像的位置，可以计算镜子的放大系数。
该公式可以与笛卡尔公式结合，利用焦距和物体位置计算放大系数。只需记住：
\displaystyle s^\prime=\frac{sf}{s-f}.
我们得到：
\displaystyle \color{blue}{m= - \frac{1}{s}\frac{sf}{s-f} = \frac{f}{f-s}}
因此我们得到：
- 如果 |m|\lt 1，图像缩小；当 |m|\gt 1 时，图像放大；当 |m|=1 时，图像保持原大小。
- 如果 m\gt 0，图像保持原物体的方向；当 m\lt 0 时，图像相对于原物体倒置。
- 当 m=0 时，图像缩小为一点。