完整域与整数

摘要：
本课程介绍了完整域的概念，解释了其在一般代数研究中的重要性，并通过正式的数学证明展示其一些重要的性质。

学习目标：
完成本课程后，学生将能够：

1. 理解 一般代数研究的目的。
2. 理解 完整域的概念。
3. 解释 完整域与整数之间的基本共同特性。
4. 通过 正式的数学证明，展示完整域的基本性质。

内容目录
一般代数的目标与先备知识
从整数到完整域
完整域与整数的基本共同特性
完整域与整数的性质
练习

一般代数的目标与先备知识

一般代数的主要目标 是研究所有可能的数学系统。在这里，我们将研究多个这样的系统，其中最重要的包括自然数和整数，并通过后者引出完整域的概念。

\mathbb{N}= \{1,2,3,4,\cdots\}

\mathbb{Z}= \{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\cdots\}

从整数到完整域

我们将从整数开始我们的研究， 之所以这样做，是因为整数与我们将在本研究中探讨的大多数数系具有最多的相似之处。

与其尝试定义整数是什么，我们不如假设无论它们是什么，它们都满足某些性质。为此，我们选择一组公理，使得能够推导出所有我们直觉上与整数相关的性质。

所有这些都是通过皮亚诺公理来实现的，即在自然数的基础上引入基本的算术运算。通过采用这种公理化方法，并扩展自然数和整数上的各种运算，我们可以得到新的数系，例如有理数、无理数、实数、复数、四元数、八元数等等。

接着，如果我们观察整数，就会发现它们具有一些在所有其他数系中都会重复出现的性质，例如乘法单位元、加法单位元和分配律。因此，通过研究这些性质，我们可以建立一种语言，使我们能够同时讨论所有这些数系。在这一背景下，出现了诸如以下的术语：

• 完整域
• 环
• 群
• 向量空间

以及许多类似的数学概念。我们将首先集中精力研究完整域。

完整域与整数的基本共同特性

为了说明什么是完整域，我们将利用我们对整数的深入理解。在此背景下，如果 a、b 和 c 是整数，则满足以下定律：

1. 交换律：
   • a+b = b + a
   • ab = ba
2. 结合律：
   • a+(b+c) = a+b+c = (a+b)+c
   • (ab)c = abc = a(bc)
3. 分配律：
   • a+(b+c) = a(b+c) = ab+ac

除此之外，还存在某些特殊元素，被称为单位元。

• 加法单位元： a+ c = a \leftrightarrow c=0
• 乘法单位元： ac = a \leftrightarrow c=1

符号 0 表示加法单位元，而符号 1 表示乘法单位元。

整数还具有加法逆元。每个整数都有一个加法逆元，与其相加后得到加法单位元。

• 加法逆元： a+ c = 0 \longleftrightarrow c=-a

加法逆元通常以符号 “-” 表示。

最后，还存在一个消去律，其数学表达式如下：

(c\neq 0 \wedge ca = cb) \longleftrightarrow (a=b)

这些我们讨论的性质适用于许多其他集合，例如实数、复数、多项式等。因此，我们称完整域为所有满足这些性质的集合。

定义： 设 D 是一个集合，并且在其上定义了加法和乘法运算，我们称其为完整域当且仅当：

• a,b\in D \longrightarrow a+b \in D
• a,b\in D \longrightarrow ab \in D

此外，还需满足结合律、交换律和分配律，集合 D 需要包含加法单位元和乘法单位元（它们是唯一的），并且还必须满足消去律。

完整域的示例

考虑集合 A=\{a+b\sqrt{3}\; |\; a,b\in \mathbb{Z}\}. 该集合在通常的加法与乘法运算下构成一个完整域，因为它满足交换律、结合律和分配律，并且具有加法单位元、乘法单位元以及加法逆元。

• 加法单位元： 0+0\sqrt{3}
• 乘法单位元： 1+0\sqrt{3}
• 加法逆元： 每个元素 a+b\sqrt{3} 都有加法逆元 -a-b\sqrt{3}

最重要的是，该集合 A 对加法和乘法封闭，也就是说，如果 x,y\in A，则 x+y\in A 且 xy\in A. 这一点可以很容易地验证：如果 a_1 + b_1\sqrt{3} 和 a_2 + b_2\sqrt{3} 是 A 的元素，则

\begin{array}{rl} (a_1 + b_1\sqrt{3}) + (a_2 + b_2\sqrt{3}) &=(a_1+a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt{3} \in A\\ \\ (a_1 + b_1\sqrt{3}) (a_2 + b_2\sqrt{3}) &= a_1a_2 + a_1b_2\sqrt{3}+b_1a_2\sqrt{3} + 3b_1b_2 \\ &=(a_1a_2 + 3b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)\sqrt{3} \in A \end{array}

完整域与整数的性质

完整域的加法单位元是唯一的

这一点可以通过反证法证明： 假设存在两个加法单位元，分别记作 0 和 0^\prime，那么：

\begin{array}{rll} (1) & 0\neq 0^\prime & \text{; 假设}\\ (2) & a+0 = a & \text{; 假设：$0$ 是加法单位元}\\ (3) & b+0^\prime = b & \text{; 假设：$0^\prime$ 是加法单位元}\\ (4) & 0^\prime + 0 = 0^\prime & \text{; 在 $(2)$ 中令 $a=0^\prime$}\\ (5) & 0 + 0^\prime = 0 & \text{; 在 $(3)$ 中令 $b=0$}\\ (6) & 0 = 0^\prime & \text{; 由 $(4,5)$ 及加法交换律}\\ (7) & \bot &\text{; 由 $(1,6)$ 得矛盾} \end{array}

由此推理可以得出结论：

\{0 \neq 0^\prime, a + 0 = a, b + 0^\prime = b\}\vdash \bot.

因此，通过反证法可以证明：

\{a + 0 = a, b + 0^\prime = b\}\vdash 0 = 0^\prime.

也就是说，如果存在两个加法单位元，它们必然是相同的，因此加法单位元是唯一的。

乘法单位元也是唯一的

证明方法与上面的加法单位元唯一性证明类似。 假设存在两个乘法单位元 1 和 1^\prime，则可以进行如下推理：

\begin{array}{rll} (1) & 1\neq 1^\prime & \text{; 假设}\\ (2) & 1\cdot a = a & \text{; 假设：$1$ 是乘法单位元}\\ (3) & 1^\prime \cdot b = b & \text{; 假设：$1^\prime$ 是乘法单位元}\\ (4) & 1\cdot 1^\prime = 1^\prime & \text{; 在 $(2)$ 中令 $a=1^\prime$}\\ (5) & 1^\prime \cdot 1 = 1 & \text{; 在 $(3)$ 中令 $b=1$}\\ (6) & 1 = 1^\prime & \text{; 由 $(4,5)$ 及乘法交换律}\\ (7) & \bot &\text{; 由 $(1,6)$ 得矛盾} \end{array}

因此，我们得出结论：

\{1 \neq 1^\prime, 1a= a, 1b = b\}\vdash \bot.

由此，通过反证法可以推出：

\{1a= a, 1b= b\}\vdash 1 = 1^\prime.

也就是说，如果存在两个乘法单位元，它们必然是相同的，因此乘法单位元是唯一的。

加法满足消去律

这就是我们在等式中 消去相同项的依据：

a+b = a+c \longleftrightarrow b = c

证明这一点并不难，只需进行以下推理：

\begin{array}{rll} (1) & a+b = a+c & \text{; 假设} \\ (2) & a+b-a = a+c-a & \text{; 由$(1)$，对等式两边加 $-a$} \\ (3) & (a-a)+b = (a-a)+c & \text{; 由$(2)$，结合交换律和结合律} \\ (4) & 0+b = 0+c & \text{; 由$(3)$，加法逆元的定义} \\ (5) & b = c & \text{; 由$(4)$，加法单位元的性质} \\ \end{array}

由于该推理可以逆向进行，因此我们可以得到：

a+b=a+c \dashv \vdash b=c

这等价于：

\vdash a+b=a+c \longleftrightarrow b=c

加法单位元同时也是乘法的吸收元

这一性质意味着，对于所有完整域中的 a，有：

a\cdot 0 = 0

证明这个结论也很简单，可以通过以下推理：

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot (a+0) & \text{; 由分配律} \\ (2) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot (a+a-a) & \text{; 由$(1)$，加法逆元的定义} \\ (3) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot a + a\cdot a - a\cdot a & \text{; 由$(2)$，再次应用分配律} \\ (4) & a\cdot 0 = a\cdot a - a\cdot a & \text{; 由$(3)$，加法消去律} \\ (5) & a\cdot 0 = 0 & \text{; 由$(4)$，加法逆元的定义} \\ \end{array}

符号法则：

相同符号的两个数相乘 结果始终为正；不同符号的两个数相乘结果始终为负。这一性质的证明也很简单：

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot b = a\cdot b + 0 & \text{; 加法单位元} \\ (2) & a\cdot b = a\cdot b + (a)\cdot(-b) - (a)\cdot(-b) & \text{; 由$(1)$ 和加法逆元} \\ (3) & a\cdot b = a\cdot (b -b) - (a)\cdot(-b) & \text{; 由$(2)$ 和加法逆元} \\ (4) & a\cdot b = a\cdot 0 + (-a)\cdot(-b) & \text{; 由$(3)$ 和加法逆元} \\ (5) & a\cdot b = (-a)\cdot(-b) & \text{; 由$(4)$ 和乘法吸收元} \\ \end{array}

因此，我们得到： ab = (-a)(-b)

对于不同符号的情况，推导方式类似：

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot(-b) = a \cdot (-b) + 0 & \text{; 加法单位元} \\ (2) & a\cdot(-b) = a \cdot (-b) + a \cdot b - a \cdot b & \text{; 由$(1)$ 和加法逆元} \\ (3) & a\cdot(-b) = a \cdot (b-b) - a \cdot b & \text{; 由$(2)$ 和分配律} \\ (4) & a\cdot(-b) = a \cdot 0 - a \cdot b & \text{; 由$(3)$ 和加法逆元} \\ (5) & a\cdot(-b) = - a \cdot b & \text{; 由$(4)$ 和乘法吸收元} \\ \end{array}

因此，我们得到：a(-b) = -a(b)

如果两个数的乘积为零，则至少有一个数为零

另一个常用的重要性质 是：

ab=0 \leftrightarrow (a=0 \vee b=0)

其证明也很直接：

\begin{array}{rll} (1) & \{a=0\} \models a\cdot b = 0 & \textbf{; 乘法吸收元} \\ (2) & \models a=0 \rightarrow a\cdot b = 0 &\text{; 由$(1)$} \\ (3) & \models \neg (a\cdot b = 0 ) \rightarrow \neg(a=0) &\text{; 逆否命题$(2)$} \\ (4) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(a=0) &\text{; 由$(3)$} \\ (5) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(b=0) &\text{; 同理$(4)$} \\ (6) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(a=0) \wedge \neg(b=0) &\text{; 合取引入$(4,5)$} \\ (7) & \models (\neg (a\cdot b = 0 )) \rightarrow \neg(a=0) \wedge \neg(b=0) &\text{; 由$(6)$} \\ (8) & \models \neg(\neg(a=0) \wedge \neg(b=0) ) \rightarrow (a\cdot b = 0 ) &\text{; 逆否命题$(7)$} \\ (9) & \models (a=0 \vee b=0) \rightarrow (a\cdot b = 0 ) &\text{; 由德摩根定律$(8)$} \\ (10)& \{a\neq 0 , a\cdot b=0\} \models b=0 & \textbf{; 乘法吸收元} \\ (11)& \{a\cdot b=0\} \models a\neq 0 \rightarrow b=0 & \text{; 由$(10)$} \\ (12)& \{a\cdot b=0\} \models \neg(a\neq 0) \vee b=0 & \text{; 蕴含定义$(11)$} \\ (13)& \{a\cdot b=0\} \models a=0 \vee b=0 & \text{; 双重否定$(12)$} \\ (14)& \models (a\cdot b=0) \rightarrow (a=0 \vee b=0) & \text{; 由$(13)$} \\ (15)& \models (a\cdot b=0) \leftrightarrow (a=0 \vee b=0) & \text{; 由$(9,14)$} \\ \end{array}

练习

设 a、b 和 c 是完整域 D 中的任意元素。证明以下性质：

1. (-a)=(-1)a [解答]
2. -(a+b)=(-a) + (-b) [解答]
3. a(-b)=-(ab) [解答]
4. -(-a)=a [解答]
5. a(b-c) = ab - ac [待证明]
6. (a-b)+(b-c) = a-c [待证明]
7. 对于所有 a\in D，存在唯一的 1 使得 a\cdot 1 = a [解答]
8. xx = x \leftrightarrow (x=1 \vee x=0) [待证明]